高中物理竞赛试题(一)含答案

高一物理竞赛测试题（120分）

一、本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选

项正确，有的小题有多个选项正确.全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的

得。分.考生必须将答案填在下面的答题卡上。

1.如图所示，两光滑斜面的倾角分别为30°和45°,质量分别为2m

和m的两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接（不计滑轮的质量

和摩擦），分别置于两个斜面上并由静止释放；若交换两滑块位置,

再由静止释放.则在上述两种情形中正确的有

A.质量为2m的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜

面的支持力的作用

B.质量为m的滑块均沿斜面向上运动第1题图

C.绳对质量为m滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力

D.系统在运动中机械能均守恒

2.在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A,A与

竖直墙之间放一光滑圆球B,整个装置处于静止状态。现对B加一竖

直向下的力F,F的作用线通过球心，设墙对8的作用力为Fi，8对A

的作用力为尸2,地面对A的作用力为尸3。若「缓慢增大而整个装置仍

保持静止，截面如图所示，在此过程中

A.F1保持不变，F3缓慢增大

B.Fi缓慢增大，F3保持不变

C.F2缓慢增大，F3缓慢增大

D.F2缓慢增大，F3保持不变

3.一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连。

小球某时刻正处于图示状态。设斜面对小球的支持力为M细绳对小球第3题图

的拉力为T,关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是

A.若小车向左运动，N可能为零

B.若小车向左运动，7"可能为零

C.若小车向右运动，N不可能为零

D.若小车向右运动，了不可能为零

4.某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始

一段时间内的此图象，某同学为了简化计算，用虚线作近似处理,

下列说法正确的是

A.在ti时刻，虚线反映的加速度比实际的小

B.在0—ti时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的小

第4题图

C.在人心时间内，由虚线计算出的位移比实际的大

D.在t3-t4时间内，虚线反映的是匀速运动

5.一质量为M的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，

气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g,现欲使该气

球以同样速率匀速上升，则需从气球篮中减少的质量为

F2F

A.2（M——）B.M--------

gg

第5题图

F

C.2M--D.0

g

7.如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块八和8紧挨着匀速下滑，A

与B的接触面光滑。己知人与斜面之间的动摩擦因数是B与斜面之间动

摩擦因数的2倍，斜面倾角为8与斜面之间的动摩擦因数是

2C2

AA.—tanaB.—cota

33

C.tanaD.cot«

8.如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球aTFT

和boa球质量为m,静置于地面；b球质量为3m,用手托住，高度为万，此P

时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，。可能达到的最大高度为

A.hB.I.5h]4；

C.2hD.2.5h勿£口““力

9.如图所示，一物体自倾角为，的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。第8题图

物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角0满足

A.tan0=sin0

B.tan0=cos夕

C.tan0=tan0

D.tan0=2tan9

10.在汶川抗震救灾中，成都军区某陆航团每天要向灾区投放各类救灾物资,

一次直升机悬停在空中向地面投放装有救灾物资的箱子，如图所示。设投

放初速度为零，箱子所受的空气阻力与箱子下落速度的平方成正比，且运

动过程中箱子始终保持图示姿态。在箱子下落过程中，下列说法正确的是

A.箱内物体对箱子底部始终没有压力

B.箱子刚从飞机上投下时，箱内物体受到的支持力最大

第10题图

C.箱子接近地面时，箱内物体受到的支持力比刚投下时大

D.若下落距离足够长，箱内物体有可能不受底部支持力而“飘起来”

11.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的V-t图象如图

所示。两图象在1=卜时相交于p点，p在横轴上的投影为a,△

OPQ的面积为So在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为da已

知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t',则下面四组

t'和d的组合可能是

A.t'=ti,d=SB.t=—t,,d——S

24

1113

C.t'=±h，d=±SD.t'=-t.,d^-S

212214

13.如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速

度%运动.设滑块运动到A点的时刻为t=0,之后滑块距八点的水

平距离用x表示，水平速度用匕表示.由于％不同，从A点到8

点的几种可能的运动图象如下列选项所示，其中表示摩擦力做功最

大的是

第15题图

一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断。例如

从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方面进行分

析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。

举例如下：如图所示。质量为M、倾角为。的滑块A放于水平地面上。把质量为m的滑块B

放在A的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的加速度：a=〃gsind,式

M+msin26>

中g为重力加速度。

对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对

该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是箱送的。

请你指出该项。

A.当6=0°时，该解给出a=0,这符合常识，说明该解可能是对的

B.当。=90。时，该解给出。=9,这符合实验结论，说明该解可能是对的

C.当时，该解给出。=95仍8,这符合预期的结果，说明该解可能是对的

D.当时，该解给出。=上，这符合预期的结果，说明该解可能是对的

sin。

题号123456789101112131415

答案

二、填空题（12分）

17.物理小组在一次探究活动中测量滑块与木板之间的动摩打点计时谷滑块

擦因数。实验装置如图，一表面粗糙的木板固定在水平桌

面上，一端装有定滑轮；木板上有一滑块，其一端与电磁

打点计时器的纸带相连，另一端通过跨过定滑轮的细线与

托盘连接。打点计时器使用的交流电源的频率为50Hz。托盘

开始实验时，在托盘中放入适量祛码，滑块开始做匀加速

第17题图

运动，在纸带上打出一系列小点。

[0I234$7\

〉L1.」一_j___I_______：_______）

《1.40&I.t9»<-2M­>1<-―»K-------3M>|<-----------437--------->单位0n

（1）上图给出的是实验中获取的一条纸带的一部分：0、1、2、3、4、5、6、7是计数点，

每相邻两计数点间还有4个打点（图中未标出），计数点间的距离如图所示。根据图中数据

计算的加速度a=（保留三位有效数字）。

（2）回答下列两个问题：

①为测量动摩擦因数，下列物理量中还应测量的有。（填所选物理量前的字母）

A.木板的长度/B.木板的质量mi

C.滑块的质量m2D.托盘和祛码的总质量团3

E.滑块运动的时间t

②测量①中所选定的物理量时需要的实验器材是。

（3）滑块与木板间的动摩擦因数（用被测物理量的字母表示，

重力加速度为g）。与真实值相比，测量的动摩擦因数（填''偏大”或“偏小”）。

写出支持你的看法的一个论据：________________________________________________________

三、计算与论证（共60分）。按题目要求做答。解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要

演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

18.（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气.现把沙尘上扬后的

情况简化为如下情景：u为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）.这时风对

沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力.此阻力可用下式表达

f=apAv2

其中成为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，夕为空气密度.

3

（1）若沙粒的密度Ps=2.8xl0kg-m-\沙尘颗粒为球形，半径r=2.5xl（）Tm,地球表面处空

气密度夕（）=1.25kg.mt,a=0.45,试估算在地面附近，上述v的最小值巧.

（2）假定空气密度。随高度〃的变化关系为0=念（1-以），其中0o为〃=0处的空气密度，C为

一常量，C=1.18xl0-4m-1,试估算当v=9.（）m.sT时扬沙的最大高度.（不考虑重力加速度随高

度的变化）

18.（15分）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启

降落伞，如图所示是跳伞过程中的v—t图，试根据图像求：（g取10m/s2）

（1）t=ls时运动员的加速度和所受阻力的大小。

（2）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。

22.（15分）如图所示，有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下

端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料一一ER流体，它

对滑块的阻力可调。起初，滑块静止，ER流体对其阻力为0,弹簧的长度为L,现有一质量

也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞（碰撞时间极短）后粘在一起向下运动,

且向下运动的初速度为物体碰前速度的一半。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为之空

k

时速度减为0,ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。（忽略空气

阻力）试求：LI"I

⑴滑块向下运动过程中加速度的大小

⑵滑块下移距离为d时ER流体对滑块阻力的大小

第22题图

19.（15分）抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动.现讨论乒乓球发球问题，

设球台长2人网高万，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反,

且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力.（设重力加速度为g）

（1）若球在球台边缘。点正上方高度为久处以速度W，水平发出，落在球台的Pi点（如图实线

所示），求P1点距。点的距离Xlo.

⑵若球在。点正上方以速度岭水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2（如图虚线

所示），求也的大小.

（3）若球在。正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3,求发

球点距。点的高度h3.

第19题图

竞赛答案及评分标准

一、选择题（每题4分，共60分）

题号123456789101112131415

答案BDCABADABABDCDBDACD

二、填空题（每题8分共16分）

16.（8分）（第①问每空0.5分，其它每空1分）

①Ls,L&；

@2.3=6.85（6.84、6.86均给分），514.05（14.04、14.06均给分）；

③4=匕=7.20cm；（7.18〜7.22均给分）

④羽=&±4±4±4,AL=1.75cm（1.73〜1.77均给分）

4x4

⑤k=28N/m。（27.7〜28.3均给分）

17.（8分）

（1）a=0.495-0.497（2分，有效数字位数不对的不给分）。

（2）①C,D（1分），②天平（1分）

（3）〃=理必1^（2分），偏大（1分），

m2g

因为细绳与滑轮间，纸带与限位孔间均有摩擦（1分）；

三、计算与论证题

18第19届预赛参考解答

（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即

即0加；=tng①

式中〃?为沙尘颗粒的质量，而A=7vr2②

m=-7tr'p^③

得避黑④

代入数据得K=4.0m.sT⑤

（2）用外、〃分别表示u=9.0nsT时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有

Ph=PoU-Ch)⑥

此时式①应为

ap^Av1=mg⑦

由②、③、⑥、⑦可解得k」]4ssg⑧

62

3avp0>

代入数据得/i=6.8xlO3m⑨

评分标准：本题15分。

1.第一小题8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。

2.第二小题7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。

18.解：（1）从图中可以看出，在t=2s内运动员做匀加速运动,

其加速度大小为：a=—=—=8m/s2.......2分

\t2

设此过程中运动员受到的阻力大小为f,

根据牛顿第二定律，有mg—f=ma

得：/=m（g—a）=80X（10—8）N=160N.......1分

（2）从图中估算得出运动员在14s内下落了

39.5X2X2m=158m........2分

根据动能定理，有：Wf=｝加...1分

所以有:

W=mgh-^mv2=80xl0xl58--x80x62=1.25xlO5J

f2分

（3）14s后运动员做匀速运动的时间为：/=生也=随学=57s……2分

v6

运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间：［=4+^=14+57=71s……1分

评分说明：第（2）问中数出的方格数在38〜40之间的均可，随后各步数据相应变动

19.（15分）

解：（1）%.......1分

%=卬1.........1分

解得须=%杵……1分

（2）设发球高度为左，飞行时间为t2,同理根据平抛运动

,12

b=2^21分

工2=V2121分

且h2=h1分

2X2=L1分

得彩=4椽

1分

⑶如图所示，发球高度为加，飞行时间为t3,同理根据平抛运动得,

..........①1分

x3=V3t3..........②1分

且3%=2乙..........(3)1分

设球从恰好越过球网到最高点的时间为t,水平距离为S,有

,,12

……④1分

$=卬……⑤1分

由几何关系知：x^s=L⑥1分

联立①〜⑥式，解得：h3=^h..........1分

22.（15分）

口用

解：（1）设物体自由下落的末速度为0,由机械能守恒定律

mgL=；相片分

得％=也过分

设碰后共同速度为次，由题设知

第22题图

碰撞过程中系统损失的机械能为

△E-gmVg-；2mvf-gmgL♦♦♦♦♦♦2

⑵设加速度大小为a,有2as=v：..........1分

kL

得:a-——..........①2分

8"?

（3）设弹簧弹力为无，ER流体对滑块的阻力为FER

受力分析如图所示，由牛顿第二定律

FN+FER-2mg=2ma..........②2分

而：FN=kx..........③1分

x=d+^-x..........④2分

k

ki

联立①〜④式解得：FER=mg+-------kd..........2分

4

第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷

本卷共七

题号一二三四五七总分题，满分

得分140分.

一、（分）

阅卷人20

薄膜材料

气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判.对于均匀薄膜材料，在一定温度

下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数N=%型，其中f为渗透持续时

d

施间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，步为薄膜两侧气体的压强差.k称为

即

例该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数.透气系数愈小，材料的气密性能

愈好.

尽图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图.EFGI为渗

透室，U形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U形管内横截面积八=

0.150cm2.实验中，首先测得薄膜的厚度d=0.66mm,再将薄膜固定于图中CU

处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积%=25.00cm3,下面部分

连同U形管左管水面以上部分的总容积为％,薄膜能够透气的面积S

4=1.00cm2.打开开关七、%与大气相通，大气的压强Pi=1.00atm,此时U形

柒管右管中气柱长度〃=20.00cm,V,=5.00cm3.关闭Ki、幻后,打开开关心，

对渗透室上部分迅速充气至气体压强温=2.00atm,关闭K3并开始计时.两小时后，U形管

左管中的水面高度下降了AH=2.00cm.实验过程中，始终保持温度为（TC.求该薄膜材料在

旧（TC时对空气的透气系数.（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定,

”强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值

工来代替公式中的普适气体常量5）

辨AP.R=8.31Jmo|iK-i,l,OOatm=1.013X10Pa.

二、（20分）两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间

相差半个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的2倍，卫星通过近地点时的速

a度33GM/4R,式中M为地球质量，G为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪，可测

出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角.试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太

空中某星体与地心在某时刻的距离.（最后结果要求用测得量和地球半径R表示）

舶三、（15分川子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命入。2.0*10^5.宇宙射线与大气

在高空某处发生核反应产生一批日子，以。=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并

衰变.根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t=0时刻的粒子数为N（0）,t时刻剩

余的粒子数为N（t）,则有N（t）=N（0）eT/r,式中7为相对该惯性系粒子的平均寿命.若能到达

地面的日子数为原来的5%,试估算日子产生处相对于地面的高度正不考虑重力和地磁场对日

子运动的影响.

：四、（20分）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条

：直线上的长条状，通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束,

光能分布很不集中，不利于传输和应用.为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对

光束进行必需的变换（或称整形）.如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细

的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的.为此，有人提出了先把多束发散光

会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明.

如图，Si、52、S3是等距离小）I地排歹U

在一直线上的三个点光源，各自向5ivW-；垂直于

它们的连线的同一方向发出半顶角Is二＜_I为a

=arctan（l/4）的圆锥形光束.请使用《？二二一一丁I三个完

全相同的、焦距为/=1.50/半径_____________I为「

=0.75万的圆形薄凸透镜，经加工、rL7I组装成

一个三者在同一平面内的组合透I®镜，使

三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z：轴（以

$2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为L1=12.0

力处的P点.（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距.）I蒯

1.求出组合透镜中每个透镜光心的位置.

2.说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据.

五、（20分）如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R,在空腔内一直径上的PiI尽和P2

处，放置电量分别为qi和q2的点电荷,qi=q2=q，两点电荷到球心的距离均为a.由|静电感

应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于一：2q.空

腔内部的电场是由射、⑦和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我［扉们尚不

知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势।或场

强.但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等I效）点

电荷来代替（在本题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷|的位置

和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由qi在原空腔内表面的;■£感应电

荷的假想（等效）点电荷％'与qi共同产生的电场在原空腔内表

面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的…感应电

荷的假想（等效）点电荷人与q2共同产生的电场在原空腔内表

面所在位置处各点的电势皆为0.这样确定的假想电荷叫做感应

电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的.等篇效电荷

取代感应电荷后，可用等效电荷/、/和qi、S来计算原来导

体存在时空腔内部任意点的电势或场强.

如

L试根据上述条件，确定假想等效电荷质、笈的位置及电量.

角

为

2.求空腔内部任意点A的电势必.已知4点到球心。的距离为r,次与西的夹

0.

位

C于

六、（20分）如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、

D用

分

别

光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间

不

的{

刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“钱链式”

角

的

夹

能对小球产生垂直于杆方向的作用力）.已知杆AB与BC

向

线

方

为兀-a,aDE为固定在桌面上一块挡板，它与AB

垂直.现令A、B、C一起以共同的速度。沿平行于AB连线方向向

DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作

用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由。变为0这一极短时

间内挡板对C的冲量的大小.

七、(25分)如图所示，有二平行金属

导轨，相距/,位于同一水平a面内(图中

纸面)，处在磁感应强度为BXXXXXXXXXXXXXXXX的匀强磁

00-

场中，磁场方向竖直向下(垂XXXXXXX-x-—x-►xXXXXXX直纸面向

XXX

里).质量均为m的两金属杆XXXXXXXXxXXXXab和cd放

db

在导轨上，与导轨垂直.初始0时刻，金

X

属杆ab和cd分别位于x=xo和x=0

处.假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L今对金属

杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速小.设导轨足够长，而也足够大，在运动过程

中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距因而可以认为在杆运动过程中由

两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不计.求任意时刻

两杆的位置Xab和Xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流/三者各自随时间t的变化关系.

第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为

V2=HA(1)

P2=Pi

经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为

(2)

(3)

渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为

V；=V}+AHA(4)

Pi=P；+2q(5)

式中「为水的密度，g为重力加速度.由理想气体状态方程=可知，经过2小时，薄膜下

部增加的空气的摩尔数

△“也L型L(6)

RTRT

在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数

N=A〃NA(7)

式中NA为阿伏伽德罗常量.

渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降.下降了加

叱皿(8)

%

经过2小时渗透室上部分中空气的压强为

Po=Po-^P⑼

测试过程的平均压强差

曲=g［（Po-P|）+豌-Pl'）］（1。）

根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数

A;=^-=2.4x10"Pa-1m-1s-1

(11)

△ptS

评分标准：

本题20分.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各1分，（6）式3分，⑺、（8）、（9）、（10）式各2分，（11）

式4分.

二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点。处，设待测量星

体位于C处.根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点8

处，只要位于八点的卫星用角度测量仪测出A。和AC的夹角凿，位于8点的卫星用角度测量仪

测出BO和BC的夹角公，就可以计算出此时星体C与地心的距离。仁

因卫星椭圆轨道长轴的长度

AB=r&+r&（1）

式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离.

修近京='加远修（2）

式中m为卫星的质量.由机械能守恒

所以AB=2R+6R=8R(5)

在△48C中用正弦定理

sinct,sin(7t-at-«2)/c.

BCAB

所以反=./、而⑺

sin。+%)

地心与星体之间的距离为无，在△BOC中用余弦定理

22

OC=底+BC-2铤-BCcosa2(8)

由式（4）、（5）、⑺得

sin2a…sin必cosa-,

OC=2R19+161-24—------(9)

sin2(%+。2)sin(%+%)

评分标准：

本题20分.（1）式2分，（2）、（3）式各3分，（6）、（8）式各3分，（9）式6分.

三、因N子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命

6

r0«2.0x10s

根据时间膨胀效应，在地球上观测到的日子平均寿命为7,

⑴

7i-(y/c)2

代入数据得

r=1.4X105s⑵

相对地面，若日子到达地面所需时间为3则在t时刻剩余的日子数为

A/（r）=7V（0）e-//r⑶

根据题意有

N（r）

e-,/r=5%(4)

N（0）

对上式等号两边取e为底的对数得

t=-r\n—⑸

100

代入数据得

-5

Z=4.19X10S⑹

根据题意，可以把pi子的运动看作匀速直线运动，有

h=vt⑺

代入数据得

/i=1.24xl04m(8)

评分标准：

本题15分.⑴式或⑵式6分，⑷式或⑸式4分，⑺式2分，⑻式3分.

四、L考虑到使3个点光源的3束光分别通过

3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在

的平面应垂直于Z轴，三个光心01、。2、。3的

连线平行于3个光源的连线，。2位于z轴上，如

图1所示.图中版“，表示组合透镜的平面，S；、

S’2、区步个光束中心光线与该平面的交

点.晒=U就是物距.根据透镜成像公式

111

---F------=—

uL—uf

⑴

可解得

u=-[L+^l}-4JL]

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉

必须有2utanaWh即u〈2h.在上式中取“一”号，代入f和L的值，算得

M=（6-3五）/i心1.7576⑵

此解满足上面的条件.

分别作3个点光源与P点的连线.为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心

。1、。2、Q应分别位于这3条连线上（如图1）.由几何关系知，有

OtO2=O2O3+-V2）/;«0.854/?（3）

L24

即光心。1的位置应在S；之下与S；的距离为

而=〃_。02=0.146〃（4）

同理，。3的位置应在S；之上与S；的距离为0.146/7处.由⑶式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之

间距离必须等于0.854万，才能使Si、$2、S3都能成像于P点.

2.现在讨论如何把三个透镜G、上、G加工组装成组合透镜.

因为三个透镜的半径r=0.756,将它们的光心分别放置到。1、Q、Q处时，由于“瓦=瓦瓦

=0.854/7<2r,透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起

来，才能满足⑶式的要求.由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况.

图2画出了G、匕放在W平面内时相互交叠的情况（纸面为W平面）.图中G、C2表示

/■I、上的边缘，s；、S］为光束中心光线与透镜