预测07 基本初等函数（文）（解析版）高中数学

预测07基本初等函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

①指数与指数函数的运算与性质

②对数与对数函数的运算与性质

考向预测③指数、对数、二次、幕函数的图象、不

等式及大小比较等问题

应试必备

基本初等函数的运算与图像性质等问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，

因新高考改革出现在多选题也有可能，因此弄清基本初等函数的运算与图像性质的常见考点至关重

要。

复习本专题要围绕两个重点展开：

1.指数与指数函数的运算与性质

2.对数与对数函数的运算与性质

3.指数、对数、二次、幕函数的图象、不等式及大小比较等问题

■知识必备

1.幕函数

(1)定义：形如y=d(aeR)的函数称为幕函数，其中底数x是自变量，a为常数.常见的五类基函数

为y=x,y=x2,y=x3,y=d,y=x'I.

(2)性质

①基函数在(0,+oo)上都有定义；

②当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)上单调递增；

当a<0时，累函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.指数函数的图象与性质

y=ax(a>0且a>\0<4<1

尸Qty

图象

ZZEZT1

o\i"o\i~°”

定义域R

值域(0,+oo)

过定点(0,1)

当x>0时，y>l；当x>0时,0<y<l；

性质

当x<0时,0<y<l当x<0时，y>l

在R上是增函数在R上是减函数

3.对数函数的图象与性质

a>\0<a<]

】|r=l

图象0a.0)*N(L。).

1•尸1。8产

定义域：(0，+co)

值域：R

过定点(1,0)

性质

当x>\时，y>0当心>1时，><0

当0*1时，y<0当04<1时、)>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

比较指数嘉大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够

化同底的尽可能化同底.

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大

小，然后得出大小关系.

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象

比较大小.

比较对数值的大小的方法

p向底或TW两套薮窗般鬲革河桂由裴；

垣研♦直荚蚪t利府函薮建最耗在为面底板就说丽薮反犹

L：底缸真藏为示闻一沔仄审面显防二匚0：语”

2

真题回顾

1.【2020年高考全国I卷文数】设alog34=2,则4一"=

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【解析】由alog34=2可得logs-=2,所以4"=9，

所以有4-"='，

9

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运

算法则，属于基础题目.

2.1202()年高考全国11卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加

配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为

0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率

不小于0.95,则至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900,设需要志愿者x名，

50x

诉20.95,x217.1,故需要志愿者18名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

3.【2020年高考全国II卷文数】设函数_/(x)=x3—二，则兀0

x

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+00)单调递减

【答案】A

【解析】因为函数〃力=尤3-g定义域为{X|XH0},其关于原点对称，而/(一x)=—/(x)，

3

所以函数/(X)为奇函数.

乂因为函数>=/在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增,

而y=3=/在(0,+?)上单调递减，在(-?,0)」二单调递减,

所以函数〃力=1—；在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增.

故选:A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

4.【2020年高考全国1H卷文数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学

者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天)的Logistic模型：

/"re43(T3)，其中K为最大确诊病例数•当/(r*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/*约

为(lnl9=3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】•"⑺Ie黑3),所以'('*)=1+，仆53)=。95跖则尸F/，

3

所以，0.23(f*-53)=lnl973,解得广4-53«66.

023

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

2

5.【2020年高考全国III卷文数】设a=log32,Z?=log53,c=-,则

A.a<c<hB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<h

【答案】A

I1?112

3>125===c,

【解析】因为4=§log323V§log39=3=C,Z?=-Iog53-°g5-3

所以avcvb.

故选A.

【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

6.【2020年高考全国H卷文数】若2二2)v3r-3'则

4

A.ln0r+l)>OB.In(厂x+l)〈OC.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】由2*—2y<3r-3-y得：2*-3T<2y-3-y，

令/⑺=2内,

•.•y=2"为R上的增函数，y=3-*为R上的减函数，二/(。为R上的增函数,

••x<y,

Qj-x>0,/.y-x+1>1,；.ln(y-x+l)〉0,则A正确，B错误:

Qk-乂与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数

的单调性得到%y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

AB

CD

【答案】A

-/IY

【解析】由函数的解析式可得：/(—X)=JW=—/(X),则函数f(x)为奇函数，其图象关于

坐标原点对称，选项CD错误；

4

当x=l时，y=---=2>0,选项B错误.

1+1

故选:A.

5

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数

的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性,

判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

8.【2020年高考天津】设a=3°7,匕=g）s,c=logo7（）.8,则的大小关系为

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因为4=307>1，

b==3。8>3°7=&，

C=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<力.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数基和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函

数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：>=",当时，函数递增：当0<a<l时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：y=logax,当“>1时，函数递增；当0<a<l时，函数递减：

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

9.[2020年新高考全国I卷】基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再

生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情

初始阶段，可以用指数模型：/«）=e"描述累计感染病例数/⑺随时间r（单位:天）的变化规律，指

数增长率r与R）,T近似满足Ro=1+4有学者基于已有数据估计出R）=3.28,公6.据此，在新冠

肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln2=0.69）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

6

a9R_i

【解析】因为4=328,T=6,4=1+”,所以r=------=0.38，所以/。)=e"=ea38/,

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4天,

则eoMl)=2*38,，所以e°-3M=2,所以0.38%=In2,

In20.69

所以。。1.8天.

038038

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

3

x,x~若函数g(x)=/(x)—收_2%|(ZeR)恰有4

10.【2020年高考天津】已知函数/(无)=<

—x,x<0.

个零点，则Z的取值范围是

A.U(2V2,+00)B.(—co,—)U(0,

2

C.(-8,0)U(。,26D.(-<»,0)0(272,+oo)

【答案】D

f(尢)

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I区一21=咛一恰有3个实

|尤|

根

即可,

令力。)=曾，即y=|日-2|与/z(x)=瞥的图象有3个不同交点.

\x\\x\

因为以力甯弋,x>0

x<0

”'M=0时，此时y=2,如图i,y=2与/i(x)=g半有2个不同交点，不满足题意;

当k<0时，如图2,此时y=|近一2|与〃(为=半?恒有3个不同交点，满足题意:

\x\

当上>0时，如图3,当>=h-2与y=》2相切时，联立方程得/一依+2=0，

令A=0得公一8=()，解得女=2近(负值舍去)，所以k>2尬.

综上，Z的取值范围为(-8,0)U(20,+oo).

7

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

11.【2020年高考北京】已知函数/(x)=2、-X-1,则不等式/(x)>0的解集是

A.(-1,1)B.(-8,-DU。-)

C.(0,1)D.(-00,0)51,+8)

【答案】D

【解析】因为/(x)=2'-x-l,所以析(x)>0等价于2，>x+l，

在同一直角坐标系中作出y=2*和y=x+l的图象如图：

8

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),

不等式2*>无+1的解为x<0或x>l.

所以不等式/(力>0的解集为：(—8,0)。。,+8).

故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

12.[202()年高考北京】函数/(x)=—I—+lnx的定义域是.

x+1

【答案】(0,+8)

x>0

【解析】由题意得《,:.x>0

x+1#0

故答案为：(0,+oo)

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

13.【2020年高考江苏】已知月(无)是奇函数，当位0时，=则H-8)的值是▲

【答案】-4

2

【解析】/(8)=如=4,因为了。)为奇函数，所以/(-8)=-/(8)=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

名校预测

一、单选题

1.(2021.全国高一课时练习)已知/(%)=3"，(2WxW4”为常数)的图象经过点(2,1),则/(x)

9

的值域为（）

A.［9,81］B.[3,9]C.[1,9]D.

【答案】C

【分析】

由/（2）=1求出实数》的值，再利用指数型函数的单调性可求得函数/（x）在［2,4］上的值域.

【详解】

因为函数〃x）=3i的图象经过点（2』），则〃2）=32"=1,所以，b=2,则/（X）=3*-2,

因为函数/（司=31在［2,4］上一为增函数，

当2＜xW4时，/（2）＜/（x）＜/（4）,B|Jl＜/（x）＜9.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：指数函数性质的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应在有关性质的基础上

进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化.

2.（2021•全国高一课时练习）若指数函数y=h・优在［反2］上的最大值与最小值的和为6,则。二

（）

A.2或-3B.—3

1

C.2D.

2

【答案】C

【分析】

根据指数函数的定义可得出力=1,然后分。＞1、0＜。＜1两种情况讨论，分析函数的单调性，结合

已知条件可得出关于实数。的方程，解出即可.

【详解】

因为函数y=6优为指数函数，所以b=l.

当时，y=优在［1,2］上的最大值为“2,最小值为。，则片+。=6,解得。=2或。=一3（舍）；

当0＜。＜1时，y="在［1,2］上的最大值为。，最小值为则/+0=6,解得。=2（舍）或

a=-3（舍）.

10

综上可知，a=2.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用指数函数在区间上的最值求参数，解题的关键在于对指数函数的底数的

取值范围进行分类讨论，结合函数的单调性得出等式求解.

3.（2020•湖北高三期中）若=log2a,^=投,郎=2一。,则a,Ac的大小关系是（）

A.c<a<hB.c<h<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】

11

分别画出函数y=（；尸,y=log2x,y=炉的图象，由图象交点坐标，即可判断得出a,dc的大小关

系.

【详解】

11

分别画出函数y=（；）*,y=log2x,y=N的图象，如图所示,

由图象，可得c<匕<a.

4.（2020•全国高一课时练习）函数於）=噢［仁-3x-10）的单调递增区间为（）

2

11

A.(—oo,—2)B.(—00,—)

2

3

C.(-2,-)D.(5,+oo)

【答案】A

【分析】

求出函数的定义域，转化为求函数〃=(一3x—10在(-8,—2)U(5,+8)上的单调递减区间，根据

二次函数单调性可求出结果.

【详解】

由题意,得A2—3K—10>0,

.'.(%—5)(x+2)>0,Ax<—2或x>5.

令w=x2—3x—10,

函数人上)的单调递增区间即为函数〃=r—3X-10在(一oo,-2)U(5,+oo)上的单调递减区间，又〃

=x2—3x—10在(一8,—2)上递减，

所以函数/W=l°gl(V一3》一10)的单调递增区间为(一8,-2).

2

故选：A.

5.(2021•全国高一课时练习)函数/(x)=JTG+lg(x+2)的定义域为()

A.(—2,1)B.[—2,1]C.(—2,+co)D.(—2,1]

【答案】D

【分析】

解不等式组｛cc得出定义域.

x+2>0

【详解】

I----1-x20

函数/(x)=J=+lg(x+2)有意义等价于<c八0-2<x4l,所以定义域为(一2,1]

x+2〉0

故选：D.

二、多选题

6.(2021•山东高三二模)已知!<』<0,则下列结论一定正确的是()

ab

A.a2<b2B.—+—>2C.\ga2>\gabD.\a\a<\a\b

ab

12

【答案】AB

【分析】

根据题目所给不等式判断4、。的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A,利用基本不等式判断

B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项.

【详解】

V—<^<0,:.b<a<0,贝|]时<同，

a2<b2>A正确;

v->04>0，->2./^=2,当且仅当时取等号，

abab\abab

又2.处,2+3>2,B正确；

abab

Qb<a<0^/.0<a2<ah^/Aga2<lgab,C错误；

取。=-22=—3时，|a|"=L|a-=L此时|〃|">|肝，D错误.

48

故选；AB

7.（2021.全国高•课时练习）已知函数/■（x）=F!?,则下面几个结论正确的有（）

A./（X）的图象关于原点对称

B./（x）的图象关于y轴对称

C./（%）的值域为（一1,1）

D.X/^,%26R,且X]H%,'（%）/（"）<0恒成立

X]—x2

【答案】ACD

【分析】

利用奇函数的定义和性质可判断AB的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD的正误.

【详解】

Vx

对于A,f（）=L1-^2,则/（—x）=L1-^2"_=^2*_-_1J-=_/（）,

Jx1+2'J1+2-x1+2，」x

则/（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.

13

对于B,计算/(1)=一；，/(-I)=故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误.

1一2"2

对于C,/(%)=-----=—Id-------,1+2'£(1,十8),

1+2、1+2、

22

故y=/(x)=—1+一，易知：-1+—£(-1,1),故/(幻的值域为(—1/),故c正确.

tt

1-2X2

对于D,/(X)=JL^=—1+^^,

1+2、1+2”

2

因为y=1+2、在R上为增函数，y=—l+——为(1,3)上的减函数，

1+t

由复合函数的单调性的判断法则可得/(x)在R上单调递减，

故且不NX2,--------J<°恒成立，故D正确.

玉一九2

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调

性结合“同增异减''的原则来判断.

8.(2021・全国)对数函数y=log〃x(a〉0且awl)与二次函数y=(o-1)——1在同一坐标系内的

图象不可能是()

14

【答案】BCD

【分析】

讨论参数。的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函

数性质即可.

【详解】

若则对数函数y=Ioga%在(0,+8)上单调递增，二次函数丁=3—1)/一》开口向匕对称

1八

轴x=~~->0.经过原点，可能为A,不可能为B.

2(a-l)

若0<。<1,则对数函数y=log。%在(0,+8)上单调递减，二次函数丁=(。一1»2-彳开口向下，

1八

对称轴X=~-<0,经过原点，C、D都不可能.

故选：BCD.

9.(2021•全国高三专题练习)(多选题)函数/(X)=/一则关于函数人x)的说法正确的是

\nx,x>1,

()

A.定义域为RB.值域为(-3,+8)

C.在R上为增函数D.只有一个零点

【答案】ACD

【分析】

根据的解析式即可判断A；分别求每段解析式的对应的值域可判断B；画出函数的图象可判断

C；令每段等于零可判断D.

【详解】

由/(力=〈，得f(x)的定义域为R，A正确；

Inxx>1

当时，f(x)=eA-3,由0v/Ve，得一33Ve—3，

当时，/(x)=lnx,由lnx21nl=0,

所以值域为(―3,e—3)u[0,+oo),B错误；

15

由图象知/(%)在R上为增函数，C正确；

当x<l时，f(x)=ex-3=0,得e'=3，x=ln3>l，不满足，

当时，/(x)=lnx=O,得％=1,满足，

・•・/(X)只有一个零点，D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函

数零点的定义及求法，考查了数形结合思想，考查了计算和推理能力.

10.(2021•河北唐山市•高三二模)已知匕>0,且出?=4,则()

ab

A.2~>1B.log2a-log2b>1

C.2"+2">8D.log2aJog2b<1

【答案】ACD

【分析】

利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.

【详解】

Q3

因为。>〃>0,且。。=4,对A,a-h>Q,所以2所”>2°=1，故A正确；对B,^a=-,b=-,

416

所以log,a-log,b=log,7=log2X<log，2=1，故B错误;对C,2"+2"22,2"-2"=26了，

b9

当且仅当a=Z?取等号，又因为“+622而=4,当且仅当a=8取等号，所以

2。+2〃22，尸厅=8,当且仅当。=5取等号，因为a>b〉0,所以不能取等号，故C正

16

确；对D,当a>l>b>0,log2a>0,log26<0,所以logzdlog2b<1；当a>6>l,

log2。>。』。*>0,所以log,a.i°g/«(1啕a+晦4=。鸣海二1，当且仅当a=。取

等号，因为a>匕>0,所以不能取等号，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定一

积或和为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

11.(2021•湖南长沙市•长沙一中高一月考)已知函数/(力=2'+《，则()

A./(log23)=^B.的最小值为2

C.〃x)为偶函数D..f(x)在(—,+«>)上单调递增

【答案】BC

【分析】

A直接代入计算并验证；B利用换元法得到g«)=f+L结合基本不等式确定最值：C根据奇偶性

t

的定义判断即可；D由B中换元法，所得对勾函数的性质可直接判断单调区间.

【详解】

,3

A：/(log23)=2^+^lT=3+l=^)错误：

B：令/=2*>0，则/(x)=g(f)=r+；22jrj=2当且仅当f=l,即x=0时取等号，正确；

C：/X—x)=2-*+—!=2'+[=/.(>)且xeR,Ax)为偶函数，正确：

22

D：由B,若f=2*>0，/.(x)=g«)=r+l,则gQ)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，所以

t

f(x)在(一8,0)上递减，(0,+8)卜.递增，错误；

故选：BC.

12.(2021•山东烟台市•高三一模)若0<a<0<l,C>l,则()

abcc

A.c<cB.ba<ab

17

C.----<-D.log„c<logfec

c-ac

【答案】ABC

【分析】

根据指数函数，对数函数，基函数的单调性可判断.

【详解】

对于A,当c>l时，y=单调递增，所以由可得/<<?，故A正确;

对于B,当c>l时，所以c—l>0,所以y=在（0,+力）单调递增，由可得"T,

故B正确；

h-ab（b-a\c-b（c-a\a（b-c\

对于C,因为--------=-—J———-=4——又OvQVb<l,c>l,所以

c-ac\c-a）ccyc-a）

c-a>0,b-c<0,所以"巴<2,故c正确；

c-ac

对于D,当c>l时，y=log,.x单调递增，所以由可得log’avlogc^cO,

11

则•；——>--7,BPlogc>log„c,故D不正确.