第一讲几何光学

*皖且庠

【竞赛大纲】

1、几何光学。掌握光的直进、反射、全反射、折射、色散。掌握折射率与光速的关系。

平面镜成像。球面镜成像公式及作图法。薄透镜成像公式及作图法。眼睛。放大镜。显微镜。

望远镜。

2、波动光学。掌握光的「涉和衍射，光谱和光谱分析。电磁波谱。

3、光的本性。了解光的学说的历史发展。掌握光电效应，爱因斯坦方程，波粒二象性。

第一部分几何光学

§1.1几何光学基础

1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。

3、光的反射定律：

①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；

②反射光线和入射光线分居法线两侧；

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：

①折射光线在入射光线和法线所决定平血内：

②折射光线和入射光线分居法线两侧；

③入射角％与折射角,2满足sinz,=n2sini2.

④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现

sinC=—

象（折射率为小的光密介质对折射率为〃2的光疏介质的临界角％）。

§1.2光的反射

1.2.1、组合平面镜成像:

1.组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学

系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要

在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的

现象。先看•种较简单的现象，两面互相垂直的平面

镜（交于。点）镜间放一点光源S（图1-2-1）,S

发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、$2、图1-2-1

三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以。为圆心、OS为半径的圆

上，而且S和酬、S和§2、S］和邑、§2和S3之间都以平面镜（或它们的延长线）保

持着

对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较

复杂的情况中复像的个数和位置。

两面平面镜4。和3。成60。角放置（图1-2-2）,

用上述规律，很容易确定像的位置：①以。为圆心、

OS为半径作圆;②过S做4。和6。的垂线与圆交于Si

和§2；③过Si和§2作80和10的垂线与圆交于$3和

图1-2-2

枭；④过邑和以作4°和川的垂线与圆交于‘5,

Si~$5便是s在两平面镜中的5个像。

双镜面反射。如图1-2-3,两镜面间夹角。=15一^L

，力=10腐，/点发出的垂直于心的光线射向4后在两镜A1

图1-2-3

间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从1点开

始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少?

如图1-2-4所示，光线经4第一次反射的反射线为

0'

BC,根据平面反射的对称性，8C'=8C,且/B0C'=a。

C.

上述4,3,C',。'均在同一直线上，因此光线在4、人之

间的反复反射就跟光线沿ABC'直线传播等效。设N'是光

线第〃次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜

图1-2-4

面上，则〃值应满足的关系是〃。＜90°+，

90。

。取『5,/N'OA=75°,总路程AN'=O4g5a=37.3c〃z。

2、全反射

全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2,当入射角大

于临界角”=$m时，光线发生全反射。

全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组

成部分——光导纤维,就是利用光的全反射现象。图1-2-5图1-2-5

是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率〃।=13,外层材料的折射率

〃2=12,试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？

图1-2-5中的右表示光第一次折射的折射角，B表示光第二次的入射角，只要B大于临

界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。

P=sin-1几2i

=sin'&=sin'甘=67.4°r=巳一夕=90"-67.4°=22.6"

L32

sini/sinr=1.3/1

口要sini<0.50,i<30”即可Pi$______________P,

例1、如图「2-6所示，46表示一平直的平面镜，v♦卜N

AB

图1-2-6

48是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），，眼是屏，三者相互平行，屏.，网上的

ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图

所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部

位，并在々鸟上把这部分涂以标志。

分析：本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。

由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米

尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题o

解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像S'。连接Sa并延长交平面镜于点C,连接S'

与点C并延长交米尺公鸟于点E,点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接S'b并延长

交米尺打6于点F,且S%与平面镜交于D,连接S与点D,则点F就是人眼看到的米尺刻

度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。

s

解法二：根据平面镜成像的对称------

性，作米尺片02及屏,㈱的像，分别是/

巴「2及加州'，a”的像分别为优，〃，：乌力

:1/

如图「2-8所示。连接Sa交四于点C,：/

i

，，S'

延长并交片p2于点E',过点E'作图1-2-7

"（AB）的垂线，交于点色此点就是

人眼看到的米尺刻度的最左端；连接劭'交46于点〃，延长并交《02于点尸，过点尸作

3（AB）的垂线々鸟交于点尸，点尸就是人眼看到的米尺刻度的最右端。以部分就是人

眼通过平面镜可看见的米尺部分。

点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特

点常能使问题得以简洁明晰的解决。

例2、两个平面镜

之间的夹角为45°、60°、

120°。而物体总是放在

平面镜的角等分线上。

试分别求出像的个数。

分析：由第一面镜

生成的像，构成第二面

镜的物，这个物由第二

面镜所成的像，又成为

第一面镜的物，如此反图1-2-9

复下去以至无穷。在特

定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。

解：设两平面镜4和8的夹角为2，，物产处在他们的角等分线上，如图1-2-9(a)所

示。以两镜交线经过的。点为圆心，在为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面

镜1成的像用6,舄…表示，由平面镜6成的像用乙，乙…表示。由图不难得出：

6,吕…在圆弧上的角位置为

(2Z+1)。,鸟，「4…在圆弧上的角位置为

2兀-(2k-1)6。

其中4的取值为k=l,2,-

若经过4次反射，［成的像与6成的像重合，

则(2%+1)8=27_(2女_1)8

即20

当4时，k=4,有7个像，如图1-2-9

(a)所示；

TT

20=60"=-

当3时，k=3,有5个像，如图1-2-9

(b)所示；

24

28=120"=—

当3时，k=1.5,不是整数，从图

1-2-10(d)可直接看出，物广经镜力成的像在镜8面上,

经镜6成的像则在镜1面上，所以有两个像。

例3、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图

1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、或两平面高度抛光,

图1-2-11

AB、应1两平面高度抛光后镀银。试证明：经比1面入射

的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射(在与

班■面上),与之相应的由切面出射的光线，必与入射光线垂

直。

解：如图1-2-15所示，以，表示入射角，，'表示反射

角，r表示折射角，次序则以卜标注明。光线自透明表面的a

点入射，在楂镜内反射两次，由5面的e点出射。可以看得

出，在〃面的6点；

图1-2-14

入射角为12=4+22.5

f

反射角为‘2='2=八+225

在四边形幽C中，

a=90"-//=90°-r,-22.50=67.5°-八

而

0=360"—2x112.5"-a=135°—（67.5"—八）

=67.5"+4

图1-2-15

于是，1=。=90"—夕=22.5°-八

在仍中

Ncdb=180。--)

=180。-2(八+22.5")-2(22.5°-r,)=90°

这就证明了：进入棱镜内的第一条光线a6总是与第三条光线ce互相垂直。

由于棱镜的C角是直角，「i=360°-270°-/dec=90°-/dec=ii。设棱镜的折射率为〃，根

据折射定律有

sinI〕=7?sinr]sinq=nsinz.

•••〃=/4,.-.r4=%总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角i的大小无关。只要光路符

合上面的要求，由a'面的法线与切面的法线垂直，又有=「4，；•出射光线总是与入射光

线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角一90。。

例4、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束

平行光垂直地射入平表面力上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B(

射出的叔的最小值。已知玻璃的折射为1.5。

分析：如图『2-17所示，从/外侧入射的光线在外侧圆界面上的入t

射角较从/内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上，n

的入射角a最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线已凹

又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在

后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧图1-2-16

光线进行分析，使其满足相应条件即可。

解：当最内侧光的入射角a大于或等于反射临界角时，入射光线可

全部从8表面射出而没有光线从其他地方透出。

sintz>—

即要求n

d

sina=

图1-2-17

R+dn

dn-1

点评对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光

线”的表现是解决此类问题的关键。

§1.3光的折射

1.3.1、多层介质折射

'"1

如图：多层介质折射率分别为〃…则由折射定律

得：1V”2

为sinI；=nsinz=…=nsini____________

22kk________________；—〃3

1.3.2、平面折射的视深

在水中深度为方处有一发光点。，作制垂直于水面，求射

--------------------〃R

出水面折射线的延长线与0。交点°’的深度法与入射角/的关

图1-3-1

系。

4

〃=一

设水相对于空气的折射率为3,由折射定律得nsmi=sinz

令OM=x,则

x=d-tgi=d'-tgi'

,tgidjl-(〃sini)2

cl=a----=---------------

于是tgincosz

上式表明，由。发出的不同光线，折射后的延长线不再

交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，i=0’则

sin2z=0,cosi=l于是

,,d

a=—

nQ

这时小与入射角，无关，即折射线的延长线近似地交

图1-3-2

]__3

于同一点2,其深度是原光点深度的〃4。

如图1-3-3所示，历V反射率较低的一个表面,国是背面镀层反射率很高的另一个表面,

通常照镜子靠镀银层反射成

RM

像，在一定条件下能够看到四

产，

个反射像，其中一个亮度很底。

若人离镜距离,，玻璃折射率--

〃，玻璃厚度"，求两个像间的一二二二二一二二

S10()1SS|

距离。s2S32

QN

图中S为物点，S'是经版V

图1-3-3

反射的像，若S”S2，S3依次表示必卡面折射，国面反射和"V面再折射成像，由视深公式得

OlSl=nOxSt02s2=。2号=。田+d,。岛=〃。»

。。2+02s2d+4+d2d

°吊==1H

n------n----------n

0tS3-0}S'=—

故两像间距离为«

1.3.3、棱镜的折射与色散

入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光

线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图

1-3-4的几何关系知

=Zj+Zj_a

其中sin/!=nsinz2sini；=〃sini；图IE

①当％,a很小时，1h献2,献；='；即

8=(n-Da

厚度不计顶角a很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光

线而言，8与入射角大小无关，各成像光线经光楔后

都偏折同样的角度5,所以作光楔折射成像光路图时

可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图l-3-5o设物

点S离光楔L则像点5'在S的正上方。

h=/er=(n-l)a/力=/5=(n-1)ah

②当棱镜中折射光线相对于顶角a对称成等腰三角形时，八=1，G=i2，。

...“.a

smz.=sinz,=nsm—

112

紫

8-2arcsin(nsin—)-

'红2/

或者

紫…二

阳光

图1-3-6图1-3-7

这为棱镜的最小偏向角6,此式可用来测棱镜的折射率。

由于同•种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱

镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光

在水滴上经两次折射和一次反射如图「3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两

次反射如图1-3-7,形成内红外紫的霓。山于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。

1.3.4、费马原理

费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的

光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。

费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理,从费马原理可以推导出几何光学中

的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果

反射血是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，

所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，

也是很典型的。

一平凸透镜的折射率为"，放置在空气中，透镜面孔的半径为凡在透镜外主光轴上取

一点「，0F"=f（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于尸点。

试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点/与点。相距多少？（3）对透镜的孔径

力有何限制？

解：根据费马原理，以平行光入射并会聚于尸的所有

光线应有相等的光程，即最边缘的光线8尸与任一条光线

NMF的光程应相等。山此可以确定凸面的方程。其余问题

亦可迎刃而解。

图1-3-8

（1）取。一孙坐标系如图，由光线8尸和NMF"的等

光程性，得

nx+^f'-x)2+y2=ylf'2+R2

整理后，得到任一点"G,y）的坐标x,y应满足的方程为

,22r

2(nJf+R-fX2(nf'-^f'2+R2)2

(M—l)X—7Jy

n-1~=

I7

〃可J

令«"-l,n--]，则上式成为

2222

(n-l)(x-x0)-y=o

这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。

(2)透镜顶点/的位置应满足

(r-1)区-No),=/

a7/，2+/?2~f

X.=x八——,二----------------

或者7〃Tn-l

可见，对于一定的〃和/,XA由“决定。

(3)因点尸在透镜外,即这是对R的限制条件，有

4尸+R'f、f,

n-l

即要求R<^n-^-\f

讨论在极限情形，即A&J/T;时,有如下结果：

77,2+(n2-i)//2-r

X.=----------------------------=T

即点A与点尸重合。又因

故透镜凸面的双曲线方程变为

(〃2—l)(X—广产―产=0

y=±yln2-l(x-f')

图1-3-9

双曲线退化成过点F'的两条直线，即这时透镜的凸面

变成以F'为顶点的圆锥面，如图「3-9所示。考虑任意一条入射光线初V；由折射定律有

“Sind=sin.，由几何关系

sin。=cos。=

JL+R

sin.

即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点尸'，此时的角6就是全反射的临界角。

例1、半径为斤的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3T0所x\\

示。。为圆心。已知玻璃的折射率为拉。当光由玻璃射向空气\\

时，发生全反射的临界角为45。，一束与以'平面成45°的平行\

光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从4M，1

，切平面上射出。求能从腑『平面射出的光束的宽度为多少？MON

分析：如图1-3T1所示。进入玻璃中的光线①垂直半球

面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在。点图1-3T0

发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在.，瓶上的入

射角都大于临界角，在助V上发生全反射，不能从斑V射出，光线①右侧一直到与球面正好相

切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在，恻面上的入射角均小于临界角，都能从朝V面

上射出，它们在WV上的出射宽度即是所要求的。

解：图1-3T1中，切为沿半径方向入射的光线，在0整\\

点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射\\\

MOE

图1-3-11

角i=90。，折射角为「，则有

sinz-nsinr

r=45°

这表示在。点折射的光线将垂直,"射出，与也V相交于E点、

.肠V面上您即是出射光的宽度。

0E=Rsinr=--R

2

讨论如果平行光束是以45。角从空气射到半圆柱的平面表

面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多图1-3-12

大？参见图1-3T3所示，由折身定律sin45"=五sinr,得

.1

sinr=—

2,r=30\即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在£点发生折射的折

射光线刃，如果此光线刚好在/点发生全反射，则有、［。'尸

〃sinNE4。=sin90°,而〃=也，即有NE4°=45°,因胡M

与如平行，所以NEAO=ZAOB=45°,所以ATSs一\B

*=180。—45°-60。=75°,即射向A点左边MA区域的折射光图L3T3

（夕<45°）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发

生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（夕>45°）则由小于临界角而能射出，

随着小角的增大，当NFCO=45°时，将在。点再一次达到临界角而发生全反射，此时

NFOC=15°故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为

750</<165°。

点评正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足

够重视。

例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化

图1-3-14

一束光在0点由空气垂直入射平板，并在A点以角a出射(图1-3-14)。求A点的折射

率n,、，并确定A点的位置及平板厚度。(设〃o=12'=13cm,a=30°

解：首先考虑光的路线(图卜3-15)。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光,

可以应用斯涅耳定律

sin-1_«2_sin氏_%

sinn}sin入n2

更简单的形式是

%sin国-n2sin/72=n3sinJ33

这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿X轴变化，即

nxsin(3x=常数

在本题中，垂直光束从折射率为n。的点入射,

即凡=%,尸，=90°为常数，于是在平板内

任一点有X1

〃<sin/r=〃o

图1-3-16

图1-3-15

〃，与x的关系已知，因此沿平板中的光束：

为

.n"oixr-x

sinpx——1=

nxrr

图(1-3-16)表明光束的路径是一个半径为必寸的圆,从而有

0C—x

------=sinpn

XC------'v

现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在4点射出时,

有

sinasina

n.-=

sin(900-J3A)cos0A

因为sin/3B=n0；故有

sinA--

nA

C0sAi=J1-国

A7

于是

sintz

因此

在本题情形

,、1.2

nA=1.3=--------

1-上

根据13

得出4点的x坐标为x=lcm.

光线的轨迹方程为

y2+(l+x)2=r2

代入x=lcm,得到平板厚度为y=d=5cm

例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为〃的液体的槽，槽的中

部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩4D,B,顶角为2°,罩内为

空气，整个罩子浸没在液体中，槽底46的中点处有一个亮点心请

求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条

件。

解：本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观

察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线炉将经过两

图1-3-17

次折射而从液面射出。由折射定律,

按图上标记的各相关角度有

sina=nsin/7(1)

sin/=—sind>

n(2)

其中

3<7r/2

图1-3-18

Sy<7T/2(J3+(p)(3)

如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界

角Y。应满足条件

siny(,=1/n

可见光线以经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

Y<Y(4)

或sin/=1/72(5)

现在计算sin/,利用（3）式可得

siny=cos(夕+.)=cos0cos夕一sin£sin(p

由(1)式可得

由此

nsin/=cos（pyln2-sin2a一〃sinasin^

又由（1）式

nsin/=cos%1-sin2a-nsinasin。⑹

由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，a越大则y越小。因此，如果与a值最

大的光线相应的，设为%”＞九，则任何光线都不能射出液面。反之，只要九”（九，这部

分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。

自。点发出的a值最大的光线是极靠近切的光线，它被如面折射后进入液体，由（6）

式可知与之相应的,小；

a=7r/2-(p

22

nsinym=CQS(p^n-coscp-cos^sin^?<1

能观察到亮点的条件为

nsin/w<1

即cos(pyfn2-cos2(p-cos夕sin°<1

上式可写成

cos(fly/n2-cos2(p<1+coscpsin(p

取平方

cos2(p(n2-cos2°)<l+2cos^sin^+cos2^(1-cos2(p)

化简后得

(/?2-cos2(p)<l+2cos/sine=cos2°+sin2°+2cos*sine

故(〃2-i)cos2(p<(cos^9+sin(p)2

平方并化简可得

tan^>y/n2-1-1

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与6之间应满足条件。

%=1.1;4=105nm2

4

a2=1.3也=5xl0n/?r

1、确定使得从任何方向入射的光线在经过4C面时不发生折射的波长X。。确定此情形

的折射率勺和松。

画出入射角相同的、波长为"红、和'蓝的三种不同光线的路径。

2、

3、确定组合棱镜的最小偏向角。

4、计算平行于加入射且在离开组合棱镜时仍平行于比1的光线的波长。

解：1、如果々=%,则从不同方向到达4c面的波长为几。

的光线就不折射，即

因而

在此情形下〃i=〃2=L5。

2、对波长比4长的红光，％和〃2均小于1.5。反之，对波长比4短的蓝光，两个折

射率均比1.5要大。现在研究折射率在〃'面上如何变化。我们已知道，对波长为4的光，

〃2/〃1=1。

如果考虑波长为丸红而不是4）的光，则由于仇＞%,所以“2/々＞1。同理，对蓝光

有〃现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图1-3-20）。

3、对波长为友的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为"=/.5的单一一棱镜。

我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图1-3-21中的a角相

等时发生。

根据折射定律，

sina_,

-----1.5

sin15因而a=22°50,

偏向角为

图1-3-21

b=2a—30°=15°40'

4、利用图1-3-22中的数据，可以写出

sin300sin(60"-a)=%

sina一"；sin30°n]

消去a后得

=〃；+%+1

经变换后得

(3/?1~——〃2—1)4，+(6%么—2a,%)元+3b：—b；=0这图1-3-22

是的二次方程。求解得出

2=1.18//m

例5、玻璃圆柱形容器的壁有定的厚度，内装•种在紫外线照射下会发出绿色荧光的

液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为〃1,液体对绿光

的折射率为〃2。当容器壁的内、外半径之比r；A为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为

零？

分析：所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容

器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所

描述为折射角为90。的临界折射。因为题中未给出外、%的大小关

系，故需要分别讨论。

解：（1）当叫<〃2时，因为是要求r：彳的最小值，所以当

图1-3-23

%<〃2时，应考虑的是图1-3-23中这样一种临界情况，其中

比光线与容器内壁相切，切光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

sini2_1

sin900几i

设此时容器内壁半径为「。，在直角三角形比。中,sinz2=rQ/R当r<为时，c处不可能

发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当「〉「。时，荧光液体中很多点发出的光都能在C

处发生临界折射，所以只要满足

r/7?>1/«,

即可看到壁厚为零。

(2)当〃I=〃2时

此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在切及

其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍

然是

(3)当〃1>〃2时

图1-3-24

因为〃1>〃2,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发

生折射角为90°的临界折射，因此当「二心。时，所看到的壁厚不可能为零了。当时，

应考虑的是图1-3-24中力版这样一种临界情况，其中46光线的入射角为90°,比光线的

折射角为八，此时应该有

sin900_nx

sinrjn2

在直角三角形初中有

sinr,=OE/OB

因为图1-3-23和图1-3-24中的‘2角是相同的，所以=即

sin900_n}

小%

R

将0%代入，可得当

r/R>l/n2

时，可看到容器壁厚度为零。

上面的讨论，图1-3-23和图1-3-24中6点和。点的位置都是任意的，故所得条件对眼

的所有位置均能成立(本段说明不可少)。

例6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率力=/.5,中心轴线长一端是半径为

&=/应7»的凸球面。

(1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像于

主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面?

图1-3-25

%（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角

放大率）。

分析：首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光

线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴

上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。

解：（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于

主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处,

如图1-3-25所示，图中G为左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

sin6Ali

AF}-R}

Risin^-rj,八（«!/rjn-\①

亚i=_L

即R|"-1②

光线尸工射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心

02一定在端面顶点8的左方，028等于球面的半径尺,如图1-3-25所示。

仿照上面对左端球面上折射的关系可得

R2〃-1③

又有

BFX=L-AF,④

由②③④式并代入数值可得

尺2=⑤

即右端应为半径等于5c必的向外凸面球面。

（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、6表示，令a过G,8过如图1-3-26

所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点机即为左端球面对此无限远物点成的像点。

现在求M点的位置。在中

AMAMR]

sin(万一%)sin%sin(^,-(p{)⑥

_图1-3-26

⑧

与②式比较可

知，AM«AFtt即"位于过垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系

统，则凡是过"点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从材

射向。2的光线将沿原方向射出，这也就是过"点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射

出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为°2。

%_GK_R[

⑨

由②③式可得

丽_6%

~BF\-R2-R]

/=%=2

则&

⑩

例7、在直立的平面镜前放置一个半径为万的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面

为3匕缸中充满水。远处-观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面

最近处以速度r沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率炉4/3。见

图1-3-27和图1-3-28»

解：鱼在1秒钟内游过的距离为%我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。

在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。

、//

在乙点游动的鱼只经过一个折射面就形成个像（图2-

1-3-27）,从4点以角度夕=NA^°发出的光线，在4点一力

图1-3-27

的水中入射角为片在空气中的折射角为“7,把出射光线向相反方向延长给出虚像位置Ki。

显然

NK]AT[=n/-/=(/i-l)y

从三角形KJA,有

5—(〃-1)7

&A—/

利用通常的近似

图1-3-28

K|A=KIO+R

KJaKQ-R

于是

所以这个虚像与球心的距离为

水的折射率上4/3,从而6°=2n。若折射率大于2,则像是实像。由像距与物距之商得

到放大率为

K.0_n

7\0~2-n

对水来说，放大率为2。

以与速度「相应的线段为物，它位于在£处平面镜前距离为2广处，它在镜后2月远的心

处形成一个与物同样大小的虚像弓离球心的距离为5几在一般情形中，我们设72°二"式。

心的虚像是我们通过球作为—个透镜观察时的(虚)物。因此，我们只要确定外的实像而

无需再去考虑平面镜。

我们需要求出以Y角度从弓发出的光线在「点的入射角£，其中/二/^^在三角形

T20c中

L=T2O=kR=k

YCORs=ky

玻璃中的折射角为

刍=丝=ZDCO=ZCDO

nn

需要算出角。因为

Z.COF=£_y=ky_y=y(k-1)

而且/CO。与C点和〃点的两角之和相加，或与NC°F和NDOB之和相加，两种情

况下都等于180°,因此

NOO8+y(k-1)=2包

n

NDOB=""-k+l)

即n

0K2k

DKIk~1~~

2---k+1

从三角形。°七，有n

OK2k

OK2-R—+]

此外n

因此像距为

2一八

若A=5,77=4/3,得3