小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 教师版 (90) 全国（含答案）

5-5-4.中国剩余定理

及余数性质拓展

1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理

2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用

一'中国剩余定理——中国古代趣题

（1）趣题一

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，

七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余

1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人...o刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则

兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小

公倍数为这些数的积），然后再加3,得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说

上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国

剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一■席非常重要的地位。

（2）趣题二

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，

五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理“（ChineseRemainder

Theorem},是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：

三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘.

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘.

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘.

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数.

此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的

余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,

最后所得的整数就是所求.也就是2x70+3x21+2x15=233,233-105=128,128—105=23

为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？

先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除，所以70。是一个被3除余。而被5与

7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b是被5除余6,被3与7整除的数；同理15c

是被7除余c,被3、5整除的数，105是3,5,7的最小公倍数.也就是说，70a+2妨+15c是被3除余

a,被5除余6,被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.

了解了“剩余定理''的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.

二、核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》

中的问题为例，分析此方法：

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后，得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构

造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的

“下一个”倍数35x2=70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2x70+3x21+2x45士妞3,5,7]=233—左[3,5,7],其中左是自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求

的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2x70+3x21+2x45—2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”，

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

即初醯窗

模块一、余数性质综合

【例11一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是。

【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题

【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14

除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11

【答案】11

【例2】有一群猴子正要分56个桃子.每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时.又窜来4只猴子。只好

重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子.则最后每只猴子分到桃子

一个。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分

【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,

55的约数有：I、5、11、55,

其中只有11=7+4,所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55+11=5个.

【答案】5

【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4

只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到一

个桃子。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分

【解析】56的因数有1,2,4,7,8,14,28,56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴子8只，每只猴

子分到56+8=7个桃子。

【答案】7

【例3)一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？

【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答

【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-10=3,观察发现这个数加上3后就能

2

同时被11和13整除，所以［11、13］=143,所以这个数是143-3=140。

【答案】140

【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一

种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？

【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第10题

【解析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5,减去8能被5整除，即除以5

余3,求其最大值。13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍数为40,13+2x40=93,为满

足条件的整数，即最多有93名同学。

【答案】93

【例4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人,

问上体育课的同学最少一人。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】小数报，初赛

【解析】题意相当于：除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这样我们根据总结知道都只能“凑

缺”，所以都缺1,这样班级人数就是［3、4、5、6卜1=60-1=59人。

【答案】59

【巩固】有一个自然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小

是。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分

【解析】这个数加1能同时被2,3,4,5,6整除，而［2,3,4,5,6］=60

所以这个数最小是60-1=59„

【答案】59

【巩固】〃除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,，除以16余15。“最小为。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分

【解析】"加上1后变成1〜16的公倍数，所以”+1最小为16x9x5x7x11x13=720720,"最小为720719。

【答案】720719

【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；

若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4

动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了个动物小玩具。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】学而思杯，3年级，第9题

【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。所以这次

活动小朋友至少拿了59个玩具。

【答案】59

【巩固】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人

分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分

【解析】这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5,

3x4x5=60,那么小朋友至少59人

【答案】59

［例5］一个自然数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.

3

【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】解答

【解析】这个数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,所以这个数加上6后能被7,8,9整除，而[7,8,9]=504,

所以这个数加上6后是504的倍数.由于这个数被7,8,9除的三个商数的和是570,那么这个数

加上6后被被7,8,9除的三个商数的和是570+1+1+1=573,而

504+9+504+8+504+7=7x8+7x9+8x9=191,573-191=3,

所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504x3-6=1506.

【答案】1506

【例6】数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5

除时，余数为4；当被6除时，余数为5.问：具有这种性质的三位数还有几个？

【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答

【解析】[1,2,3,4,5,6]=60.三位数中60的倍数15个.所以，除了119夕卜，还有15-1=14（个）.

【答案】14

【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,

最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本.那么这批图书共有一本.

【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题

【解析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.

所以这批书的本数加上2之后是24,28,32的公倍数，而[24,28,32]=672,所以这批书的本数是

672人-2（左是整数）.由于这批书少于1000本，所以％只能为1,这批书有670本.

【答案】670本

【例7】某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是。

【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分

【解析】除以2余1,除以4余1,除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以

表示为20n+l,n是自然数，所以20n+l中除以3余2的最小数是41.

【答案】41

【例8]一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？

【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答

【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这样我们可以把余数

都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于除以7余8,所以可以看成

这个数除以5、7、9的余数都是8,那么它减去8之后是5、7、9的公倍数.而[5,7,9]=315,所以

这个数最小为315+8=323.

【答案】323

【巩固】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？

【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答

【解析】法一：仔细分析可以发现3x2+l=5+2=7,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于

[3,5,1]=16:,所以这个数最小是165+7=172.

法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、

11的最小公倍数，得到172即为所求的数.

【答案】172

【例9】。是一个三位数.它的百位数字是4,a+9能被7整除，a—7能被9整除，问。是多少？

【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答

【解析】。+9能被7整除，说明a+9—7="+2能被7整除；。一7能被9整除，说明“一7+9=。+2能被9

整除；7x9=63,则63-2=61符合上述两个条件.（因63-2=61,则。可以写成这样的形式：

a=63x?+61）.又。是一个百位数字是4的三位数，估算知，a=63x6+61=439.

【答案】439

4

【例10】一个八位数，它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633,

那么它的后两位数字是o

【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】填空

【关键词】101中学，入学测试

【解析】设后面这个两位数为"，前面数字和为26除以3余2,所以补上的两位数数字和要除以3余2。同

理要满足除以4余2;八位数中奇数位数字和为（2+7+3+。），偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求

a=b+2,所以满足条件的只有86。

【答案】86

模块二、中国剩余定理

【例11】“民间流传着一则故事——，韩信点兵，秦朝末年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将士与楚王大

将李锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人.忽有后军来报，说有楚军

骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排,

结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有1073

名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人.”根据故事中的条件，你能

算出韩信有多少将士么？

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【分析】也就是说：一个自然数在1000和1100之间，除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的

数.

方法一：先列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26,;

再列出除以5余3的数：3,8,13,18,23,28,.

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就

是8+15x整数，列出这一串数是8,23,38,,再列出除以7余2的数2,9,16,23,

30,,就得出符合题目条件的最小数是23.而[3,5,7]=105,我们就把题目转化为：

求1000~1100之间被105除余23的数.韩信有105x10+23=1073（个）将士.

方法二：我们先找出被3除余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,

44;

被5除余3的数：3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58;

被7除余2的数：2,9,16,23,32,37,44,51.

三个条件都符合的最小的数是23,以后的是一次加上3,5,7的公倍数，直到加到1000

和1100之间.结果是23+105x10=1073.具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开始

做会方便一些.

方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求233加上105的倍数在1000~1100之间的数.通过

尝试可以求出这个数是233+105x8=1073.

【答案】1073

[例12]一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一、根据总结,我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”

3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余4的除以5余3除以3余2

可以找出分别是：606335

可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，

使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。

方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，

首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4,当4被加上两个7时得到18,恰好

除以5余3,此时符合后两个条件；

5

再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18,当18被加上1个35个，得到53,检验符合三个条件.所

以所求的最小自然数就是53.

【答案】53

[例13]一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【解析】方法1:中国剩余定理

3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余3的除以5余2除以3余1

可以找出分别是：454270

可见45+42+70=157满足我们的条件，但不是1000到1200之间的数，处理方法就是加上最小公倍数

的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：105x10+52=1102。

方法2:我们先找出被3除余1的数：

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,

被5除余2的数：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,

被7除余3的数：3,10,17,24,31,38,45,52,

三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和

1200之间.结果是105x10+52=1102.

方法3:先列出除以3余1的数：1,4,7,10,13,16,

再列出除以5余2的数：2,7,12,17,22,27,

这两列数中，首先出现的公共数是7.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

7+15x整数，列出这一串数是7,22,37,52,再列出除以7余3的数：

3,10,17,24,31,38,45,52,就得出符合题目条件的最小数是52.事实上，我

们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200之间，应该是

105x10+52=1102.

方法4:设这个自然数为°,被3除余1,被5除余2,可以理解为被3除余3x2+1,被5除与5+2,

所以满足前面两个条件的a=15m+7（%为自然数），只需15/W+7除以7余3,即15根除以7余3,

而15+7=21,只需,"除以7余3,加最小为3,所以满足三个条件的最小自然数为3x15+7=52,

其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间.结果是105x10+52=1102.

【答案】1102

【例14]一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【解析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：

5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数

385231165105

770462330210

1155693495315

.....................

除3余2的最小除5余3的最小除7余4的最小

数是770值是693值是165

3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1,所以210*5=1050

被11除余5,由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，但不是最小值，还

需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数.由于3、5、7、11的最小公

倍数是1155,所以2678-1155x2=368是符合条件的最小值.

法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分

别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到70x2+21x3+15x4=263是满足前3个余数

条件的，从而其中最小的是263-105x2=53;由于53除以11的余数为9,105除以11的余

数为6,可知9+6x3=27除以H的余数为5,所以53+105x3=368是满足条件的最小数.也

6

可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8,也就是除以3、5、

7的余数都是1,所以满足前三个条件的数最小为（3x5x7+l）+2=53,后面的步骤与上面的

解法相同.

【答案】53

【例15］有连续的三个自然数。、。+1、。+2,它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小

的数至少是多少？

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【解析】法一,：

由4+1是8的倍数，得到。被8除余7,由a+2是7的倍数，得到。被7除余5,现在相当于一个

数a除以9余0,除以8余7,除以7余5.运用中国剩余定理求a（用逐步满足的方法也可以）

7和g7和98和9

的公信数的公倍数的公倍数

566372

112126144

168189216

224252288

280315

378

441

..................

7和8的公倍数中除以9余1的最小为280;7和9的公倍数中除以8余1的最小是441;8和9的

公倍数中除以7余1的最小是288,根据中国剩余定理，

280x0+441x7+288x5=4527符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公

倍数,可知4527-（7x8x9）x8=495是满足各个余数条件的最小值，所以“至少是495.

法二：

仔细观察，可知由于a、a+1、a+2,恰好分别是9、8、7的倍数，那么口+9、a+1+8、a+2+7也

分别是9、8、7的倍数，即a+9是9、8、7的公倍数，那么a+9的最小值是9x8x7=504,即。至

少是504—9=495.

【答案】495

模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理

【例16］有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【关键词】首师大附中，分班考试

【解析】方法一：除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17,20,23,

它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,

除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,

它们除以12的余数是：1,5,9,1,5,9,

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是

5.

方法二：一个数,除以3余2,除以4余1,可以理解为除以3余3+2,除以4余4+1,所以这个

数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a,则。=12m+5,（机为自然数）所以这个

数除以12余5

【答案】5

【例17］如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，

每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到8孔.他

又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到5孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这

个圆圈上共有多少个孔吗？

7

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答

【关键词】华杯赛

【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号

为2,3,4,B孔的编号就是圆圈上的孔数.

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上，也就是说，

小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1.

同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最

后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数.

如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就

等于孔数，设孔数为a,则。=15m+1（加为非零自然数）而且。能被7整除.注意15被7除余1,

所以15x6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加

1都不能被7整除，而15x7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔教只能是

15x6+1=91.

【答案】91

【例18】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的三位数

中最小的数最大是。

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】设中间数是a,三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a,由1313a得13|3a,所以中间数能被13整除，

而其中最大的数被9除余4,说明中间数被9除余3,从1000往下试能被13整除的数为988,975,

975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.

【答案】974

【例19】某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出

二人；若按七人一行排队，则多出一人.该年级的人数是.

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，二试，第6题，5分

【解析】符合第一、第三条条件的最少人数为3x7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是符

合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3x5x7=127。

【答案】127

【例20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，

结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知

道你们年级原人数应该是（）人。

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛决赛第6题，10分

【解析】根据条件，该数除以3余1,除以5余2,除以7余1,逐级满足法，令该数为a,

则a+3....1①

a+5....2②

a^l....1③

符合条件①的有1,4,7,10,13,16....

符合条件②的有2,7,12....

同时满足①、②的最小值为7,以后a=7+15%均满足①、②；

现在来看（7+15m）贝1115m+7…1,则山最小取1,符合,最小的符合的数为。=22。

8

以后每隔［3,5,7］=105即符合。该年级有100多名学生，为22+1-5=127。

【答案】127

【例21］三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是.

【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或

者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数

为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1,那么题目变为：一个数除以4余1,除

以9余8,且能被7整除，且这个数的最小可能值.这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，

也可以采用中国剩余定理来解.

方法一：逐步满足法.

除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,;

除以9余8的数有：8,17,26,

可见同时满足这两条的数最小为17,由于［4,9］=36,

那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17,53,89,125,161,197.......

其中能被7整除的数最小为161,所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161,

那么它们的不口最小为161x3=483.

方法二：代数表示法.

根据题意，设这三个数分别为1、7左、7左+1(左是整数)，那么7人-1是4的倍数，7左+1

是9的倍数，由于7左一1=8%-(左+1),7左+1=9左-(2Z-1),所以左+1是4的倍数，2k—T

是9的倍数，由氏+1是4的倍数知2人+2是8的倍数，设2左-1=9〃，那么

2左+2=%+3=及+“T,所以“+3是8的倍数，〃最小为5,相应地发最小为23,那么

这三个自然数的和最小为7x23x3=483.

小结：本题并不难，以上四种解法中法1、法2是同余问题的解法，尤其是法2,是对中国

剩余定理的典型应用，需要学生掌握.而法3、法4则是采用代数方法来解，法3的关键

在于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示，再对这一个未知数进

行确定，法4则是采用代数变形和同余定理来逐步缩小可能的范围.可以看出，法3和法