第六章测量误差基础知识

第六章测量误差基础知识1第1页，共56页。第六章

测量误差基本知识2第2页，共56页。§6-1观测误差及其分类观测误差的来源（或产生的原因）1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响3第3页，共56页。一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。4第4页，共56页。测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……5第5页，共56页。系统误差的特性和消除方法1.特性:统一性误差的绝对值保持恒定或有一定规律单向性误差的符号不变，总朝一个方向偏离

累积性误差的绝对值随观测值的大小成比例累积2.消除方法：检校仪器把系统误差降到最低限度求改正数对某些误差应求其大小，将观测值加以改正，消除其影响。对称观测采出合理的观测方法，使误差执行消除或减少6第6页，共56页。测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差

。7第7页，共56页。（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差8第8页，共56页。§6-2偶然误差的统计特性

1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(6-1)真误差真值观测值9第9页，共56页。例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差

i为

i

=180–(i+i+i)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差

i的规律。

10第10页，共56页。误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然误差的统计

11第11页，共56页。-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。12第12页，共56页。偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。13第13页，共56页。偶然误差的削弱方法1.适当提高仪器等级；2.多余观察：评定精度和分配闭合差；3.求最可靠值或者最或是值。14第14页，共56页。偶然误差的特性和消除方法1.特性:有界性在相同的观测条件下，其绝对值不超过一定界限。

单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大。

对称性绝对值相等的正、负误差出现的频率相等。

补偿性观测次数无限增多其算术平均值趋近于零。2.消弱方法：适当提高仪器等级多余观测求最可靠值

15第15页，共56页。

§6-3评定精度的标准

所谓精度：就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标有多种，常用的有以下几种一、中误差：误差的概率分布函数即正态分布

曲线方程而σ就是标准差（均方差）即而我们测量上就叫中误差（条件是：观测次数是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得标准差的估值。）

所以中误差的公式为：这是由真误

差计算的中误差公式。

另外：这就是用改正数求中误差的白塞尔公式。16第16页，共56页。一、中误差正态分布曲线方程

用真误差计算中误差的公式真误差：标准差公式：中误差公式为：17第17页，共56页。当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：

则该量的改正数：用改正数计算中误差的公式计算得：观测值的中误差算术平均值的中误差18第18页，共56页。二、容许误差由偶然误差的第一特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会越过一定的限值。大量同精度观测的一组误差中，误差落在(-σ，+σ)、(-2σ，+2σ）、(-3σ，+3σ)的概率分别为

可见绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.3％、概率接近于0，因此通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值Δ限，并称为极限误差或容许误差。实践中．也常用2m作为容许误差。

即19第19页，共56页。三、相对误差

误差的绝对值与观测值之比称为相对误差。

通常将分子化为1的形式。相对误差是个无名数，有相对中误差、相对容许误差、相对真误差。

所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为1表示：

用绝对误差无法比较不同测量结果的可靠程度，于是人们用测量值的绝对误差与测量值之比来评价，并称它为相对误差，用表示，并可化成百分比，也叫百分误差。绝对误差=测量值-真实值

相对误差=绝对误差/真实值

相对误差不能用于评定角度测量的精度．因为角度误差与测角大小无关。20第20页，共56页。§6-4误差传播定律及其应用已知：mx1,mx2,……mxn求：my=？

y=?21第21页，共56页。观测值函数的中误差——误差传播定律一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……22第22页，共56页。二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?23第23页，共56页。二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?和24第24页，共56页。二、几种常用函数的中误差（一）和（差）函数已知：mx,my,

求：mz=?和25第25页，共56页。二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?26第26页，共56页。二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方27第27页，共56页。二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?28第28页，共56页。解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm

0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式29第29页，共56页。二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,求：mz=?30第30页，共56页。（三）线性函数特殊31第31页，共56页。例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：

凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。32第32页，共56页。二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式全微分33第33页，共56页。中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：对各观测值取偏导数第三步：套用误差传播定律，写出中误差式。34第34页，共56页。观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

35第35页，共56页。例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。36第36页，共56页。思考与作业

1.偶然议差和系统误差有什么区别?偶然误差具有哪些特性?2.何谓中误差、容许误差、相对误差?3.某水平角以等精度观测4个测回，观测值分别为55°40′47″、55°40′40″、55°40′42″、

55°40′46″

．试求观测值的一测回的中误差、算术平均值x及其中误差。37第37页，共56页。观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD§6-4误差传布定律

应用举例38第38页，共56页。观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD39第39页，共56页。误差传播定律

应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx40第40页，共56页。误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。41第41页，共56页。§6-5直接观测平差一、同精度直接观察平差

42第42页，共56页。现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值A组：

B组：

C组：二、不等精度直接观测平差

（一）加权平均值——最或然值43第43页，共56页。加权平均值

（二）权的定义各组的平均值及其权A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=5所以不同精度的观测值不能简单地用算术平均值，而应该根据其本身的精度的高低决定其应占的比例数。精度越高，可靠程度愈大，占的比例也应愈大。这个比例在测量上称为“权”，通常用P表示。44第44页，共56页。由上式可以看出，µ值表示权等于1时观测值的中误差。等于1的权，称为单位权，权为1的观测值，称为单位权观测值。由于µ值相对应的观测值权为1，所以µ称为单位权观测值中误差，即单位权中误差。实际上就是在一组n个不同精度的观测值中，以权为1的观测值中误差的µ值精度作标准，其它观测值的精度都是与它比较，而得出一组相对应权的比例关系来表示观测值间的相对可靠程度。45第45页，共56页。（三）确定权的常用方法1.同精度观测值之和（差）的权（1）水准测量的权

设在图6—5中，有n条水准路线(图中n＝3)，每条路线测得的高差为hi，各路线的测站数为Ni，设每站测高差精度相同，其中误差均为m站，由式(6—25)知，各路线的观测高差中误差为：

若以Pi代表hi的权，并以C个测站的观测中误差作为单位权中误差，即令则由式(6—34)得：46第46页，共56页。47第47页，共56页。(2)距离丈量的权若单位距离丈量的中误差相等设为m．则各边长Si的丈量中误差为

令c个单位距离丈量中误差为单位权中误差则令．由式(6—34)得48第48页，共56页。49第49页，共56页。50第50页，共56页。51第51页，共56页。52第52页，共56页。53第53页，共56页。例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加