2026年浙江省高中数学选修2-8第7章数列习题

2026年浙江省高中数学选修2-8第7章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_9=20，a_5=6，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n+4B.a_n=3n-3C.a_n=4n-8D.a_n=5n-10解析：由等差数列性质a_3+a_9=2a_6，得a_6=10，又a_5=6，则公差d=a_6-a_5=4，故通项公式为a_n=a_5+(n-5)d=6+4(n-5)=4n-14。选项B正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)×n/2=n^2-n+1，故b_6=6^2-6+1=31。选项均错误，需重新计算。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，则b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)×n/2=n^2-n+1，故b_6=6^2-6+1=31。选项均错误，需重新计算。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_4的值为（）A.24B.22C.20D.18解析：由S_n公式得c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故c_4=6×4-5=19。选项均错误，需重新计算。正确计算为c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故c_4=6×4-5=19。选项均错误，需重新计算。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2×q^2，得q^2=54/6=9，故q=±3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n的表达式为（）A.nB.n+1C.2nD.2n+1解析：e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n，故e_n=n。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，得f_n=2^n-1，故f_5=2^5-1=31。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，得a_3=3。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n的表达式为（）A.2^nB.2^n-1C.2^(n-1)D.2^(n-1)-1解析：h_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故h_n=2^(n-1)。选项C正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=3i_n（n≥1），则i_4的值为（）A.9B.12C.27D.81解析：由递推关系i_n+1=3i_n，得i_n=3^(n-1)，故i_4=3^3=27。选项C正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的公比q为（）A.2B.4C.8D.16解析：由等比数列性质j_6=j_1×q^5，得q^5=64，故q=4。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_10的值为______。解：a_10=2+3×(10-1)=2+27=29。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_3的值为______。解：b_3=S_3-S_2=3^2+3-[2^2+2]=12-6=6。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，则该数列的公比q为______。解：q^2=16/4=4，故q=±2。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_5的值为______。解：d_n=2^n-1，故d_5=2^5-1=31。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_4=11，则该数列的公差d为______。解：d=(11-5)/(4-1)=6/3=2。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n(n+2)/2，则f_4的表达式为______。解：f_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+2)/2]-[(n-1)(n+1)/2]=n+1，故f_4=5。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=g_n+3（n≥1），则g_6的值为______。解：g_n=3n-1，故g_6=3×6-1=17。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_5=81，则该数列的公比q为______。解：q^4=81/3=27，故q=3。9.已知数列{i_n}的前n项和U_n=2^n-1，则i_3的值为______。解：i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故i_3=4。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n（n≥1），则j_6的值为______。解：j_n=2^(n-1)，故j_6=2^5=32。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则公比q=2。（）解：q^2=b_3/b_1=8/1=8，故q=±√8≈±2.83，不等于2。错误。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n≥1），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系得c_n+1-c_n=2，故该数列是公差为2的等差数列。正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。（）解：a_1+a_2+a_3=3a_2=12，故3a_2=12。正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2，则e_n=2n。（）解：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1，不等于2n。错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则公比q=3。（）解：q^2=f_4/f_2=54/6=9，故q=±3。正确。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n（n≥1），则该数列是等比数列。（）解：g_n=2^(n-1)，故该数列是公比为2的等比数列。正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=1，a_5=9，则a_3=5。（）解：a_3=(a_1+a_5)/2=(1+9)/2=5。正确。9.已知数列{i_n}的前n项和U_n=3^n-1，则i_n=3^n。（）解：i_n=U_n-U_{n-1}=[3^n-1]-[3^(n-1)-1]=3^n-3^(n-1)=2×3^(n-1)，不等于3^n。错误。10.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=j_n+1（n≥1），则该数列是常数列。（）解：由递推关系得j_n+1-j_n=1，故该数列是公差为1的等差数列，不是常数列。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×3+(10×9/2)×2=30+90=120。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n（n≥1），求b_5的值。解：b_n=3^(n-1)，故b_5=3^4=81。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的通项公式a_n。解：q^2=c_3/c_1=8/2=4，故q=2，a_n=2×2^(n-1)=2^n。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求d_4的表达式。解：d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n)/2]=n+1，故d_4=5。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，a_4=11，求该数列的公差d。解：d=(11-5)/(4-1)=6/3=2。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=f_n+3（n≥1），求f_6的值。解：f_n=3n-2，故f_6=3×6-2=16。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_5=243，求该数列的公比q。解：q^4=g_5/g_1=243/3=81，故q=3。8.已知数列{i_n}的前n项和U_n=2^n-1，求i_3的表达式。解：i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故i_3=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，若第一年生产设备50台，求第5年的产量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，得a_5=50+(5-1)×10=90台。2.某城市人口每年增长2%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质b_n=b_1×q^(n-1)，得b_5=100×1.02^5≈110.41万。3.某企业投资额每年递增15%，若初始投资为100万元，求第4年的投资额。解：a_4=100×1.15^3≈152.09万元。4.某林场计划每年比上一年多植树木2000棵，若第一年种植5000棵，求第6年的种植量。解：a_6=5000+(6-1)×2000=15000棵。5.某产品价格每年下降5%，若2020年价格为100元，求2024年的价格。解：b_5=100×0.95^4≈81.46元。6.某学校图书馆藏书量每年增加10%，若2020年有图书2万册，求2023年的图书数量。解：b_4=20000×1.1^3≈26620册。7.某公司员工工资每年上涨8%，若2020年工资为5000元，求2025年的工资。解：a_6=5000×1.08^5≈7346.57元。8.某农场计划每年比上一年多施肥200kg，若第一年施肥1000kg，求第7年的施肥量。解：a_7=1000+(7-1)×200=1800kg。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.D4.A5.A6.A7.A8.C9.C10.B解析：11.a_3+a_9=2a_6=20，a_6=10，d=a_6-a_5=4，a_n=4n-14。12.b_n=n^2-n+1，b_6=31。13.c_n=6n-5，c_4=19。14.q^2=9，q=±3。15.e_n=n。16.f_n=2^n-1，f_5=31。17.5a_3=15，a_3=3。18.h_n=2^(n-1)，h_4=8。19.g_n=3^(n-1)，g_4=27。20.j_n=2^(n-1)，j_6=32。二、填空题1.292.63.±24.315.26.57.178.39.410.32解析：11.a_10=2+3×9=29。12.b_3=S_3-S_2=12-6=6。13.q^2=16/4=4，q=±2。14.f_n=2^n-1，f_5=31。15.d=(11-5)/3=2。16.e_n=n+1，e_4=5。17.g_n=3n-1，g_6=1