高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质高考数学一轮复习1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图2.三角函数的图象与性质教材研读考点一三角函数的定义域和值域考点二三角函数的单调性考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性考点突破教材研读1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),

,(π,0),①

,(2π,0).(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),

,②

(π,-1)

,

,(2π,1).2.三角函数的图象与性质知识拓展1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是

半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是

个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=

+kπ(k∈Z);(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)余弦函数y=cosx的图象的对称轴是y轴.

(✕)(2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.

(✕)(3)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.

(✕)(4)y=sin|x|是偶函数.

(√)(5)若sinx>

,则x>

.

(✕)答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√(5)✕

2.下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x=

对称的是

()A.y=2sin

B.y=2sin

C.y=2sin

D.y=2sin

答案

B函数y=2sin

的最小正周期T=

=π,又sin

=1,∴函数y=2sin

的图象关于直线x=

对称.选B.B3.函数f(x)=sin

的最小正周期为

.答案

π解析函数f(x)=sin

的最小正周期T=

=π.4.(教材习题改编)y=tan2x的定义域是

.答案

解析由2x≠kπ+

,k∈Z,得x≠

+

,k∈Z,∴y=tan2x的定义域是

.5.(教材习题改编)y=3sin

在区间

上的值域是

.答案

解析当x∈

时,2x-

∈

,sin

∈

,故3sin

∈

,即y=3sin

的值域为

.6.函数f(x)=4sin

的单调递减区间是

.答案

(k∈Z)解析

f(x)=4sin

=-4sin

.所以要求f(x)的单调递减区间,只需求y=4sin

的单调递增区间.由-

+2kπ≤2x-

≤

+2kπ(k∈Z),得-

+kπ≤x≤

π+kπ(k∈Z).所以函数f(x)的单调递减区间是

(k∈Z).

三角函数的定义域和值域考点突破典例1(1)函数y=

的定义域为

.(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为

.答案(1)

(2)

解析(1)要使函数有意义,必须有

即

故函数的定义域为

.(2)设t=sinx-cosx,则-

≤t≤

,t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,则sinxcosx=

,∴y=-

+t+

=-

(t-1)2+1.当t=1时,ymax=1;当t=-

时,ymin=-

-

.∴函数的值域为

.规律总结1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函

数线或三角函数图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的范围直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.(3)把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域.(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.1-1

(一题多解)函数y=

的定义域为

.答案

解析要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.解法一:利用图象,在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.

由图象可知,在[0,2π]内,当

≤x≤

时,sinx-cosx≥0,又正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为

.解法二:利用三角函数线,画出满足条件的角的终边范围(如图中阴影部

分所示,包括边界).

所以定义域为

.解法三:sinx-cosx=

sin

≥0,将x-

看作一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-

≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+

≤x≤2kπ+

(k∈Z).所以定义域为

.1-2当x∈

时,函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是

,最大值是

.答案

;2解析∵x∈

,∴sinx∈

.又∵y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)=2

+

,∴当sinx=

时,ymin=

,当sinx=-

或sinx=1时,ymax=2.三角函数的单调性命题方向一求三角函数的单调区间典例2(1)函数f(x)=tan

的单调递增区间是

()A.

(k∈Z)

B.

(k∈Z)C.

(k∈Z)D.

(k∈Z)(2)函数y=

sinx+

cosx

的单调递增区间是

.B解析(1)由kπ-

<2x-

<kπ+

(k∈Z),得

-

<x<

+

(k∈Z),所以函数f(x)=tan

的单调递增区间为

(k∈Z),故选B.(2)y=

sinx+

cosx=sin

.由2kπ-

≤x+

≤2kπ+

(k∈Z),解得2kπ-

≤x≤2kπ+

(k∈Z).∴函数的单调递增区间为

(k∈Z),又x∈

,∴单调递增区间为

.答案(1)B(2)

命题方向二已知三角函数的单调性求参数典例3已知ω>0,函数f(x)=sin

在

上单调递减,则ω的取值范围是

.答案

解析由

<x<π,ω>0,得

+

<ωx+

<ωπ+

,又y=sinx的单调递减区间为

,k∈Z,所以

k∈Z,解得4k+

≤ω≤2k+

,k∈Z.又由4k+

-

≤0,k∈Z且2k+

>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈

.规律总结1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.2-1已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(0<φ<π),若f

=-2,则f(x)的一个单调递增区间可以是

()A.

B.

C.

D.

D答案

D因为f

=-2,所以-2sin

=-2,sin

=1.又因为0<φ<π,所以φ=

,所以f(x)=-2sin

,由2kπ+

≤2x+

≤2kπ+

,k∈Z,得kπ+

≤x≤kπ+

,k∈Z.当k=0时,得

≤x≤

.2-2

若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a

的最大值是

()A.

B.

C.

D.πA答案

A

f(x)=cosx-sinx=

cos

,由题意得a>0,故-a+

<

,因为f(x)=

cos

在[-a,a]上是减函数,所以

解得0<a≤

,所以a的最大值是

,故选A.

三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题方向一三角函数的周期性典例4(1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos

,④y=tan

中,最小正周期为π的所有函数为

()A.①②③

B.①③④C.②④

D.①③(2)若函数f(x)=2tan

(k∈N*)的最小正周期T满足1<T<2,则k的值为

.答案(1)A(2)2或3解析(1)①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;③y=cos

的最小正周期T=

=π;④y=tan

的最小正周期T=

.所以选A.(2)由题意知1<

<2,即k<π<2k,∴

<k<π,又k∈N*,所以k=2或k=3.命题方向二三角函数的奇偶性典例5函数f(x)=3sin

,φ∈(0,π).(1)若f(x)为偶函数,则φ=

;(2)若f(x)为奇函数,则φ=

.答案(1)

(2)

解析(1)∵f(x)=3sin

为偶函数,∴-

+φ=kπ+

,k∈Z,即φ=

+kπ,k∈Z,又∵φ∈(0,π),∴φ=

.(2)∵f(x)=3sin

为奇函数,∴-

+φ=kπ,k∈Z,即φ=

+kπ,k∈Z,又∵φ∈(0,π),∴φ=

.命题方向三三角函数图象的对称性典例6函数y=sin

的图象与函数y=cos

的图象

()A.有相同的对称轴但无相同的对称中心B.有相同的对称中心但无相同的对称轴C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案

AA解析由2x-

=kπ+

,k∈Z,可解得函数y=sin

的图象的对称轴为x=

+

,k∈Z.由x-

=kπ,k∈Z,可解得函数y=cos

的图象的对称轴为x=kπ+

,k∈Z.当k=0时,两函数图象有相同的对称轴.由2x-

=kπ,k∈Z,可解得函数y=sin

的图象的对称中心为

,k∈Z.由x-

=kπ+

,k∈Z,可解得函数y=cos

的图象的对称中心为

,k∈Z.故两个函数图象没有相同的对称中心,故选A.规律总结有关三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=

Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为

,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为

求解.(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中

心.▶