2024年吉林省长春市南关区多校联考中考二模数学试题（解析版）

2024年吉林省长春市南关区多校联考中考二模数学试题一、选择题（每小题3分，共24分)1.下列各数中，无理数是（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．解：，根据无理数定义可知，四个数中只有是无理数，故选：A．2.根据长春市人民政府的信息，2023年末，长春市的常住人口为910.19万人，将910.19万用科学记数法表示应为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：910.19即9101900，∴，故选：B．3.下列计算中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式逐项计算即可．解：A．，故选项A不符合题意；B．，故选项B不符合题意；C．，故选项C符合题意；D．，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．4.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的边数为（）A.14 B.13 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】本题考查多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式，会用多边形内角和公式求边数是解题关键．解：设该多边形的边数是边形，由多边形的内角和公式，，，多边形的边数是边形．故答案为：A．5.如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的正视图为（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是正视图，可判断将A移走后走后，新的几何体的正视图．解：将小正方体移走后，从正面看，最左边有上下两个正方形，右边有一个正方形，故选：A．6.关于的一元二次方程，其根的情况为（）A.有两个相等的实数根 B.无实根C.无法判断 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．解：根据题意：，，，∴∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：D．7.如图，中，平分交于点，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交AD于点，则的长为（）A.3 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本题主要综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段之间的关系等成为解题的关键．先由等腰三角形性质求出以及，再利用作图方式确定垂直平分得到，最后利用勾股定理求解即可．解:∵中，平分，∴，，∴，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，可知垂直平分，如图，连接，∴，∴，在中，，∴，解得：；故选D．8.如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．解：∵，，，∴，∴，函数为反比例函数，当时，，即函数图象经过点．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．二、填空题(每小题3分，共18分)9.若代数式有意义，则实数x的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得．解：根据题意得：，，故答案为：．10.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解．解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．11.分式方程的解为______．【答案】【解析】【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．解：，经检验，是原分式方程的解．故答案：．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．12.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度．【答案】65【解析】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD．又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．13.如图，在中，，连接，交于点，则的长为_____________．【答案】3【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可．解：在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴故答案为：314.已知抛物线．若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上的两点，则的最小值_____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得为抛物线的顶点，可求出a的值，再求出函数解析式，A、B是抛物线上的点，分别用含m的式子表示出n和p，进而求出，然后利用二次函数的性质求解即可．解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，∴是抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为，∴，∴，∴抛物线解析式为，∵是这条抛物线上的两点，∴，，∴，∴当时，由最小值，最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题10小题，共78分)15.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，注意先化简再求值．根据题意先利用分式的运算法则对式子进行化简后，再代入行求值即可．∵∴原式．16.在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小丽从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点所有可能的坐标．（2）求点在函数图象上的概率．【答案】（1）有6种可能（2）【解析】【分析】此题考查了用列举法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）画出树状图，即可求解；（2）共有6种等可能的结果，求出点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1】解：画树状图如下：∴点的坐标有6种可能，分别是．【小问2】把分别代入，可得出：只有，两点在函数上，∴点在函数图象上的概率为：17.人们对网购的热衷促进了快递行业的发展，某快递站点为提高投递效率，给快递员配备了电动车，结果平均每人每天比原来多投递60件．若快递站点的快递员人数不变，站点投递快件的能力由每天400件提高到640件．求现在平均每人每天投递快件多少件？【答案】160件【解析】【分析】设现在平均每人每天投递快件件，根据快递站点的快递员人数不变，建立方程进而求解．解：设现在平均每人每天投递快件件，根据题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，答：现在平均每人每天投递快件160件．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，根据题中所说“快递员人数不变”建立方程，是解题的关键．注意，分式方程求解之后，需要检验．18.如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接．（1）求证：四边形为矩形．（2）求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，（1）首先根据菱形的性质得到，然后结合，即可证明出四边形为矩形；（2）连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再由四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．【小问1】∵四边形是菱形∴∵于点F，于点G，，∴四边形是矩形；【小问2】如图，连接，作于点H，∵四边形是菱形，，，，，，，解得，∵四边形为矩形，，，∴的最小值为．19.某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生调查内容你最喜爱的一个球类运动项目(必选)A．篮球B．乒乓球C．足球D．排球E．羽毛球调查结果被抽查学生最喜爱的球类运动项目调查结果条形统计图被抽查学生最喜爱的球类运动项目调查结果条扇统计图结合调查信息，回答下列问题∶（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）估计该校1000名初中生中最喜爱篮球项目的人数．【答案】（1）100（2）见解析（3）400【解析】【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）求出喜爱篮球和羽毛球的人数，然后补全统计图即可（3）用1000乘样本中最喜爱篮球项目的人数所占比例即可【小问1】解：，答：本次调查共抽查了100名学生．【小问2】被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为（名），被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：（名），补全图形如图所示：【小问3】（名），答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为400名．20.如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，在射线上画点，使（2）在图（2）中，在射线上画点，使；（3）在图（3）中，画的平分线．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）作出的垂直平分线交于点C即为所求；根据垂直平分线的性质得到，进而得到；（2）连接交于点D即为所求；根据同角的余角相等即可证明；（3）取格点E，连接即为所求；过点E作，首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可．【小问1】如图所示，点C即为所求；

∵垂直平分∴∴；【小问2】如图所示，点D即为所求；

由网格的特点可得，∴∵∴；【小问3】如图所示，即为所求；过点E作

∵，，，∵∴∴∴∴∵，∴平分．【点睛】此题考查了格点作图，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点．21.【综合与实践】【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂挥发情况（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长?任务三：探究化学试剂对人体的影响情况（3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少?【答案】（1）；（2）在A场景下发挥作用时间更长；理由见解析；（3）B场景影响时间最少【解析】【分析】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，理解题意及图形的意义是解题的关键．（1）将点分别代入中，解方程组，即可求得二次函数解析式；将点分别代入中，解方程组，即可求得一次函数解析式；（2）观察A、B两个场景下点，由这两点表示的意义即可判断；（3）与（2）分析相同．解：（1）将分别代入中得，，将分别代入中得，解得：，；（2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，所以在A场景下发挥作用时间更长．（3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，所以B场景影响时间最少．22.旋转是几何图形运动中一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，求证：；探究发现：（2）如图2，当点在内且三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；（2）同（1）证明出，得到，再根据为等腰直角三角形得到，由此即可求解；（3）根据题意分点F在线段上和点E在线段上两种情况讨论，然后根据得到，然后利用勾股定理求解即可．证明：如图所示，连接，延长交于点G，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，，∵点为中点，∴，平分，∴，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）．如图所示，连接，同理可得，，∵∴，即又∵∴∴∵为等腰直角三角形∴∴；（3）如图所示，当点F在线段上时，由（2）得，∴，∴∴∴∵∴∴如图所示，当点E在线段上时，同理可证∴，∴∵∴∴不合题意，应舍去，综上所述，．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．23.如图，中，．动点从点出发，沿线段以每秒5个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为(秒)．（1）线段的长是___________；（2）连接，则线段的最小值是___________，最大值是___________；（3）当点在边上时，求的值；（4）当点落在的内部时，求的取值范围．【答案】（1）5（2）1；5（3）（4）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根据D点运动轨迹是以C为圆心，长为半径的半圆判断即可；（3）当时满足题意，根据等面积求得，在利用勾股定理即可列出方程，求解即可．（4）分别求出点P落在，落在上的时间，可得结论；【小问1】解：∵，∴，故答案为：5；【小问2】∵作点关于的对称点，∴，∴D点运动轨迹是以C为圆心，长为半径的半圆，∴当D在线段上时，的最小，此时；当P与A重合时，的最大，此时点、重合，；故答案为：1，5；【小问3】如图，当点在边上时，此时，∵，∴，∴，解得，【小问4】由题意得，，当点D落在上时，，由（3）知，当点D落在上时，如图1-2中，．过点P作于点T．则，∵，∴，∴，∴∴∴，∴，解得，观察图象可知，满足条件的t的值为：【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了对称变换，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．24.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请