超几何分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布---------------新授1.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有2.二项分布的均值与方差复习引入1min问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.探究追问2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布?追问1：如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4,0.08).采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.问题引入3mins学习目标1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的分布列.解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2,3,4.超几何分布思考：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从什么分布？如何求X的分布列？X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示：服从超几何分布，根据古典概型求X的分布列.由古典概型的知识，得X的分布列为成果展示12mins自主学习7mins合作学习7mins

一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.概念形成注意：(1)“由较明显的两部分组成”：

如“男生、女生”，“正品、次品”;(2)

不放回抽样:

“任取n件”可理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”;(3)注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体个数

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算不放回放回两两有限无限古典概型独立重复试验超几何分布与二项分布的联系与区别：解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝50,M＝1,n＝5.例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.容易发现，每个人被抽到的概率都是.这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.典例分析因此甲被选中的概率为解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率为典例分析1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.解：设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为当堂清设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?探究令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率.我们猜想点拨拓展8mins一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为1.超几何分布若随机变量X服从超几何分布，则有2.超几何分布的均值课堂小结1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.