沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试期末模拟预测卷01(原卷版+解析)

2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟预测卷01（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（）A．y随x的增大而增大 B．函数图象与x轴所成的锐角是45o C．函数图象与x轴交点坐标是（0，6） D．函数图象不经过第四象限2．（3分）下列方程，有实数解的是（）A． B． C．（x+2）4﹣1＝0 D．3．（3分）已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定∥的是（）A．||＝|| B．＝3 C．∥，∥ D．＝2，＝﹣24．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．海底捞月 B．百步穿杨 C．一箭双雕 D．日落西山5．（3分）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B．AO＝BO＝CO＝DO，AB＝AD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD6．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）7．（3分）将直线y＝﹣5x+2向上平移4个单位长度，平移后直线的解析式为．8．（3分）大正方体的体积为216cm3，小正方体的体积为8cm3，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点A到地面的距离是cm．9．（3分）正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的周长等于cm．10．（3分）方程＝2﹣x的根是．11．（3分）等腰梯形的一个下底角为45°，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于．12．（3分）已知梯形的中位线长为8cm，下底长11cm，那么上底的长是cm．13．（3分）有公共边AB的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，延长BE交正六边形于点F．（1）∠ABC的度数为；（2）∠BFD的度数为．14．（3分）用换元法解方程﹣＝，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是．15．（3分）如果的值与﹣x的值相等，那么x＝．16．（3分）正方形的对角线长为2cm，则它的周长为cm．17．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBn∁nDn，则四边形AnBn∁nDn的面积为．18．（3分）如图，O是等边三角形ABC内任意一点，过点O作OD∥AB，OE∥AC，OF∥BC分别交AC，BC，AB于点G，H，I，已知等边三角形ABC的周长18，则OD+OE+OF＝．三．解答题（共4小题，满分22分）19．（4分）解方程：5x2+11y2﹣12xy﹣6x﹣8y+17＝0．20．（6分）如图，已知点E是▱ABCD的边BA延长线上一点，且AE＝AB．（1）写出所有的相反向量：；（2）计算：＝，＝；（3）求作：（要求写明结论）．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．（1）BP＝cm，CQ＝cm（用含x的式子表示）；（2）若PQ＝4cm时，求x的值．22．（6分）如图是我们熟悉的电路图，其中L1，L2，L3代表灯泡，K1，K2，K3，K4代表开关，R代表电阻．（1）合上一个开关，有两盏灯亮的概率是；（2）合上两个开关，有两盏灯亮的概率是多少？请结合树状图或表格解决问题．四．解答题（共3小题，满分24分）23．（6分）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植树工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？24．（8分）（1）证明推断：如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图②，在矩形ABCD中，＝＝．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．25．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中肯定是垂美四边形的是．（2）性质探究：如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系．（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟预测卷01（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（）A．y随x的增大而增大 B．函数图象与x轴所成的锐角是45o C．函数图象与x轴交点坐标是（0，6） D．函数图象不经过第四象限【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．【解答】解：A、一次项系数大于0，则函数值随自变量的增大而增大，故A选项正确；B、函数图象与x轴正方向成45°角，故B选项正确；C、当x＝0时，y＝6，则函数图象与y轴交点坐标是（0，6），故C选项错误；D、函数经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D选项正确．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．2．（3分）下列方程，有实数解的是（）A． B． C．（x+2）4﹣1＝0 D．【分析】先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；方程两边都乘以x﹣2，求出x＝2，再进行检验，即可判断B；移项后开四次方，即可判断C；根据算术平方根的非负性得出x﹣4＝0且x﹣3＝0，即可判断D．【解答】解：A．∵+1＝0，∴＝﹣1，∵是非负数，∴原方程无实数解，故本选项不符合题意；B．＝，方程两边都乘以x﹣2，得x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程无实数解，故本选项不符合题意；C．∵（x+2）4﹣1＝0，∴（x+2）4＝1，∴x+2＝，∴x1＝﹣2+1＝﹣1，x2＝﹣2﹣1＝﹣3，即方程有实数解，故本选项符合题意；D．∵+＝0，∴x﹣4＝0且x﹣3＝0，∴x不存在，即原方程无实数解，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．3．（3分）已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定∥的是（）A．||＝|| B．＝3 C．∥，∥ D．＝2，＝﹣2【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案．【解答】解：A、||＝||只能说明与的模相等，不能判定∥，故本选项符合题意．B、＝3说明与的方向相同，能判定∥，故本选项不符合题意．C、∥，∥，能判定∥，故本选项不符合题意．D、＝2，＝﹣2说明与的方向相反，能判定∥，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．4．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．海底捞月 B．百步穿杨 C．一箭双雕 D．日落西山【分析】不可能事件就是一定不会发生的事件，根据定义即可作出判断．【解答】解：A、不可能事件，故选项正确；B、是随机事件，故选项错误；C、是随机事件，故选项错误；D、是随机事件，故选项错误．故选：A．【点评】考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（3分）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B．AO＝BO＝CO＝DO，AB＝AD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A、不能，只能判定为菱形；B、能；C、不能，只能判定为平行四边形；D、不能，只能判定为矩形．故选：B．【点评】本题是考查正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．6．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，故选：B．【点评】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键．二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）7．（3分）将直线y＝﹣5x+2向上平移4个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣5x+6．【分析】根据直线平移规律，即可求解．【解答】解：将直线y＝﹣5x+2向上平移4个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣5x+6．故答案为：y＝﹣5x+6．【点评】本题主要考查了直线的平移，熟练掌握上加下减的规律是解题的关键．8．（3分）大正方体的体积为216cm3，小正方体的体积为8cm3，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点A到地面的距离是8cm．【分析】直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案．【解答】解：∵大正方体的体积为216cm3，小正方体的体积为8cm3，∴大立方体的棱长为6cm，小立方体的棱长为2cm，∴这个物体的最高点A到地面的距离是：6+2＝8（cm）．故答案为：8．【点评】此题主要考查了立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．9．（3分）正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的周长等于8cm．【分析】如图，在正方形ABCD中，连接AC，BD，根据三角形的中位线的性质就可以得出四边形EFGH的周长＝正方形ABCD的对角线的和．【解答】解：连接AC，BD，∵点E、F、G、H是正方形个边的中点，∴EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ADC的中位线，∴EF＝BD，FG＝AC，GH＝BD，EH＝AC，∴EF+FG+GH+EH＝BD+AC+BD+AC＝BD+AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AC＝BD．∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝4∴AC＝4．∴EF+FG+GH+EH＝BD+AC＝4+4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．10．（3分）方程＝2﹣x的根是x＝0．【分析】两边平方得出x+4＝（2﹣x）2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝2﹣x，两边平方，得x+4＝（2﹣x）2，整理得：x2﹣5x＝0，解得：x＝0或5，经检验x＝0是原方程的解，x＝5不是原方程的解，故答案为：x＝0．【点评】本题考查了解无理方程，能把解无理方程转化成解有理方程是解此题的关键．11．（3分）等腰梯形的一个下底角为45°，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于6+12．【分析】根据底角为45°，过上底顶点作高可以得到等腰直角三角形，依此求出下底长即可求解．【解答】解：如图，分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，则△ABE≌△DCF，在直角△ABE中，∠B＝45°，∴BE＝AE＝3，∴AB＝CD＝AE＝3，在等腰梯形ABCD中，BE＝FC＝AE＝AD＝3，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴四边形ADFE为矩形，∴AD＝EF＝3．∴BC＝2BE+EF＝6+3＝9∴梯形的周长等于6+12，故答案为：6+12．【点评】此题考查等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，过上底顶点作梯形的高是解决梯形问题常用的辅助线之一．12．（3分）已知梯形的中位线长为8cm，下底长11cm，那么上底的长是5cm．【分析】梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，由此即可求解．【解答】解：设梯形的上底的长是xcm，由梯形中位线定理得：（x+11）＝8，∴x＝5，∴梯形的上底的长是5cm．故答案为：5．【点评】本题考查梯形中位线定理，关键是掌握梯形中位线定理．13．（3分）有公共边AB的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，延长BE交正六边形于点F．（1）∠ABC的度数为120°；（2）∠BFD的度数为132°．【分析】（1）根据正多边形的内角，可得∠ABC的度数，可得答案．（2）根据三角形外角的性质即可解答．【解答】解：（1）正五边形的内角是∠ABE＝108°，正六边形的内角是∠ABC＝∠C＝＝120°，故答案为：120°．（2）∵∠FBC＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣108°＝12°，∴∠BFD＝∠C+∠FBC＝120°+12°＝132°，故答案为：132°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．14．（3分）用换元法解方程﹣＝，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是4y2﹣7y﹣2＝0．【分析】先用含y的方程表示分式方程，再把含y的方程化为整式方程．【解答】解：设y＝，则＝．原方程化为：2y﹣﹣＝0．所以4y2﹣7y﹣2＝0．故答案为：4y2﹣7y﹣2＝0．【点评】本题考查了解分式方程的换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键．15．（3分）如果的值与﹣x的值相等，那么x＝﹣5．【分析】将方程＝﹣x两边平方得到30+x＝x2，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【解答】解：根据题意得：＝﹣x，两边平方得：30+x＝x2，即：x2﹣x﹣30＝0，（x﹣6）（x+5）＝0，x﹣6＝0，x+5＝0，x1＝6，x2＝﹣5，检验：x＝﹣5是原方程的解，x＝6时，不符合题意．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查解无理方程，解一元二次方程，能把无理方程转化成一元二次方程是解此题的关键．16．（3分）正方形的对角线长为2cm，则它的周长为8cm．【分析】由正方形的性质求出边长，即可得出周长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴2AB2＝（2）2，∴AB＝2cm，∴正方形ABCD的周长＝4×2＝8（cm）；故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．17．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBn∁nDn，则四边形AnBn∁nDn的面积为（或或，只要答案正确即可）．【分析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1＝AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则AC＝8，BD＝4，四边形AnBn∁nDn的面积＝．【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴A1B1∥AC，A1B1＝AC．∴△BA1B1∽△BAC．∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．即＝S△ABC，同理可证：＝S△ADC，＝S△ABD，＝S△BDC，∴＝S四边形ABCD，同法可证＝，又四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是16．四边形AnBn∁nDn的面积＝．故答案为（或或，只要答案正确即可）．【点评】此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．18．（3分）如图，O是等边三角形ABC内任意一点，过点O作OD∥AB，OE∥AC，OF∥BC分别交AC，BC，AB于点G，H，I，已知等边三角形ABC的周长18，则OD+OE+OF＝6．【分析】由平行推理得△IEO、△OGF、△ODH是等边三角形，由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出OD+OE+OF的值．【解答】解：∵OD∥AB，OE∥AC，OF∥BC，∴∠EIO＝∠ODH＝∠GOF＝∠B＝60°，∠OEI＝∠OGF＝∠OHD＝60°，四边形OIBD和四边形OFCH都是平行四边形，∴三角形△IEO、△OGF、△ODH是等边三角形，OI＝BD，OF＝CH，∴OE＝OI，OD＝DH，∴OD+OE+OF＝DH+BD+CH＝BC，∵△ABC的周长为18，∴OD+OE+OF＝18÷3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．在解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角．三．解答题（共4小题，满分22分）19．（4分）解方程：5x2+11y2﹣12xy﹣6x﹣8y+17＝0．【分析】把方程左边化成平方和的形式，在根据非负数的性质列等式，把二元高次化成一元一次方程，求出x、y的值．【解答】解：5x2+11y2﹣12xy﹣6x﹣8y+17＝0，把方程变形为：（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x+9）+（2y2﹣8y+8）＝0，即（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2（y﹣2）2＝0，∴，∴方程的解为：．【点评】本题考查了高次方程，解题的关键是利用配方法把高次方程降次，组成一次方程组，再解方程组．20．（6分）如图，已知点E是▱ABCD的边BA延长线上一点，且AE＝AB．（1）写出所有的相反向量：，，；（2）计算：＝，＝；（3）求作：（要求写明结论）．【分析】（1）根据相反向量的定义判断即可；（2）利用三角形法则求解即可；（3）作BT∥EC，且BT＝EC，连接DT，即为所求．【解答】解：（1）写出DC→所有的相反向量：，，；故答案为：，，；（2）+＝+＝，﹣＝，故答案为：，；（3）如图，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．（1）BP＝（6﹣x）cm，CQ＝（12﹣2x）cm（用含x的式子表示）；（2）若PQ＝4cm时，求x的值．【分析】（1）根据点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，表示出AP和BQ的长度，进一步根据矩形的性质可得BP和CQ的长；（2）根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：（1）根据题意，AP＝x，BQ＝2x，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∴BP＝（6﹣x）cm，CQ＝（12﹣2x）cm，故答案为：（6﹣x），（12﹣2x）；（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，根据勾股定理，得BP2+BQ2＝PQ2，∵PQ＝4cm，∴，解得x＝0.4或x＝2，当点P运动到点B时，x＝6，∴x＝0.4或2．【点评】本题考查了矩形的性质与动点问题的综合，勾股定理等，根据点的运动表示出BP和CQ的长度是解题的关键．22．（6分）如图是我们熟悉的电路图，其中L1，L2，L3代表灯泡，K1，K2，K3，K4代表开关，R代表电阻．（1）合上一个开关，有两盏灯亮的概率是；（2）合上两个开关，有两盏灯亮的概率是多少？请结合树状图或表格解决问题．【分析】（1）利用概率公式直接求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出有两盏灯亮的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）合上k2或k3时，有两盏灯亮，所以合上一个开关，有两盏灯亮的概率＝＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中有两盏灯亮的结果数为4，所以合上两个开关，有两盏灯亮的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．四．解答题（共3小题，满分24分）23．（6分）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植树工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？【分析】设原计划每天栽种x棵梧桐树，则实际每天栽种（x+200）棵梧桐树，由题意：栽种1500棵梧桐树，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务，列出方程，解方程即可．【解答】解：设原计划每天栽种x棵梧桐树，则实际每天栽种（x+200）棵梧桐树，由题意得：﹣＝2，解得：x＝300或x＝﹣500（不合题意舍去），经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，则x+200＝500，答：实际每天栽种500棵梧桐树．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．24．（8分）（1）证明推断：如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为1；（2）类比探究：如图②，在矩形ABCD中，＝＝．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①根据正方形的性质，推出边相等，角是90°，推出∠AQO＝∠E，进而证明△ABE≌△DAQ（AAS），得出DQ＝AE；②由DQ⊥AE，GF⊥AE，推出DQ∥GF，进而证明四边形DGFQ是平行四边形，根据平行四边形性质推出边相等，等量代换后求出的值；（2）如图①过P作PN⊥BC，垂足为N，根据折叠矩形ABCD得出∠GPE＝∠ADG＝∠FAD＝∠FEP＝∠BCD＝∠B＝90°，再根据三角函数推出＝，设BE＝3x，则BF＝4x，EF＝5x＝AF，根据勾股定理表示AE，进而求出x＝1，BC＝6＝AD＝EP，BE＝3，EF＝5，AB＝9，在Rt△EPN中，sin∠PEN＝sin∠BFE＝，cos∠PEN＝cos∠BFE＝，求出PN、EN，进一步求出CN．再用勾股定理求出CP．【解答】（1）①证明：∵正方形ABCD，∴AD＝AB，∠QAD＝∠B＝90°，∵DQ⊥AE于点O，∴∠QAO+∠AQO＝90°，∵∠QAO+∠E＝180°﹣∠B＝90°，∴∠AQO＝∠E，在△ABE和△DAQ中，，∴△ABE≌△DAQ（AAS），∴DQ＝AE；②解：，∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴四边形DGFQ是平行四边形，∴DQ＝GF，由①DQ＝AE，∴GF＝AE，∴，故答案为：1．（2）解：如图所示：过P作PN⊥BC，垂足为N，∵折叠矩形ABCD，∴∠GPE＝∠ADG＝∠FAD＝∠FEP＝∠BCD＝∠B＝90°，∴∠CGP＝90°﹣∠GHP＝90°﹣∠EH