沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试期末模拟预测卷02(原卷版+解析)

2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟预测卷02（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）已知点A（1，2）在一次函数y＝3x﹣m的图象上，则m等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．12．（3分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2+1＝0 B．x+＝1 C．＝﹣x D．＝03．（3分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x﹣1 D．y＝﹣2x+14．（3分）在▱ABCD中，+等于（）A． B． C． D．5．（3分）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，4），则下列结论正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．b＝2 C．2x+b＞4的解集是x＞0 D．直线不经过第二象限6．（3分）下列事件中是必然事件的是（）A．打开电视正在播广告 B．从一只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 C．从一定高度落下的图钉．落地后钉尖朝上 D．明年10月1日，厦门市的天气一定是晴天二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）方程组的解是．8．（2分）方程的根是．9．（2分）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝．10．（2分）已知关于x的方程x2++2（x+）＝6，那么x+的值为．11．（2分）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）12．（2分）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为．13．（2分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC＝10，点E，F分别是AD，AC边的中点，连结EF，则EF＝．14．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），AB∥x轴，AB＝3，则点B的坐标是．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OEB＝．16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝．17．（2分）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线，若DC＝2cm，则四边形ABED的周长是．18．（2分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“双等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝6≠AD，那么凸四边形ABCD的面积为．三．解答题（共2小题，满分10分，每小题5分）19．（5分）解方程组：．20．（5分）解方程：﹣2x＝1．四．解答题（共4小题，满分21分）21．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD的中点，BF和AC相交于点E．（1）如果＝，＝，则＝，＝．＝．（用、的线性组合来表示）（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论）22．（7分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．（1）直接写出袋中黄球的个数；（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．23．（7分）已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等．若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？24．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的点，BE平分∠AEF．（1）求证：BF平分∠EFC；（2）如果DF＝3，FC＝1，求AE的长．五．解答题（共2小题，满分10分）25．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．（1）求m、n的值；（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．26．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC＝AB，点E为边BC上一点，点F为AD延长线上一点，连接AE、BF，∠ABF＝2∠EAB．（1）如图1，若∠ACB＝3∠EAB＝45°，AB＝4，BF交DC于G点，求DG的长；（2）如图2，若BC＝AB，求证：CE+AF＝BF．2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟预测卷02（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）已知点A（1，2）在一次函数y＝3x﹣m的图象上，则m等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【分析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．【解答】解：∵点A（1，2）在一次函数y＝3x﹣m的图象上，∴2＝3﹣m，解得：m＝1，故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．2．（3分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2+1＝0 B．x+＝1 C．＝﹣x D．＝0【分析】根据一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，分别解方程即可得答案．【解答】解：A、由x2+1＝0，得x2＝﹣1，∵x2≥0，∴原方程无实数根，故A选项不符合题意；B、由x+＝1得x2﹣x+1＝0，而x2﹣x+1＝0的判别式Δ＝﹣3＜0，∴原方程无实数根，故B选项不符合题意；C、由＝﹣x得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的根，故C符合题意；D、由＝0得x＝﹣2，经检验：x＝﹣2是原方程增根，∴原方程无实数根，故D不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．3．（3分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x﹣1 D．y＝﹣2x+1【分析】根据反比例函数及一次函数的增减性即可得答案．【解答】解：A、函数y＝，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，故A不符合题意，B、函数y＝﹣，在x＞0时y随自变量x的值增大而增大，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故B不符合题意，C、函数y＝2x﹣1，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，D、函数y＝﹣2x+1，y随自变量x的值增大而减小，故D符合题意，故选：D．【点评】本题考查一次函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质．4．（3分）在▱ABCD中，+等于（）A． B． C． D．【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质和共线向量的性质得到＝，然后在△ABC中，利用三角形法则解答．【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴＝．∴+＝+＝．故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，利用“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知＝是解题的突破口．5．（3分）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，4），则下列结论正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．b＝2 C．2x+b＞4的解集是x＞0 D．直线不经过第二象限【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故A错误；∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，4），∴b＝4，故B错误；∵一次函数y＝2x+b随x的增大而增大，经过点（0，4），∴2x+b＞4的解集是x＞0，故C正确；∵k＞0，b＞0，∴一次函数y＝2x+4的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D错误；故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是求解的关键．6．（3分）下列事件中是必然事件的是（）A．打开电视正在播广告 B．从一只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 C．从一定高度落下的图钉．落地后钉尖朝上 D．明年10月1日，厦门市的天气一定是晴天【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、C、D都可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；B、一定会发生，是必然事件，符合题意．故选：B．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）方程组的解是．【分析】首先把x+y＝7，代入x2+y2+x+y＝32，可以得到x2+y2＝25，然后再把x+y＝7代入，解得x、y的值．【解答】解：，把①代入②，可得：x2+y2＝25③再把①代入③解得：或，故答案为或．【点评】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把此题中的①式多次代入，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．8．（2分）方程的根是x＝﹣2．【分析】移项后两边平方得出2﹣x＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，＝﹣x，两边平方，得2﹣x＝x2，即x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1，检验：把x1＝﹣2代入原方程，，故x＝﹣2为原方程的解，∵，若，则x≤0，故x＝1不合题意舍去，故原方程的解为x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．9．（2分）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝2．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．【解答】解：将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y＝kx﹣1，将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y＝3x+b+1，∵平移后的两个函数的图象重合，∴k＝3，b+1＝﹣1，∴b＝﹣2，∴＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．（2分）已知关于x的方程x2++2（x+）＝6，那么x+的值为﹣4或2．．【分析】由于x2+＝（x+）2﹣2，所以原方程可变形为（x+）2+2（x+）﹣8＝0，把x+看成一个整体，解关于（x+）的二元一次方程求出它的根．【解答】解：x2++2（x+）＝6，所以x2+2++2（x+）﹣8＝0，即（x+）2+2（x+）﹣8＝0，设x+＝y，则原式变形为y2+2y﹣8＝0解得，y1＝﹣4，y2＝2．所以x+＝﹣4或x+＝2．故答案为：﹣4或2．【点评】本题考查了完全平方公式、换元法和十字相乘法，把x2+变形为（x+）2﹣2，利用换元法是解决本题的关键．11．（2分）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是①②．（把你认为正确说法的序号都填上）【分析】根据函数图象中的数据，可以直接判断①②③，再根据函数图象中的数据，可以分别求得当40≤x≤60时，y1与x的函数关系式和当40≤x≤50时，y2与x的函数关系式，然后令它们的函数值相等，即可得到兔子在多少米处追上乌龟，从而可以判断④．【解答】解：由函数图象可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，故①说法正确；兔子先到达终点，故②说法正确；兔子比乌龟晚出发40分钟，故③说法错误；当40≤x≤60时，设y1与x的函数关系式为y1＝kx+b，∵点（40，600），（60，1000）在该函数图象上，∴，解得，∴当40≤x≤60时，y1与x的函数关系式为y1＝20x﹣200；当40≤x≤50时，设y2与x的函数关系式为y2＝mx+n，∵点（40，0），（50，1000）在该函数图象上，∴，解得，即当40≤x≤50时，y2与x的函数关系式为y2＝100x﹣4000；令20x﹣200＝100x﹣4000，解得x＝47.5，∴当x＝47.5时，此时y1＝y2＝750，即兔子在750米处追上乌龟，故④错误；故答案为：①②．【点评】本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键，题中用的数学思想是数形结合的思想．12．（2分）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为6．【分析】根据多边形的内角和是180的整数倍数求解即可．【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180°的整数倍数，是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720，故多边形的内角和为720°，这个凸多边形的边数为：+2＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC＝10，点E，F分别是AD，AC边的中点，连结EF，则EF＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到CD＝BC＝10＝5，根据三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴CD＝BC＝10＝5，∵点E，F分别是AD，AC边的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF＝CD＝5＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），AB∥x轴，AB＝3，则点B的坐标是（﹣5，5）或（1，5）．【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．【解答】解：∵AB∥x轴，∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为5，又∵AB＝3，∴当点B位于点A右侧时，点B的横坐标为﹣2+3＝1；当点B位于点A的左侧时，点B的横坐标为﹣2﹣3＝﹣5，∴B点坐标为（﹣5，5）或（1，5）．故答案为：（﹣5，5）或（1，5）．【点评】此题考查坐标与图形，掌握平面直角坐标系内点的坐标特定，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OEB＝70°．【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝OB＝OD，根据菱形性质可得∠DBE＝∠ABC＝70°，从而得到∠OEB度数．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°．∵DE⊥BC，∴OE＝OB＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝70°．故答案为70°．【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝．【分析】连接OP．由矩形的性质和勾股定理得得OA＝OD＝5，S△AOD＝12，再由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF），即可求解．【解答】解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴S矩形ABCD＝AB•AD＝6×8＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°，∴OA＝OD，BD＝＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．17．（2分）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线，若DC＝2cm，则四边形ABED的周长是8cm．【分析】先证四边形ABED是平行四边形，再求出BE＝DE＝2cm，即可求解．【解答】解：∵MN∥BC，∴∠1＝∠ABC＝60°，∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∵DC是∠NDE的平分线，∴∠EDC＝∠CDN，∵MN∥BC，∴∠C＝∠CDN＝∠EDC，∴ED＝EC，又∵∠2＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝DE＝EC＝2cm，∠C＝∠CDE＝60°，∵BD⊥DC，∴∠EBD＝∠BDE＝30°，∴BE＝DE＝2cm，∴四边形ABED的周长＝2×（2+2）＝8（cm），故答案为：8cm．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．18．（2分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“双等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝6≠AD，那么凸四边形ABCD的面积为9+9或27+9．【分析】分AB＝BD和AD＝BD两种情况分别计算四边形ABCD的面积即可．①当AB＝BD时，S四边形ABCD＝S△BCP+S△ABD；②当AD＝BD时，S四边形ABCD＝S△AED+S矩形EBFD﹣S△CDF．【解答】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为等腰线，∴△CBD、△ABD为等腰三角形，①当AB＝BD时，过A作AE⊥BD，∵AB＝BC＝CD，AB＝BD，∴BC＝BD＝CD＝6∴△BDC为等边三角形，∴S△BCD＝a2＝×62＝9，∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AB＝3，∴S△ABD＝×6×3＝9，∴S四边形ABCD＝9+9；②当AD＝BD时，过D作DE⊥AB，过D作DF⊥CB交CB延长于点F，∵AD＝BD，△ABD为等腰三角形，∴BE＝AB，∵∠ABC＝∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝BF，∴四边形DEBF为矩形，∴DF＝BE＝AB＝3，又∵AB＝BC＝CD，∴DF＝CD，∴∠DCF＝30°，∴CF＝3，DE＝6+3，∴S四边形ABCD＝S△AED+S矩形EBFD﹣S△CDF＝×3×（6+3）+（6+3）×3﹣×3×3＝27+9．（或S四边形ABCD＝S梯形ABFD﹣S△CDF）故答案为：9+9或27+9．【点评】本题考查等腰三角形性质、面积公式，解题关键是准确理解“双等腰四边形”定义．三．解答题（共2小题，满分10分，每小题5分）19．（5分）解方程组：．【分析】将方程①因式分解为（x+4y）（x﹣2y）＝0，所以x+4y＝0或x﹣2y＝0．将它们与②分别组成方程组，解方程组即可．【解答】解：方程①变形为（x+4y）（x﹣2y）＝0．得：x+4y＝0或x﹣2y＝0．将它们与②分别组成方程组，得：或，解得：或，∴原方程组的解为：或．【点评】本题考查了高次方程的解法，将方程①因式分解为（x+4y）（x﹣2y）＝0，得到x+4y＝0或x﹣2y＝0，这是解题的关键．20．（5分）解方程：﹣2x＝1．【分析】移项得出，两边平方得出3x+6＝1+4x+4x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：移项，得，两边平方，得3x+6＝1+4x+4x2，即4x2+x﹣5＝0，解得：或x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，不是原方程的解，舍去，所以原方程的解是x＝1．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．四．解答题（共4小题，满分21分）21．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD的中点，BF和AC相交于点E．（1）如果＝，＝，则＝+，＝﹣﹣．＝2﹣•+2．（用、的线性组合来表示）（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可；（2）过点F作FG∥AB交BC于点G，，即为所求．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，AD∥CB，∵＝+∴＝+，∵AF＝DF，∴BC＝2AF，∵AF∥CB，∴＝＝2，∴EC＝AC，∴＝﹣（+）＝﹣﹣；∵＝+＝﹣+，∴2＝2﹣•+2．故答案为：+，﹣﹣，2﹣•+2；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．22．（7分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．（1）直接写出袋中黄球的个数；（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概型的知识列方程，求解即可求得答案；（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，∴＝0.25，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，∴袋中黄球的个数1个；（2）画树状图得：一共有12种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有10种，则“取出至少一个红球”概率是＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．23．（7分）已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等．若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+9）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+9）个零件，依题意得：＝，解得：x＝18，经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，∴x+9＝27．答：甲每小时做18个零件，乙每小时做27个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的点，BE平分∠AEF．（1）求证：BF平分∠EFC；（2）如果DF＝3，FC＝1，求AE的长．【分析】（1）根据BE平分∠AEF，可考虑过点B作BG⊥EF于点G，通过已知条件证得BG＝BC，逆用角平分线的性质定理可证；（2）设AE的长为x，在Rt△EDF中，由（1）可得，EF＝EG+FG＝x+1，DE＝4﹣x，DF＝3，然后利用勾股定理求解．【解答】（1）证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图所示，在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴BA⊥EA．∵BE平分∠AEF，∴BA＝BG．∵BA＝BC，∴BG＝BC．∴BF平分∠EFC．（2）解：∵DF＝3，FC＝1．∴DC＝DF+FC＝4．∴AD＝DC＝4．设AE的长为x，则ED＝4﹣x．由（1）可得，EG＝AE＝x，GF＝FC＝1．∴EF＝EG+FG＝x+1．在Rt△EFD中，EF2＝ED2+DF2，即（x+1）2＝（4﹣x）2+32．解得，x＝．∴AE的长为．【点评】本题考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题注意正方形中的隐含条件，如四条边相等，四个角都是90°等．五．解答题（共2小题，满分10分）25．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．（1）求m、n的值；（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．【分析】（1）把A，B坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出m，n的值；（2）观察函数图象，结合（1）可得不等式的解集；（3）待定系数法可求出直线AB解析式，从而可得C的坐标，即可得到△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（1，8）代入y＝得：8＝，∴m＝8，∴y＝，把B（n，﹣2）代入y＝得：﹣2＝，解得n＝﹣4，∴m＝8，n＝﹣4；（2）由（1）知，A（1，8），B（﹣4，﹣2），观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜1，∴不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜1；（3）如图：将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得：，解得，∴y＝2x+6，将x＝0代入y＝2x+6得：y＝6，∴C（0，6），即OC＝6，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×6×1+×6×4＝15，∴△AOB的面积为15．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用．26．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC＝AB，点E为边BC上一点，点F为AD延长线上一点