沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点04图形运动中函数关系的确定(原卷版+解析)

重难点04图形运动中函数关系的确定目录考点一：动点求函数解析式考点二：图形运动求函数解析式技巧方法技巧方法解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题．能力拓展能力拓展考点一：动点求函数解析式动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．1．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，点在边上，，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，且位于点的左侧，联结．(1)设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当四边形是等腰梯形时，求的长；(3)联结，当是等腰三角形时，求正方形的面积．2．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，，，、的延长线相交于点G，设，．(1)求y与x之间函数解析式，并写定义域；(2)当点F为中点时，求的长．3．（2022春·上海·八年级校考期中）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．(1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由．(2)若∠BMN＝30°，求AM的值．(3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．4．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知梯形中，，，，，，是边上任意一点（不与、重合），联结和．(1)若平分，求．(2)若是中点，联结和，①设，，求关于的函数解析式；②若，求的长．5．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．(1)求证：△APQ是等边三角形；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果PD⊥AQ，求BP的值．6．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒．(1)求点H与点D重合时t的值．(2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______．7．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域；(3)当AD的长为7时，求线段FG的长．8.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90º，AB＝BC＝8，点E在边AB上，DE⊥CE，DE的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF＝CE；（2）当点E为AB中点时，求CD的长；（3）设CE＝x，AD＝y，试用x的代数式表示y．9.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）联结CF，若AG∥CF，求DE的长．10.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、CD上，∠FEB＝∠EBC，EF、BC的延长线相交于点G，设AE＝x，BG＝y．（1）求y与x之间函数解析式，并写定义域；当点F为CD中点时，求AE的长．11.如图所示，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE垂直于AB交射线AC与E，连接BE，点F是BD的中点，连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形；（2）如果BE=，求出AD的长．12.如图，已知：在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G．求证：AF=FP；设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长．13.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．（1）求证：GD=DC；（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BH=时，求CG的长．考点二：图形运动求函数解析式图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．1.如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD＝12，DH⊥AB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF＝y．（1）当EF∥AD时，求AE的长；（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE的长．2．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．3．（2021春·上海徐汇·八年级统考期中）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P．(1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长；(2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由．4．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上．(1)如果点F和点C重合，求AP；(2)设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域；(3)连接DF，如果△PDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长．5．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结．(1)如图1，当点在线段上时，求证：；(2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；(3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长．重难点04图形运动中函数关系的确定目录考点一：动点求函数解析式考点二：图形运动求函数解析式技巧方法技巧方法解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题．能力拓展能力拓展考点一：动点求函数解析式动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．1．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，点在边上，，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，且位于点的左侧，联结．(1)设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当四边形是等腰梯形时，求的长；(3)联结，当是等腰三角形时，求正方形的面积．【答案】(1)，定义域为：(2)(3)或【分析】（1）在中，利用勾股定理，求出关于的函数解析式，根据，求出的定义域；（2）根据四边形是等腰梯形时，为等腰直角三角形，，列式计算即可；（3）分和两种情况进行讨论，当，利用三线合一，得到：，列式求解；当，在中，用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵四边形为正方形，∴，∴，在中：，即：．∵，即：，解得：；∴，定义域为：；（2）解：如图：当四边形是等腰梯形时，，则：为等腰直角三角形，∴，即：，解得：；∴的长为：；（3）解：∵点在内部，∴，分两种情况讨论是等腰三角形．①当时，∵，∴．即：．解得．此时．②当时，．在中，由勾股定理，得即：，解得，∴．综上，正方形的面积为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键．注意，分类讨论．2．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，，，、的延长线相交于点G，设，．(1)求y与x之间函数解析式，并写定义域；(2)当点F为中点时，求的长．【答案】(1)，(2)2【分析】（1）过点E作于H，根据已知条件得到，，，再根据勾股定理列方程即可得结论；（2）证明，得，列方程，解出即可．【详解】（1）解∶如图，过点E作于H，∵四边形是正方形，，，∴，，∴，，∵，，∴，，在中，，∴，即，∴y与x之间函数解析式为，定义域为；（2）解：∵，∴，又，，∴，∴，∴，∴，解得，，经检验，，都是方程的解，但不符合题意，舍去，∴的长为2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的距离相等，勾股定理，函数及分式方程等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2022春·上海·八年级校考期中）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．(1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由．(2)若∠BMN＝30°，求AM的值．(3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．【答案】(1)不变，∠MND=30°；(2)AM的长为2-2或4-4；(3)【分析】（1）连接DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果；（2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果；（3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果．【详解】（1）解：如图1，连接DM，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB，∴DM=BM，OD=OB==2，∴BD=4，∴AD=AB=BD，∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°，∴∠ACD=∠BCD=30°，设∠MBO=α，∵MN=MB，∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α，在△CBM中，∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α，∴∠CMD=∠CMB=90°-α，在△MND中，∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α，∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α，∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°，∵BM=DM=MN，∴∠MND=∠MDN==30°；（2）解：当点N在边BC上时，在△MBN和△CBM中，∠BMN=∠ACB=30°，∠CBM=∠MBN，∴∠CMB=∠MBN，∵MB=MN，∴∠MBN=∠MNB，∴∠CBM=∠MBN，∴CM=CB=4，∴AM=AC-CM=4-4；当点N在CB延长线上时，过点M作MG⊥BN于点G，∵MB=MN，∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°，∴∠GMC=180°-90°-30°=60°，∴∠BMO=45°，∴△OBM是等腰直角三角形，∴OB=OM=2，∴AM=AO-OM=2-2；综上，AM的长为2-2或4-4；（3）解：如图2，作ME⊥AB于E，MF⊥DN，∵∠CAB=30°，∴EM=AM=x，∴AE=，∴BE=AB-AE=4-x，在Rt△BEM中，BM=，在Rt△MNF中，同理可得：NF=MN=，∴DN=2NF，∴．【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系．4．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知梯形中，，，，，，是边上任意一点（不与、重合），联结和．(1)若平分，求．(2)若是中点，联结和，①设，，求关于的函数解析式；②若，求的长．【答案】(1)或(2)①(0<x<4)；②【分析】（1）如图，作于，则四边形是矩形，，，分两种情况求解即可；（2）①如图，过点作于，延长交于，四边形是矩形，，，再证明，可得出，最后在在中，利用勾股定理构建函数关系式即可；②根据点是中点，，可知垂直平分，由垂直平分线的性质可得，然后在在中，利用勾股定理计算即可．(1)解：如图，作于，∴，∵四边形是梯形，，，，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，分两种情况：第一种情况：当平分时，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴；第二种情况：当平分时，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴．综上所述，的长为或．(2)①如图，过点作于，延长交于，∴，∵，，∴，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵点是中点，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴∴，在中，，，，∵即：，当N与C重合时，BE=4，∴x取值范围为0<x<4,∴关于的函数解析式为：(0<x<4)；②∵是中点，，∴垂直平分，∴，在中，，，∴．∴的长为．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形和全等三角形解决问题．5．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．(1)求证：△APQ是等边三角形；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果PD⊥AQ，求BP的值．【答案】(1)见解析；(2)y＝（x≥0）；(3)BP＝0或BP＝8【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出△BAP≌△CAQ，即可得出AP＝AQ，即可得出结论；（2）先表示出AH，PH，利用勾股定理即可得出结论；（3）分两种情况，①判断出点P和点B重合，②判断出∠PAB＝90°即可得出结论．(1)证明：如图1，连接AC∵四边形ABCD为菱形∴AB＝BC，ABCD∵∠B＝60°∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝180°－∠B＝120°∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠ACQ＝∠BCD－∠ACB＝60°，∠PAQ＝∠BAC＝60°∴∠B＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ∴△BAP≌△CAQ，∴AP＝AQ∴△APQ是等边三角形(2)解：如图2，作PH⊥AB于点H，则∠BHP＝90°，∵∠B＝60°∴∠BPH＝30°，∴BH＝x，PH＝＝x，∵AB＝4，∴AH＝4﹣x∵△APQ是等边三角形∴PQ＝AP＝y在Rt△AHP中，AP2＝AH2+PH2，∴y2＝（x）2+（4﹣x）2＝，∴y＝（x≥0）(3)解：①当点P在边BC上，PD⊥AQ时，点P与点B重合，x＝0，即BP＝0．②如图3，当点P在边BC的延长线上，PD⊥AQ于点M，同（1）的方法得，△APQ为等边三角形．∴∠PAQ＝60°，∵PD⊥AQ，∴AM＝QM，PM垂直平分AQ∴△DAQ是等腰三角形∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ADQ＝120°，∴∠DAQ＝＝30°，∴∠DAP＝30°∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°，∴AB＝BP∵AB＝4∴BP＝8，∴BP＝0或BP＝8【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出△PAQ是等边三角形是解本题的关键．6．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒．(1)求点H与点D重合时t的值．(2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝；（2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，S＝EF•FH＝•2t＝2，②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM，S＝EF•FH−S△DHM即可得到答案；（3）当O∥AD时，证明O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝4；(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∵GE∥AD，∴∠GEB＝∠BAD＝60°，∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°，∴∠EGA＝∠BAC＝30°，∴GE＝AE＝2t，∵四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE＝2t，在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝，∴AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，∴3t＝8，∴t＝；(2)①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图：矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，∴S＝EF•FH＝，②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图：在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8，∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝，∴S△DHM＝DH•HM＝，∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S＝EF•FH−S△DHM＝，综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积：，(3)当AD时，如图：∵四边形EFHG是矩形，∴是FG的中点，∵∥AD，∴是△AFG的中位线，∴O是AG中点，∴OA＝OG，又∵O是AC中点，OA＝OC，∴G与C重合，此时，E与B重合，∴t＝故答案为：4【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．7．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域；(3)当AD的长为7时，求线段FG的长．【答案】(1)见解析(2)(3)3或5【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形；（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD=4-x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形

∴AB＝AC∴∵△ADE是等边三角形

∴AD＝AE∴

即∴（SAS）

∴BD＝EC∴∴

∴

∴AB//EC

∵EF//BC

∴四边形BCEF是平行四边形（2）∵EF//BC

∴∴

∴GE＝EC∴GE＝EC＝BD＝x

∵

∴（3）作AH⊥BC，垂足为H在中，∴

∴在中，∴

即，解得或；∴∴FG的长为3或5【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．8.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90º，AB＝BC＝8，点E在边AB上，DE⊥CE，DE的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF＝CE；（2）当点E为AB中点时，求CD的长；（3）设CE＝x，AD＝y，试用x的代数式表示y．【难度】★★★【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：过作，垂足为∵AD//BC，∠ABC＝90º，AB＝BC，．，，≌，；为中点，，∴≌，，，，，，，；（3），．．．，，．【总结】考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用，同时运用勾股定理解决函数问题．9.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）联结CF，若AG∥CF，求DE的长．【难度】★★★【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：由翻折易证≌．．∵正方形ABCD，∴．∵,≌；≌，，，．，；（3），．【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力，解题时注意对基本图形的寻找．10.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、CD上，∠FEB＝∠EBC，EF、BC的延长线相交于点G，设AE＝x，BG＝y．（1）求y与x之间函数解析式，并写定义域；当点F为CD中点时，求AE的长．【难度】★★★【答案】（1）；（2）的长为或．【解析】解：（1）过点E作于点H，∵正方形ABCD，，∴BH=AE＝x，．∵∠FEB＝∠EBC，∴，∴．∵，∴，∴；（2）点为中点，．，≌，，即，．，，即的长为或．【总结】本题主要考查正方形形的性质与勾股定理的综合运用，注意进行分析．

11.如图所示，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE垂直于AB交射线AC与E，连接BE，点F是BD的中点，连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形；（2）如果BE=，求出AD的长．【难度】★★★【解析】解：（1），又，；证明：在和中，，是的中点，．，，，即．，是等边三角形；．在中，．当点在上时，；当点在延长线上时，．综上所述：的长为或．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意认真分析题中条件．12.如图，已知：在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G．求证：AF=FP；设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长．【难度】★★★【解析】（1），．．，；．，．，是等边三角形，，即，；若点到的距离等于线段的长，则为的中点，，即，解得：，即线段的长为．【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析．13.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．（1）求证：GD=DC；（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BH=时，求CG的长．【难度】★★★【解析】（1），是的中点，，；．，．若交线段的延长线于点，有，，；若交线段于点，有，，；若交线段的延长线于点，，，；若交线段于点，，，；综上所述，CG的长为或．【总结】本题主要考查对三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线性质，以及含角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用．考点二：图形运动求函数解析式图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．1.如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD＝12，DH⊥AB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF＝y．（1）当EF∥AD时，求AE的长；（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE的长．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）的长为或．【解析】解：（1），四边形是平行四边形，，四边形是菱形，；过点作于，在中，，，；联结，，．，必落在射线上，当时，有或，解得：或．【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定，另一方面要注意分类讨论．2．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．【答案】(1)G（，2），y=−x+12(2)（0≤x≤3）(3)P（，2）或（1，2）．【分析】（1）设PG=a，先求出GD=3a，再根据勾股定理求出点G的坐标，由点C的坐标可求出直线CF的解析式；（2）由折叠的性质得出DG=5-（5-y）-x=y-x，利用勾股定理得出；（3）分两种情况解答：①当MG=MP时，得到△APO≌△DGC，由AP=DG，得到，求解即可；②当MG=PG时，先得出△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，利用勾股定理得到AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，列出关于x的方程，得出结果．（1）解：（1）设PG=a，∵四边形OADC是矩形，∴AD∥OC，∴∠GPC=∠PCO，由折叠得：∠PCO=∠PCG，∴∠PCG=∠GPC，∴PG=GC=a，∵OA=2，OC=5，P（2，2），∴PD=5-2=3，∴GD=3-a，在Rt△GDC中，GD2+DC2=CG2，∴22+（3-a）=a2，∴a=PG=，∴AG=2+=，∴G（，2），∵C（5，0），设直线CF为：y=kx+b，则，解得：，∴直线CF为：y=−x+12，∴G（，2）．（2）解：∵P（x,2），H（y，0），由对称性可知：∠OCP=∠FCP，OC=CF，∵GH⊥PC，∴CG=CH，∴FG=OH=y,AP=x,∴CG=CF-FG=5-y,∴PG=5-y，∴DG=5-（5-y）-x=y-x，在Rt△DGC中，CD2+DG2=CG2，∴（y-x）2+22=（5-y）2，∴，当CF与CD重叠时，G与D重合，此时AP=5-2=3，∴（0≤x≤3）．（3）解：∵△PGM时以MG为腰的等腰三角形，MG=MP或MG=PG，①当MG=MP时，∠MPG=∠MGP，∠APO=∠MPG，∠MGP=∠DGC，∴∠APO=∠DGC，在△APO与△DGC中，，∴△APO≌△DGC（AAS），∴AP=DG，∴y=2x，∴∴3x2-20x+21=0，∴，∵（舍去），∴；②当MG=PG时，∠MPG=∠PMG，∠MOC=∠MPG，∴CM=CO，∵∠OCP=∠MCP，∴∠OPC=∠MPC=90°，∴CP⊥OP，∴△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，∴AP2+AO2=OP2，PD2+CD2=CP2，OP2+CP2=OC2，∴AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，∴x2+22+（5-x）2+22=52，∴x2-5x+4=0，解得：x=1或x=4＞3（舍去），综上，AP为或1，∴P（，2）或（1，2）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，分类讨论是解题的关键．3．（2021春·上海徐汇·八年级统考期中）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P．(1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长；(2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由．【答案】(1)(2)，(3)0.5或2或【分析】（1）根据AAS证明△CPD≌△EPB，设PC=a，则DP=2-a，由勾股定理PC2+DC2=PD2,即可求出PC的长；（2）过点M作MQ⊥BC，根据AAS证明△MPQ≌△BPE,即可得出关系式（3）分情况讨论：P在BC延长线上CP=CE和P在BC上PC=PE（1）解：在矩形ABCD中

AB=CD=1，AD=CB=2，∠A=∠C=90°由翻折可知ED=AD=2∠E=∠A=90°又∠DPC=∠BPE∴△CPD≌△EPB∴BP=DP，PC=PE设PC=a，则DP=2-a由勾股定理PC2+DC2=PD2,得PC2+12=（2-PC）2解得PC=（2）过点M作MQ⊥BC易证△MPQ≌△BPE∴BP=MP=y，PQ=PE=x-y由勾股定理PQ2+MQ2=PM2,得(x-y)2+12=y2解得（3）能，理由如下：当PC=PE时AM=0.5过点M作MN⊥BC由勾股定理MN2+NP2=MP2,得12+（-x）2=（2-+x）2解得

x1=0.5x2=-2（舍去）同理可得：当PC=PE时AM=2当CP=CE时AM=综上可知，AM的长为5或2或．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，借助勾股定理进行计算．4．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上．(1)如果点F和点C重合，求AP；(2)设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写