中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题十五指数函数(原卷版+解析)

指数函数思维导图知识要点知识要点1．指数函数的定义函数y＝ax指数函数的图像与性质函数指数函数y＝ax(a>0且aa的取值范围a>10<a<1图像a的取值范围a>10<a<1图像特点图像位于x轴上方；图像都过定点(0，1)；底数a>1图像自左向右逐渐上升，底数0<a<1图像自左向右逐渐下降；底数a>1与0<a<1的图像关于y轴对称a的取值范围a>10<a<1性质定义域为R；值域为(0，＋∞)；过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1；当a>1时，函数在R上是增函数；当0<a<1时，函数在R上是减函数当x>0时，ax当x<0时，0<ax当x>0时，0<ax当x<0时，ax典例解析典例解析【例1】比较下列各组数之间的大小．(1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3(2)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6−C．0.8−0.1>1.250.2 D．【变式训练1】(1)若a＝30.6，b＝log30.2A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a(2)若0<x<1，则2x，，0.2x之间的大小关系为()A．2x<0.2x< B．2x<<0.2x C.<0.2x<2x D．0.2x<<2x【例2】解下列不等式．(1)22x−1>； (2)a2x>【变式训练2】解不等式33x+1>【例3】求下列函数的定义域．(1)y＝ (2)y＝【变式训练3】求下列函数的定义域．(1)y＝ (2)y＝【例4】已知函数f(x)＝4＋ax−1A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)【变式训练4】已知函数f(x)＝a2x+1A．(0，－2) B. C．(0，1) D．(0，－3)【例5】已知函数f(x)＝(a>0且a≠0)，求f(x)的值域．【变式训练5】已知函数f(x)＝(a>0且a≠0)，求f(x)的值域．【例6】某种病毒通过唾液传播的，如果一个人感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20个未感染病毒的人．现有一人被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的人有________个．()A．60 B．400 C．8000 D．160000【变式训练6】某产品成本价为a，由于技术改进，成本平均每年降低10%，则经过x年后该产品的成本价为(A)A．a·0.9x B．a·0.9x+1 C．a·0.9x−1 高考链接高考链接1．指数函数y＝axA. B. C．2 D．42.(四川省2016年对口升学考试试题)函数y＝的图像大致是()3．已知22x−7<2x−3，则x的取值范围为4．指数函数y＝2−ax在定义域内是减函数，则a的取值范围是同步精练同步精练选择题1．已知a>b，ab≠0，下列不等式①a2>b2；②2a>2b；③⑤中恒成立的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知指数函数y＝axA．2 B．±2 C．4 D．±43．函数y＝axA. B．2 C．4 D.4．若3>>1，则()A．－1<x<0 B．x<－1或x>0 C．－1<x<1 D．0<x<1填空题若3a＋1<，则a∈.6．已知函数f(x)＝ax＋a7．函数f(x)＝ax−1＋3图像恒过点【提示】∵y＝ax过点(0，1)，∴y＝ax−1过点(1，1)，∴y＝8．已知函数y＝，当x∈时是增函数，当x∈时是减函数．解答题9．设函数f(x)＝a－10.若函数f(x)＝＋a是奇函数，求a的值．11．若x满足x∈[－1，3]，求函数f(x)＝－3x＋1＋9x－1的值域．12．已知函数f(x)＝(1)求证：函数f(x)是R上的增函数；(2)令g(x)＝，判断g(x)的奇偶性，并证明．指数函数思维导图知识要点知识要点1．指数函数的定义函数y＝ax指数函数的图像与性质函数指数函数y＝ax(a>0且aa的取值范围a>10<a<1图像a的取值范围a>10<a<1图像特点图像位于x轴上方；图像都过定点(0，1)；底数a>1图像自左向右逐渐上升，底数0<a<1图像自左向右逐渐下降；底数a>1与0<a<1的图像关于y轴对称a的取值范围a>10<a<1性质定义域为R；值域为(0，＋∞)；过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1；当a>1时，函数在R上是增函数；当0<a<1时，函数在R上是减函数当x>0时，ax当x<0时，0<ax当x>0时，0<ax当x<0时，ax典例解析典例解析【例1】比较下列各组数之间的大小．(1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3【思路点拨】根据指数函数的单调性进行解题．(1)本题是比较大小问题，可化为同底．由y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，又指数函数y＝2x是增函数，故有y1>(2)下列各式比较大小正确的是(B)A．1.72.5>1.73 B．0.6−C．0.8−0.1>1.250.2 D．【思路点拨】(2)A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73B中，∵y＝0.6x是减函数，－1<2，∴0.6−1>C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.25∵y＝1.25x是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8−0.1D中，∵1.70.3>1，0.93.1<1，∴1.70.3【变式训练1】(1)若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a【提示】30.6＞1，log30.2＜0，0＜(2)若0<x<1，则2x，，0.2x之间的大小关系为(D)A．2x<0.2x< B．2x<<0.2x C.<0.2x<2x D．0.2x【例2】解下列不等式．(1)22x−1>； (2)a2x>【思路点拨】(1)由题意得22x−1>2(2)∵0<a<1，∴2x<x＋4，求解．答案：解：(1)由题意得22x−1>∴22x−1>(2)∵0<a<1，∴2x<x＋4，解得x<4，∴原不等式的解集为(－∞，4)．【变式训练2】解不等式33x+1>解：由题知33x+1>，∴3x＋1>2x2－1，解得－<x<2.【例3】求下列函数的定义域．(1)y＝ (2)y＝【思路点拨】(1)由题意得－2≥0，即x2≥1，求解．(2)由题意得>2，即－x＋1>1，求解．答案：解：(1)由题意得－2≥0，即x2≥1，解得x≤－1或x≥1，∴函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意得>2，即－x＋1>1，解得x<0，∴函数的定义域为(－∞，0)．【变式训练3】求下列函数的定义域．(1)y＝ (2)y＝解：(1)16－4x≥0，得4x≤42，∴x≤2，∴定义域为(－∞，2]．(2)由－9>0得∴x<－2，∴定义域为(－∞，－2)．【例4】已知函数f(x)＝4＋ax−1(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是(A)A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)【思路点拨】利用指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像恒过的定点(0，1)解决．由指数函数的性质可得当x＝1时，f(x)恒等于5，所以选A.【变式训练4】已知函数f(x)＝a2x+1－3(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是(B)A．(0，－2) B. C．(0，1) D．(0，－3)【提示】由指数函数的性质可得，当x＝－时，f(x)恒等于－2，所以P点的坐标为【例5】已知函数f(x)＝(a>0且a≠0)，求f(x)的值域．【思路点拨】利用指数函数的有界性可求得．答案：解：(解法一)f(x)＝∵ax>0，∴ax+1>1，0<故f(x)的值域为(－1，1)．(解法二)由f(x)＝得ax＝，∵ax>0，∴>0，解得－1<f(x)<1.故f(x)的值域为(－1，1)．【变式训练5】已知函数f(x)＝(a>0且a≠0)，求f(x)的值域．解：∵f(x)＝∴ax>0，∴ax＋2>2，∴0<∴－<1－<1，∴值域为【例6】某种病毒通过唾液传播的，如果一个人感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20个未感染病毒的人．现有一人被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的人有________个．(C)A．60 B．400 C．8000 D．160000【思路点拨】由题意可得，每一轮感染的人数量构成以1为首项，以20为公比的等比数列，故4轮病毒感染的人数量为1×＝8000人．【变式训练6】某产品成本价为a，由于技术改进，成本平均每年降低10%，则经过x年后该产品的成本价为(A)A．a·0.9x B．a·0.9x+1 C．a·0.9x−1 【提示】∵产品成本价为a，成本平均每年降低10%，则经过x年后该产品的成本价为a·(1－10%)x＝a·0.9x高考链接高考链接1．指数函数y＝ax的图像经过点(2，16)则a的值是(D)A. B. C．2 D．4【提示】由已知有16＝a22.(四川省2016年对口升学考试试题)函数y＝的图像大致是(C)【提示】y＝，由指数函数的性质知应选C.3．已知22x−7<2x−3，则x的取值范围为(－∞，4)．【提示】由指数函数y＝2x在定义域上单调递增知，2x－7<x－3，∴x<4.4．指数函数y＝2−ax在定义域内是减函数，则a的取值范围是(1，2)．【提示】由指数函数y＝ax同步精练同步精练选择题1．已知a>b，ab≠0，下列不等式①a2>b2；②2a>2b；③；④⑤中恒成立的有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【提示】由指数函数的性质可得：②④⑤是正确的，主要考查指数幂的运算及指数函数的性质．2．已知指数函数y＝ax经过点(4，16)，则a等于(A)A．2 B．±2 C．4 D．±4【提示】由题可知a43．函数y＝ax在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(B)A. B．2 C．4 D.【提示】当a>1时，函数y＝ax4．若3>>1，则(A)A．－1<x<0 B．x<－1或x>0 C．－1<x<1 D．0<x<1【提示】根据y＝3x的单调性进行判定．填空题若3a＋1<，则a∈.【提示】根据指数函数的单调性确定a的取值范围．6．已知函数f(x)＝ax＋a−x(a>0且a≠1)，f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值为___12_____．【提示】f(0)＝a0＋a0＝2，f(1)＝a＋a−1＝3，f(2)＝a2＋a∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝12.7．函数f(x)＝ax−1＋3图像恒过点(1，4)．【提示】∵y＝ax过点(0，1)，∴y＝ax−1过点(1，1)，∴y＝a8．已知函数y＝，当x∈[－2，1]时是增函数，当x∈[1，4]时是减函数．解答题9．设函数f(x)＝a－(1)若f(x)是奇函数，求a的值； (2)当f(x)是奇函数时，求f(x)的值域．解：该函数定义域为R.(1)当f(x)为奇函数时，则f(0)＝a－＝a－1＝0，∴a＝1.(2)f(x)＝1－，∵2x>0，∴0<<2，∴－1<1－<1，即值域为(－1，1)．10.若函数f(x)＝＋a是奇函数，求a的值．解：∵f(x)＝＋a是奇函数，又2x－1≠0，∴x≠0，即f(x)的定义域为{x|x≠0}，对于任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，∵f(－x)＝又f(x)＋f(－