中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题一集合的概念及其表示方法(原卷版+解析)

专题一集合的概念及其表示方法思维导图知识要点知识要点1．集合的概念由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集；组成集合的对象叫做这个集合的元素．2．集合的表示一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文字母a，b，c…表示集合中的元素．3．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，称a不属于A，记作a∉A.4．集合元素的特征确定性、互异性、无序性．5．常用数集自然数集(非负整数集)：N 整数集：Z有理数集：Q 实数集：R6．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不含任何元素的集合，记作∅.7．集合的表示方法列举法：将集合的元素一一列举出来，用逗号隔开，放在花括号内；描述法：用元素的特征性质来表示集合，即在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质，形如{x|p(x)}；图示法：用一条封闭的曲线内部表示集合．典例解析典例解析【例1】下列语句可以构成集合的为()A．世界著名旅游景点的全体B．不等式2－x＋3>0的解集C．无限接近0的实数D．成绩好的所有学生变式训练1下列各组对象，能组成一个集合的是()①高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值．①② B．③④ C．②③ D．①③【例2】已知集合A＝{x|x＜2}，a＝，则下列关系中正确的是()A．a∈A B．a∉A C．{a}∈A D．{a}∉A变式训练2下列表示正确的是()A．0∈N B.∈N C．－3∈N D．π∈Q【例3】用适当的方法表示下列集合．(1)大于2且小于9的偶数； (2)方程x2－9＝0的解集；(3)不等式3x－6＜0的解集； (4)不小于2的实数；(5)在平面直角坐标系中第一象限的所有点．变式训练3试分别用列举法和描述法表示下列集合．(1)由方程x(－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于15的质数．【例4】已知集合A＝{x|a＋2x＋1＝0}中至多有一个元素，求a的取值范围．高考链接高考链接1．下列命题中，正确的是()A．(1，2)∈{1，2} B．(1，2)∈{(1，2)}C．(1，2)⊆{(1，2)} D．∅⊆(1，2)2．已知集合M＝{1，2，2}，N＝{1，2，2a}，若M＝N，则a＝()A．0 B．1 C．0或1 D．±13．已知集合A＝{x|x<3}，a＝，则()A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A4.用列举法表示集合A=则A＝_________________.5．{1，}表示集合，则x满足的条件是__________．同步精练同步精练一、选择题1．下列各组对象中，能组成集合的是()A．高一年级的高个子男生B．我国古代的四大发明C．我国的大江、小河D．本班兴趣广泛的同学2．若2∈{x，－x}，则x的值为()A．x＝－1 B．x＝0C．x＝2 D．x＝－1或23．方程组的解集是()A．{2，－2} B．{(2，－2)}C．{2，－1} D．2，－14．已知集合A＝{x|＋px＋q＝0}且3∈A，－2∈A，则p，q的值分别为()A．1，－6 B．－1，－6 C．{－1，－6} D．1，65．已知集合A＝{x|x<3}，a＝，则下列表示正确的是()A．a∉A B．{a}∈A C．{a}⊆A D．{a}⊄A二、填空题6．已知集合A＝{a＋2，，＋2a＋3}，1∈A，则实数a的值为________．7．若集合{x|＋ax＋b＝0，a，b∈R}＝∅，则a，b应满足条件_________．【提示】若集合为空集，则方程＋ax＋b＝0无实数解，即Δ<0.8．用符号“∈”“∉”填空．(1)2_______N; (2)－2_______N;(3)3_______Q; (4)________Z；(5)____Q; (6)_____Q;(7)π_______R; (8)0________∅.9．数集{2a，＋a}中a的取值范围是________．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合．(1)小于10的所有质数组成的集合；(2)绝对值不大于3的所有实数组成的集合；(3)不等于－3x＋5<1的解集；(4)用列举法表示集合A＝11．已知集合A＝{1，＋1，－3a－2}，且2∈A，求a的值．12．用适当的方法表示下列集合．(1)直角坐标系中x轴上的所有点的集合；(2)直角坐标系中，第一、三象限内的所有点组成的集合；(3)所有正偶数组成的集合．13．已知集合A＝{x|a＋4x＋4＝0}．(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．专题一集合的概念及其表示方法思维导图知识要点知识要点1．集合的概念由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集；组成集合的对象叫做这个集合的元素．2．集合的表示一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文字母a，b，c…表示集合中的元素．3．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，称a不属于A，记作a∉A.4．集合元素的特征确定性、互异性、无序性．5．常用数集自然数集(非负整数集)：N 整数集：Z有理数集：Q 实数集：R6．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不含任何元素的集合，记作∅.7．集合的表示方法列举法：将集合的元素一一列举出来，用逗号隔开，放在花括号内；描述法：用元素的特征性质来表示集合，即在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质，形如{x|p(x)}；图示法：用一条封闭的曲线内部表示集合．典例解析典例解析【例1】下列语句可以构成集合的为(D)A．世界著名旅游景点的全体B．不等式2－x＋3>0的解集C．无限接近0的实数D．成绩好的所有学生【思路点拨】本题考查集合元素的确定性．A，C，D中的“著名”“接近”“好”没有标准，元素不确定，而B中的元素是确定的．变式训练1下列各组对象，能组成一个集合的是(C)①高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值．A．①② B．③④ C．②③ D．①③【提示】只有②③能构成集合，①④不能构成集合．【例2】已知集合A＝{x|x＜2}，a＝，则下列关系中正确的是(B)A．a∈A B．a∉A C．{a}∈A D．{a}∉A【思路点拨】本题主要考查元素与集合之间的关系，因为＞2，所以a不是集合A中的元素．变式训练2下列表示正确的是(A)A．0∈N B.∈N C．－3∈N D．π∈Q【提示】∉N，故B错误；－3∉N，故C错误；π∉Q，故D错误．【例3】用适当的方法表示下列集合．(1)大于2且小于9的偶数； (2)方程x2－9＝0的解集；(3)不等式3x－6＜0的解集； (4)不小于2的实数；(5)在平面直角坐标系中第一象限的所有点．解：(1)大于2且小于9的偶数有4，6，8，故用列举法表示为{4，6，8}．(2)解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，故用列举法表示为{－3，3}．(3)解不等式3x－6＜0得x＜2，故用描述法表示为{x|x＜2}．(4){x|x≥2}．(5){(x，y)|x＞0且y＞0}．【思路点拨】集合的表示方法有列举法、描述法和图示法．变式训练3试分别用列举法和描述法表示下列集合．(1)由方程x(－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于15的质数．解：(1)用描述法表示为{x|x(－2x－3)＝0}；由x(－2x－3)＝0得x＝－1或x＝0或x＝3，∴用列举法表示解集为{－1，0，3}；(2)用描述法表示为{x|2<x<15且x为质数}；用列举法表示为{3，5，7，11，13}．【例4】已知集合A＝{x|a＋2x＋1＝0}中至多有一个元素，求a的取值范围．【思路点拨】分a＝0和a≠0两种情况进行分类讨论．解：若a＝0，则有2x＋1＝0，解得x＝，则A＝，符合题意；若a≠0，则Δ≤0即4－4a≤0，解得a≥1.综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．变式训练4若x∈R，则数集{2，－x}，满足什么条件？解：实数x满足－x≠2，解得x≠－1且x≠2.高考链接高考链接1．下列命题中，正确的是(B)A．(1，2)∈{1，2} B．(1，2)∈{(1，2)}C．(1，2)⊆{(1，2)} D．∅⊆(1，2)2．已知集合M＝{1，2，2}，N＝{1，2，2a}，若M＝N，则a＝(A)A．0 B．1 C．0或1 D．±1【提示】∵2＝2a，解得a＝1或a＝0.a＝0时满足，a＝1时，M＝{1，2，2}不满足互异性，舍去．3．已知集合A＝{x|x<3}，a＝，则(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A{0，2，3，4，5}4.用列举法表示集合A=则A＝_________________.{0，2，3，4，5}【提示】12的因数为1，2，3，4，6，12，故6－x可能取值为1，2，3，4，6，12，解得x的值为5，4，3，2，0，－6，又x∈N，故A＝{0，2，3，4，5}．5．{1，}表示集合，则x满足的条件是{x|x≠±1}．【提示】集合中元素的互异性．同步精练同步精练选择题1．下列各组对象中，能组成集合的是(B)A．高一年级的高个子男生B．我国古代的四大发明C．我国的大江、小河D．本班兴趣广泛的同学【提示】本题考查集合元素的确定性，A，C，D中的“高、大、小、广泛”没有标准，元素不确定．2．若2∈{x，－x}，则x的值为(A)A．x＝－1 B．x＝0C．x＝2 D．x＝－1或2【提示】本题考查集合元素的互异性，集合中的元素不能重复，故排除x＝2和x＝0的情况．3．方程组的解集是(B)A．{2，－2} B．{(2，－2)}C．{2，－1} D．2，－1【提示】方程组的解集是一组有序实数对，有且只有B的形式正确．4．已知集合A＝{x|＋px＋q＝0}且3∈A，－2∈A，则p，q的值分别为(B)A．1，－6 B．－1，－6 C．{－1，－6} D．1，65．已知集合A＝{x|x<3}，a＝，则下列表示正确的是(C)A．a∉A B．{a}∈A C．{a}⊆A D．{a}⊄A填空题6．已知集合A＝{a＋2，，＋2a＋3}，1∈A，则实数a的值为_－2或－1或0_．7．若集合{x|＋ax＋b＝0，a，b∈R}＝∅，则a，b应满足条件a2－4b<0_．【提示】若集合为空集，则方程＋ax＋b＝0无实数解，即Δ<0.8．用符号“∈”“∉”填空．(1)2___∈_____N; (2)－2_∉_______N;(3)3___∈_____Q; (4)_∉_______Z；(5)_∈____Q; (6)___∉___Q;(7)π__∈_____R; (8)0__∉______∅.9．数集{2a，＋a}中a的取值范围是___a≠0_______．【提示】由集合中元素的互异性可得．解答题10．用适当的方法表示下列集合．(1)小于10的所有质数组成的集合；(2)绝对值不大于3的所有实数组成的集合；(3)不等于－3x＋5<1的解集；(4)用列举法表示集合A＝解：(1){2，3，5，7}．(2){x||x|≤3}．(3)(4){0，4，6，7}．11．已知集合A＝{1，＋1，－3a－2}，且2∈A，求a的值．解：2∈A，∴＋1＝2⇒a＝±1或－3a－2＝2⇒a＝－1或a＝4，当a＝1，A＝{1，2，－4}满足；当a＝－1，A＝{1，2，2}不满足互异性，舍去；当a＝4，A＝{1，17，2}满足．综上，a＝1或a＝4.12．用适当的方法表示下列集合．(1)直角坐标系中x轴上的所有点的集合；(2)直角坐标系中，第一、三象限内的所有点组成的集合；(3)所有正偶数组成的集合．解：(1){(x，y)|y＝0}．(2){(x，y)|xy>0}．(3){x|x＝2k，k∈Z*}．