高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题40椭圆及直线与椭圆位置关系(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题40椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质椭圆定义离心率焦点三角形椭圆方程椭圆方程面积周长面积周长练高考明方向1.(2023·全国甲（文）T11）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（）A.B.C.D.2.(2023·全国甲（理）T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.3.(2023·新高考Ⅰ卷T16）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 ()A． B． C． D．5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 ()A． B． C． D．7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为 ()A．B．C．D．8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 ()A． B． C． D．9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ()A． B． C． D．10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为 ()A． B． C． D．11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ()A．B．QUOTEC．D12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ()A． B． C． D．13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．讲典例备高考类型一、椭圆定义的应用基础知识：1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a<c，则集合P为空集．基本题型：1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（）A． B． C． D．3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)基本方法：1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．类型二、求椭圆标准方程基础知识：椭圆的标准方程：焦点在x轴上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦点在y轴上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)基本题型：1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（）A． B．C． D．2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对4．过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝15．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（）A． B． C． D．基本方法：1．求椭圆标准方程的2种常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法（先定位，在定量）：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，2．设椭圆标准方程的技巧：(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．(32)与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(3)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．类型三、求椭圆离心率的值或范围基础知识：椭圆的几何性质：标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)c2＝a2－b2基本题型：1、如图，过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（）A． B． C． D．5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.基本方法：求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．类型四、焦点三角形的周长或面积基础知识焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).基本题型：1.已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为()A. B. C. D. 2．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为()A．1 B.2C.3 D．43．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A．的周长为10B．面积的最大值为C．当时，的面积为D．存在点P使得4．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当的周长最大时，的面积是___________.6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为。类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题基本题型：1、设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)2．已知P在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为()A.eq\f(\r(218),3) B.eq\f(76,3)C．5 D．2eq\r(5)3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．254．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．6．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值为________．基本方法：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.(2)利用函数，尤其是二次函数求解．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．(4)利用一元二次方程的判别式求解．新预测破高考1、若方程eq\f(x2,7－k)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为()A．(5,7) B．(5,6)C．(6,7)D．(5,6)∪(6,7)2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（）A．1 B． C．2 D．3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝14．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（）A． B． C． D．6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（）A． B． C． D．8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．9．(多选)已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝210．（多选题）已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（）A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.①当点不在轴上时，的周长是6；②当点不在轴上时，面积的最大值为③存在点，使；④的取值范围是17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.2023高考一轮复习讲与练专题40椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质椭圆定义离心率焦点三角形椭圆方程椭圆方程面积周长面积周长练高考明方向1.(2023·全国甲（文）T11）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（）A.B.C.D.答案：B分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】因为离心率，解得，，分别为C左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.2.(2023·全国甲（理）T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.答案：A分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.3.(2023·新高考Ⅰ卷T16）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．答案：13分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 ()A． B． C． D．答案：C解析：设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．答案：（1）；（2），．解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得．因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为 ()A．B．C．D．答案：B解析：如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以椭圆方程为．8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 ()A． B． C． D．答案：D解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故选D．9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ()A． B． C． D．答案：A【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A．【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为 ()A． B． C． D．答案：A【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ()A．B．QUOTEC．D答案：Ｄ解析：设，则=2，=－2，①；②，由①-②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ()A． B． C． D．答案：C解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c在中，即，又∵，所以将等式两边同时除以a，得．13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．答案：解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．答案：【解析】由已知可得，．．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．法二、在得出．．，∴．∴，的坐标为．法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。答案：解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为．16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．答案：解析：（Ⅰ），解得（Ⅱ）依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由，得，设，且，易知，则，代入椭圆方程得又代入上式，解得．讲典例备高考类型一、椭圆定义的应用基础知识：1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a<c，则集合P为空集．基本题型：1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案：B【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（）A． B． C． D．答案：B分析：由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)答案：B【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．基本方法：1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．类型二、求椭圆标准方程基础知识：椭圆的标准方程：焦点在x轴上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦点在y轴上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)基本题型：1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（）A． B．C． D．答案：D分析：看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法；（2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)答案：B分析：看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法；（2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对答案：C【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.故选C.4．过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1答案：A【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对答案：A【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋x2＝1.6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（）A． B． C． D．答案：ACD分析：分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.【详解】∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；基本方法：1．求椭圆标准方程的2种常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法（先定位，在定量）：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，2．设椭圆标准方程的技巧：(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．(32)与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(3)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．类型三、求椭圆离心率的值或范围基础知识：椭圆的几何性质：标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)c2＝a2－b2基本题型：1、如图，过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案：C分析：由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq\f(a2－c2,a)，于是k＝eq\f(a2－c2,aa＋c).又eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－c2,aa＋c)<eq\f(1,2)，化简可得eq\f(1,3)<eq\f(1－e2,1＋e)<eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)<e<eq\f(2,3)，故选C.2．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．答案：C分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，又，，由，可得，则，即，，又，解得．故选：C．3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．答案：D分析：求出、，由可求得的值.【详解】不妨设点在第一象限，因为轴，所以，将代入椭圆方程得，因为，可得，即，因为，所以，，解得.4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（）A． B． C． D．答案：ABD分析：分析可得，可得出关于的二次不等式，结合可求得的取值范围，即得出结果.【详解】如下图所示，可得、、、，则，，因为为钝角，则，可得，即，因为，解得.所以，ABD选项满足条件.5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.答案：【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.基本方法：求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．类型四、焦点三角形的周长或面积基础知识焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).基本题型：1.已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为()A. B. C. D. 答案：C【解析】由题意,椭圆的短轴长为,离心率为,所以,,则,所以,所以的周长为.2．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为()A．1 B.2C.3 D．4答案：D分析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a，①,m2＋n2＝4c2，②))由①2得m2＋n2＋2mn＝4a2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，∴mn＝8.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝eq\f(1,2)×8＝4.3．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A．的周长为10B．面积的最大值为C．当时，的面积为D．存在点P使得答案：AB分析：由椭圆的方程可得，由的周长为可判断A，当点位于短轴端点时，的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出，可判断C，设，则，由可得，解出方程可判断D.【详解】由椭圆的方程可得，的周长为，故A正确当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确，当时，由余弦定理可得，所以，所以，可得，所以的面积为，故C错误设，则，由可得，从而可得解得，不成立，故D错误，故选：AB4．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案：(3，eq\r(15))分析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3,eq\r(15))．5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当的周长最大时，的面积是___________.答案：分析：设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积.【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时，所以此时的面积为.6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为。答案：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.．【解析】由题意，设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝eq\r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq\f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×m×eq\r(3)m＝eq\f(2\r(3),3)，解得m＝eq\f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq\r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq\r(3)，解得c＝1，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，则椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题基本题型：1、设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)答案：A分析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.2．已知P在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为()A.eq\f(\r(218),3) B.eq\f(76,3)C．5 D．2eq\r(5)答案：C分析：设P(x0，y0)，则由题意得xeq\o\al(2,0)＝4(1－yeq\o\al(2,0))，所以|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq\o\al(2,0))＋yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq\o\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(4,3)))2＋eq\f(76,3)，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C.3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．25答案：D分析：设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以.设，则,又.∴.故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C分析：延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.【详解】如下图，延长、相交于点，连接，因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，，故，所以，.故选：C.5．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))分析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1.6．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值为________．答案：4分析：由题意知a＝2，因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以eq\o(PF,\s\up7(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up7(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2，则当x0＝－2时，eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))取得最大值4.基本方法：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.(2)利用函数，尤其是二次函数求解．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．(4)利用一元二次方程的判别式求解．新预测破高考1、若方程eq\f(x2,7－k)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为()A．(5,7) B．(5,6)C．(6,7)D．(5,6)∪(6,7)答案：D【解析】由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6.2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（）A．1 B． C．2 D．答案：B【详解】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为故选：B.3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1答案：D【解析】由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.故选D.4．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．答案：A分析：由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（）A． B． C． D．答案：D分析：作出图形，设椭圆的右焦点为，连接，进而证明四边形为平行四边形，再结合椭圆的定义求解即可.【详解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，因为过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，所以原点平分线段，又因为原点平分线段，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又因为，所以.6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 答案：A【解析】由椭圆的定义知,则的周长为,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点,得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得,所以,所以,.把点的坐标代入椭圆方程得,即,化简得,又,所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（）A． B． C． D．答案：ACD分析：设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，则，所以选项ACD满足.8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．答案：C分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，又，，由，可得，则，即，，又，解得．故选：C．9．(多选)已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2答案：BCD分析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B选项正确；设点