2024年高中数学专题2-4重难点题型培优检测直线的方程一：直线方程的几种形式教师版新人教A版选择性必修第一册

专题2.4直线的方程（一）：直线方程的几种形式一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）直线2x-y+2=0在A．-1 B．1 C．-【解题思路】依据截距的概念运算求解.【解答过程】令y=0，则2x∴直线2x-y+2=0故选：A.2．（3分）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．x+4yC．4x+【解题思路】依据直线的两点式方程求解即可.【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为y-2x故选：B.3．（3分）过点P3,-23A．3x-C．x+y【解题思路】依据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=所以直线方程为y+23=故选：D．4．（3分）过点P(-1,2)且方向向量为aA．2x+y=0 B．x【解题思路】依据直线的方向向量求得直线的斜率，再依据点斜式即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的方向向量为a=(所以直线的斜率为2-所以过点P(-1,2)且方向向量为a即2x故选：A.5．（3分）直线l:mx+2(2m-A．2 B．-23【解题思路】求出直线与坐标轴的交点，依据面积公式即可求解.【解答过程】很明显，直线l与x轴和y轴既不平行也不垂直，当x=0时，y=32m所以直线l与x轴和y轴的交点分别为(6m,0)因为直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为3，所以有12×6m×故选：D.6．（3分）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距确定值相等的直线方程为（

）A．x+y-7=0或x-yC．x-y-7=0或x+y【解题思路】依据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类探讨，设直线方程，求出每一种状况的直线方程即可.【解答过程】①当直线经过原点时，斜率k=4-03②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，将点A3,4代入，的3a③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa+y-a=1，将点A3,4代入，的3综上所述，直线方程为：4x-3y=0故选：B.7．（3分）直线l1:ax-y+b=0，l2A． B． C． D．【解题思路】首先假定每个选项中的l1图象正确，则可得a,b【解答过程】将l1:ax将l2:bx对于A，若l1图象正确，则a>0，b>0对于B，若l1图象正确，则a>0，b<0对于C，若l1图象正确，则，则a>0，b>0对于D，若l1图象正确，则a<0，b>0故选：D.8．（3分）对于直线l：ax+ay-①无论a如何变更，直线l的倾斜角大小不变；②无论a如何变更，直线l确定不经过第三象限；③无论a如何变更，直线l必经过第一、二、三象限；④当a取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可推断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可推断②正确，③错误．【解答过程】直线l：ax+ay-1a=0（a≠0），可化简为：x+y-1a2=0，即y=-x+1a故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）对于直线l:x+A．直线l过点0,1 B．直线l与直线y=C．直线l的一个方向向量为1,1 D．直线l的倾斜角为45°【解题思路】依据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、相互垂直两直线的性质逐一推断即可.【解答过程】解析：直线l:x+y-1=0化成斜截式为y=-x+1，所以当x=0时，y故选：AB．10．（4分）下列说法正确的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+B．方程mx+C．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanD．经过两点P1x1,【解题思路】举例说明可推断A选项错误；由直线方程求得直线的斜率推断B选项；由倾斜角α=90【解答过程】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如y=2x但不能用对于B选项，方程mx+y-对于C选项，若α=90对于D选项，经过两点P1x1,y1，故选：BD.11．（4分）下列说法正确的是（

）A．截距相等的直线都可以用方程xaB．方程x+my-C．经过点(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为yD．经过两点P1(【解题思路】对于A，依据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于y轴的直线，斜率不存在，令m=0对于C，依据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的运用条件，可得答案；对于D，依据两点的横坐标是否相等进行探讨，可得答案.【解答过程】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程xa对于B，当m=0时，方程为x-2=0对于C，当θ=90∘时，tan对于D，当x1≠x2时，由斜率公式，可得当x1=x2时，方程故选：BD.12．（4分）关于直线l:mx-A．直线l在y轴上的截距为4 B．当m=0时，直线lC．当m≥0时，直线l不经过其次象限 D．当m=1【解题思路】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.【解答过程】对于A，直线l:mx-y-4=0可化为y=对于B，当m=0时，直线l为y=-4，即对于C，当m≥0时，l:y=mx-4有对于D，当m=1时，直线l为y易知直线l与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为4，故S=故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）过两点A(1,3),B(【解题思路】利用两点式即可写出直线，再化简为一般方程即可.【解答过程】由题意知直线为：y-化简得：x-故答案为：x-14．（4分）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【解题思路】直线的斜率存在且不为0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程.【解答过程】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为xa则有a+b=62a+1b=1，解得a＝直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.15．（4分）已知直线l的一个方向向量d=3,4，且过点-1,2，则直线l的点斜式方程为y【解题思路】依据直线的方向向量可得直线l的斜率，再写出点斜式方程即可.【解答过程】因为直线l的一个方向向量d=3,4，所以直线l所以直线方程为y-故答案为：y-16．（4分）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45∘和30∘角，过点P1,0作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=1【解题思路】由题意求出直线OA,OB的方程，设Am,m,B-3n,n得到AB的中点的坐标，由A，【解答过程】由题意可得kOAkOB所以直线lOA设Am,m所以AB的中点Cm-由点C在直线y=12x上，且A，m+n解得m=3，所以又P1,0，所以kAB=所以lAB即直线AB的方程为3+3故答案为：3+3四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）过点P(1,4)【解题思路】由题意设直线的方程为xa+yb=1(a>0,【解答过程】解：设直线的方程为xa把点P(1,4)代入可得1∴a当且仅当b=2a=6此时直线的方程为x318．（6分）已知P是直线l上一点，且n是直线l的一个方向向量，依据下列条件分别求直线l的方程：(1)P(3,(2)P(0,5),【解题思路】设Mx,y是直线l上另一点，表达出PM，利用PM∥n得到等量关系，整理得直线l【解答过程】解：(1)设点Mx,y是直线l上另一点，则PM=x-3,y+5则y+5-2(2)设点Mx,y是直线l上另一点，则PM=x,y-5则3y-519．（8分）求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A2,1，且斜率为-(2)过点A1,4，B(3)过点P2,1【解题思路】（1）利用点斜式写直线方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.【解答过程】解：（1）∵所求直线过点A2,1，且斜率为-12，∴y（2）∵所求直线过A1,4，B2,3，∴∴y-4=-（3）当直线过原点时，设直线方程为y=∵直线过P点2,1，∴k=1-02当直线不过原点时，设直线方程为xa将点P2,1代入上式，得2a+故直线的方程为x+y-3=0，综上，直线方程为20．（8分）已知直线l:(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）先求出a≠0且a≠12，再求出直线l在x（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种状况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【解答过程】解：（1）由条件知，a≠0且在直线l的方程中，令y=0得x=a-∴a-1a=a经检验，a=1，1（2）当a=12时，l的方程为：12x当a≠12l不通过第四象限，即-a1-综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为1221．（8分）已知直线l经过点P-(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；(2)设l的斜率k>0，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当△AOB的面积最小时，求【解题思路】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到-1（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.【解答过程】解：（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则l的点斜式方程为y-2=kx+1，则它在两坐标轴上截距分别为所以-1-2k+所以l的点斜式方程为y-2=-（2）由（1）知，A-2k所以△AOB的面积S当且仅当k=2时，等号成立，所以l的斜截式方程为y22．（8分）已知直线l：(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，