2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第3讲随机事件的概率古典概型考点2古典概型

古典概型1.(2024·浙江金华一中月考)奥林匹克标记由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为(A)A.eq\f(3,14) B．eq\f(5,14)C．eq\f(3,7) D．eq\f(1,7)[解析]从8个点中任取3个点，共有Ceq\o\al(3,8)＝56种状况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有3×Ceq\o\al(3,4)＝12种状况，则所求的概率P＝eq\f(12,56)＝eq\f(3,14).故选A.2．(2024·河北邢台质检联盟月考)将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机支配到A，B，C，D四个社区做环保宣扬，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能支配一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是(C)A.eq\f(7,8) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]甲、乙、丙、丁四名志愿者随机支配到A，B，C，D四个社区，共有Aeq\o\al(4,4)种状况，其中甲不被分到A社区有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)种状况，故甲不被分到A社区的概率是eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(3,4).故选C.3．(2024·河南豫东名校摸底)为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培育的教化体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为(D)A.eq\f(5,36) B．eq\f(1,6)C．eq\f(7,36) D．eq\f(7,18)[解析]6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＋C\o\al(4,6)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,5)C\o\al(3,3)))·Aeq\o\al(3,3)＝540种．恰有2名同学选修传统体育的状况：Ceq\o\al(2,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,4)＋\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(2,2)＝210种．∴P＝eq\f(210,540)＝eq\f(7,18).故选D.4．(2024·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教化体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余爱好活动中开展了“六艺”学问讲座，每艺支配一节，连排六节，则满足“数”必需排在前两节，“礼”和“乐”必需分开支配的概率为(C)A.eq\f(7,60) B．eq\f(1,6)C.eq\f(13,60) D．eq\f(1,4)[解析]解法一：当“数”位于第一位时，“礼”“乐”分开有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)种排法；当“数”位于其次位时，“礼”“乐”分开有Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)种排法．故满足条件的事务的概率为：eq\f(A\o\al(5,5)－C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)＋A\o\al(5,5)－A\o\al(4,4)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60)，故选C.解法二：当“数”位于第一位时，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)种；当“数”位于其次位时，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种，总排法有Aeq\o\al(6,6)种，∴所求概率P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,4)＋C\o\al(1,2)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(2,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60).[引申]本例4中，(1)“必需分开”改为“相邻”，则概率为eq\f(7,60)；(2)“必需分开”改为“不和数相邻”的概率为eq\f(3,20).[解析](1)P＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(2,2)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(7,60).(2)P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,20).名师点拨：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事务A包含的基本事件的个数，这就须要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，较困难事务的基本事件数可用排列、组合学问求得，具体应用时可依据须要灵敏选择．含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事务，然后应用对立事务的性质P(A)＝1－P(eq\x\to(A))进一步求解．【变式训练】1．(2024·广东南粤名校联考)从正整数1,2，…，10中随意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为(C)A.eq\f(1,9) B．eq\f(6,45)C．eq\f(7,45) D．eq\f(8,45)[解析]从1,2，…，10中随意取出两个不同的数，共有Ceq\o\al(2,10)＝45种选择，其中(1,3)，(1,8)，(2,7)，(3,6)，(4,5)，(6,10)，(7,9)满足取出的两个数的和等于某个正整数的平方，故取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为eq\f(7,45).故选C.2．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为(A)A.eq\f(5,6) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n＝Aeq\o