高考数学二轮复习 四 数列 第二讲 数列的通项与求和学案 理-人教版高三全册数学学案

第二讲数列的通项与求和

核心考点犬破Hexinkaodiantupo>»典例精析题型突破

考点一求数列的通项公式

数列通项公式的求法

［Si,n=L

(1)公式法：由&尸、求通项公式.

⑸一ST,

⑵累加法：由形如4+i—a产『5)(『(〃)是可以求和的)的递推关系求通项公式时，常

用累加法.

(3)累乘法：由形如空infS)(/1(〃)是可以求积的)的递推关系求通项公式时，常用累乘

法.

(4)构造法：由形如且AW1)”的递推关系求通项公式时，可用迭

代法或构造等比数列法.

角度1：公式法求数列通项

［解题指导］

［解析］解法一：由S=2a+1,得a=22+1,所以&=—1,当〃22时，an=Sn—

S-i=2a+l—(2&-1+1),得品=22-1,1{&}是首项为-1,公比为2的等比数列.

a1(1—7)_~(1-26)

63.

1-7-1-2

解法二：由S=2a+1,得S=2S+1,所以S=-l,当时，由S=2a+1得S

=2(S—Sn-i)+1,即S=2ST—1,.*.57—1=2(57-1—1),又S—1=—2,・，.{S—1}是首项

为一2,公比为2的等比数列，所以S—1=—2X2〃T=-2〃，所以S=l—/，・・・&=1-

=—63.

［答案］—63

角度2：累加法、累乘法求数列通项

［解析］因为a〃+i—1=&+2〃,

所以当时，为一4―1=2/?—1,

an-\—an-2=2(7?—1)—1,

a，n-2—an—3=2(〃—2)—1,

a.2—a=2X2—1,

将以上各式相加，

得dn—4=(2/7—1)+[2(7?-1)—1]+[2(n—2)—1]+…+(2X2—1)=[2〃+2(n—1)

+2(77—2)~\----F2X2]—(77—1)~D；'+4)一刀+]=(〃-1)(刀+2)一刀+1=刀2-1・

又因为a=2,所以4=〃2—l+ai=7/+l(〃三2).

当〃=1时，a=2适合上式.

故an=n+1(〃£N*).

[答案]A=T/+1

角度3：构造法求数列通项

［解析］在递推公式女尸2a+3义才的两边同时除以2"＜得券=,+|,所以数歹曙

是等差数歹（J,其首项为蓝'=1,公差为之所以号=1+（77—1）x|=-|/7—所以an=（3/7—1）•2"

乙乙乙乙乙乙

［答案］a〃=（3"-1）•2”T

［探究追问］若本例中的"a〃+i=2a〃+3X2"”改为"a〃+i=2a〃+3X5"”，其他条件不

变，则数列｛aj的通项公式为.

［解析］解法一：在递推公式a〃+1=2a〃+3X5"的两边同时除以5/，得部=|*3之

5555

①

OOOOoQ

令W=bn,则①式变为4+1=三4+'即%1—1=三（4一1）,又因为61—1=£—1=一.

555555

39

所以数歹1HA-1｝是等比数列,其首项为一匚，公比为匚,

所以b-l

n=HM(H即g-I义官

23X2"T

所咤=i-|x15^

故a〃=5"-3X2"T.

解法二：设a〃+i+4•5"+・2(a0+#X5"),则a〃+i=2a〃-3AX5",与题中递推公式比较

得A=—1,即a“+】一5〃+i=2(4-5"),所以数歹！］｛a-5"｝是首项为a一5=-3,公比为2的

等比数列，则2—5"=—3X2〃T,故a〃=5"—3X2〃T.

［答案］a〃=5"—3X2"-'

名师点拨A

求数列通项公式的两种策略

(1)已知S与a的递推关系求通项常用两个思路：一是利用s—ST=A522)转化为

&的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S与〃之间的关系，

再求a„.

(2)已知为与当+I的递推关系式求通项，通常结合关系式的特征采用累加、累乘、构造

等方法.

［对点训练］

1.［角度11(2018•安徽合肥一模)己知数列｛aj的前〃项和为S,若31=2aL3〃,则

［解析］..,数列｛aj的前〃项和为S,3s=2a〃一3A,；.ai=S=w(2ai—3),解得a=—

o

5=可(2%一3/?)①,

O

当时，S-i=g(2&—i—3〃+3)②,

22

①一②，得为二鼻为一鼻4―1-1

,J0

+1=—2,「.｛品+1｝是以-2为首项，—2为公比的等比数列，区+1=(—2)n,

n20182018-

an—(—2)—1，.二52018—(—2)—1=21.故选A.

［答案］A

2.［角度2］(2017•东北三校联考)若数列面｝满足&=1,a*+i=23,则数列｛a〃｝的通

项公式a„=.

［解析］

丝=2］，"=22,…，卫-=2〃-1(〃)2),将这n~\个等式

Q］Qn—1

直乘得回=21+2+…+(〃一］)=2%山，故a〃=2%❷.

又Q1=1满足上式，故a”=22.

〃(〃—1)

［答案］

3.［角度3］已知数列—｝的前〃项和是S,且满足S+a〃=2〃+l(〃GN*),则数列回｝

的通项公式为.

［解析］因为S+a=2〃+l,

3

所以当〃=1时，&+为=2+1,解得囱=］.

当刀22时，S—1+a—i=2(〃-1)+1,

所以a,n—4-1+a=2,即为=5a-1+1,

1

2-

即an—2——(43/2-1—2),又因为al-2-

所以数歹U｛a一2｝是等比数列，其首项为一5,公比为;,

所以a„—2=—所以a=2一曲=2—p

［答案］a„=2,—^

考点二求数列的前〃项和

数列求和的方法

(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成心=当+4形式的数列求和问题

的方法，其中｛2｝与伉｝是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.

(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即为=F5)的形式,

然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如［片〉(其中｛aj是各项均不为0的等差数

［a，na，n-\-1J

列，C为常数)的数列等.

(3)错位相减法：形如｛a—4｝(其中｛aj为等差数列，｛4｝为等比数列)的数列求和，一

般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和.

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且

剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.

角度1：裂项相消法求和

【例1】(2018•广东七校第一次联考)已知等差数列如“｝的前”项和为S,,,ai=

A(A>0),a„=2/S7+UN*).

+1切入点：利用a”+1=S”+1—S”转

(D求入的值;化为S〃+1与S”的递推关系.

(2)求数列I'一］的前”项和T“.

关键点：求出右，利用裂项相消法

求和.

［解题指导］(1)

求出S/f|求出)

(2)|由(1)求出a1——--裂成两项一|求和

--------Q必〃+］----

[解](l)&+i=S+i—S,代入4+i=2«^+l,

得S+i—S=2，2+1,整理可得S+i=(，£+1):

因为S>0,所以二一"&=1，

所以数列h何｝是首项为卢，公差为1的等差数列，

所以+(77—1)=n+yj^-1,Sn=—I)：

<

当刀22时，an=Sn—Sn-\=2n+2y\~^—i,

・・・a+i—a=2,因为数列｛a｝为等差数列，

所以。2—a=2y/~^+1—4=2,解得4=1.

(2)由(1)可得an=2n—l,

]_]」(11)

所以a〃a0+i=(2〃-1)(2〃+1)=5X\2n~\~2n+\J，

111

因为T—

n劣4+1

111

十

所以-X--11

23315+,l5_7i+.+,2T7-12〃+MJ-5_4_〃+2,

角度2：错位相减法求和

【例2】(2018•合肥二模)已知在数列｛斯｝中，01=2,〃2=4,且依x

=3<2„—2a”—i(〃)2).

J222：------------------------------------------------------>切入点：由即间的递推关系式变形构造

(1)证明：婺M虫二至经鲤烈，并求翘回1螭更缪；.--->

L2222222222222：________________________……J等比数列.

L>关键点：累加法求通项公式.

(2)令。“=红二工，求数列｛6”｝的前"项和T,,,

an关键点：由即得出｛与｝的通项公式，结合

r^22r.----------------------------------------->

特征选择适当的求和方法.

构造数列n—,-----------------累加法

［解题指导1(1)f求出a—a

U„+i—a„)fl+1n

求an

求｛“J前〃项和

［解］(1)证明：由&+1=3a-2为-1(〃22),得a+i—a=2(a一a-1),

因此数列｛为+1一为｝是公比为2,首项为/一2=2的等比数列.

n2nl

所以当时，an—an-\=2X2~=2~,

=1/?2

an(a—a-)+(”—i—劣―2)+…+(/-Si)+包=(2"+2+***+2)+2=2”,

当〃=1时，也符合，故劣=2”.

(2)由(1)知4=与工，

135

所以北=,+了+亍H------F

113,5,।2/7-1^

北=夕+水+卜£+1②

5乙乙乙m乙H----乙

……/口11222..2277-1

①一②，得万北=5+夕+"+寸H-----卜夕一"+1

乙乙乙乙乙乙乙

12/7-1

=屈2$+扑摄+…+32〃一

1

+

2-

2〃+3

所以方=3

2〃

|名师点拨A

数列求和的解题策略

(D解决数列求和问题，一般首先确定数列的通项公式，然后根据其结构形式，采取相

适应的求解方法.

(2)裂项系数取决于前后两项分母的差，裂项相消后，前、后保留的项数一样多.

(3)用错位相减法求和时，要注意找准项数、开始的项和结束的项，不要漏项或加项.在

错位相减后一定要注意其中各个项的结构，特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后

续的项组成等比数列.

［对点训练］

1.［角度1］(2018•济南模拟)已知等差数列｛aj的前n项和为S,公差为4若必£

为函数f(x)=(x—2)(x—99)的两个零点且d<S).

(1)求数列｛aj的通项公式；

1

(2)若4=(z?eN,),求数列—｝的前n项和Tn.

［解］(1)因为&S为函数f(x)=(x—2)(x—99)的两个零点且点S,

所以d=2,S=99,

又因为

所以X2=99,解得2=3,

所以｛a｝是首项为3,公差为2的等差数列,

所以a=劭+(77—1)d=2〃+l.

/、11

(2)-：b=-^=~产=I---------~I—

n7&y2n+3+y^2n+l

_~\/2〃+3—

=「2,

2.［角度2］数列｛aj的前〃项和为£,对于任意的正整数〃都有2〉0,4£=(a+1)2.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵设4=/，1=设+二T---tbn,求7L

0

［解］⑴依题意得4S=(品+1):贝I4S—i=(a一1+1)二刀22.

将上述两式相减可得，4劣=湿一an-\-\-2an—2an-\.

即(为+4-1)(a一an-i—2)=0,〃22.

•a〃〉0,••Q，n-H3>n—1>09

••<3/2Q-n—1I2.

又4s=4劭=(2+1)。解得百=1.

・・&=2/71.

⑵由(1)可得4=(2〃-1)•

则北=1弓+3./+5•8+…+(2f

*1•歙+3•^+-+(2/7-3)•椒+(2f•(犷

将上述两式相减得，

|谓+2•［0+2•8+…+2•(+(2f.(护

_22(/7+1)

33⑶，

Tn=l—(zz+l)•"

后考真题体验匕

aokaozhentitiyan>»细研真题探明考向

1.(2017•全国卷III)设数列｛aj满足ai+3az+…+(2〃-1)4=2〃.

(1)求｛&｝的通项公式；

(2)求数列［告1的前〃项和.

\CJ11ILI

［解］⑴因为81+3/+…+(2〃-1)an=2n,故当时，国+3a2+…+(2〃-3)an-\

=2(7?—1).

9

两式相减得(2刀-1)a=2,所以为----(/?^2).

277—1

2

又由题设可得囱=2也适合上式，从而｛4｝的通项公式为~~-

277—1

(2)记［2,J的前11项和为S.

.I/>.,3，n211

由矢口2〃+1=(2〃+1)(2〃-1)=2〃一1—2〃+1'

皿11.11.।112/7

川&=7-3+3-5^12A一12〃+1=2。+1

2.(2017•天津卷)已知｛aj为等差数列，前〃项和为S(〃GN*),｛4｝是首项为2的等

比数列，且公比大于0,&+&=12,左=a—2a”51=1164.

(1)求｛aj和伍｝的通项公式；

(2)求数列｛曲瓯-J的前n项和(〃GN*).

［解］(1)设等差数列｛aj的公差为4等比数列｛&J的公比为4由已知质+为=12,得

4(。+/)=12,而打=2,所以炉+1一6=0.又因为g>0,解得夕=2.所以4=2".

由物=34-2&,可得3d—ai=8.①

由SU=1164,可得ai+5d=16,②

联立①②，解得ai=l,d=3,由此可得&=3〃-2.

所以数列同｝的通项公式为a0=3〃一2,

数列伉｝的通项公式为4=2".

(2)设数列｛a2„b2„-i｝的前n项和为T„,

由ain=6n—2,^-i=2X4"-1,

有曲风T=(3A—1)X4",故

7；=2X4+5X42+8X43H-----F(3〃-1)X4",

47；=2X42+5X43+8X44H-----卜(3〃-4)X4"+(3〃-1)X4"+1,

上述两式相减，得

12X(1—4”)

-37；=2X4+3X42+3X43H----F3X4"—(3〃-1)X40+1

~i771-4-(3z?-

1）X4"i=—（3A—2）X4°+1-8.

得。=迎合义4"+|十*

oo

所以数列｛电弧的前n项和为包产乂4m+*

OU

感悟高考A

i.高考主要考查两种基本数列（等差数列、等比数列）、两种数列求和方法（裂项求和法、

错位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用.

2.若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中

等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度

偏大，复习时应引起关注.

名师微课导学Mingshiweikedaoxue•…》》技巧点拨升华素养

热点课题11数学文化中的数列问题

应用举例破题关键点

【仅1】（2018•河北调研）“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学

巨著《算法统宗》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在

《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题的诗歌：

切入点：各节容积依次成

>等差数列.

生迭夔青康矮也蝮蟆町袈重.）用你所学的数学知识求得中间两节的容

〉关键点:古文译注.

积为

A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升

规范解答构建课题模板

［解析:］由题意知，各节容积依次构成等差数列，记为｛%｝,设从下至上各节容积分别第一步读懂题意：会脱去数

学文化的背景，转化为相关

为a1,a2，…，。9，公差为d.

（a］+（a］+d）+（ai+2d）=3.9,数学知识.

由题意得1

［（。1+54）+（可+6d）+（。1+74）+（即+8d）=3,第二步构建模型：构建等差

数列或等比数列或递推关系

解得即=1.4,J=—0.1.

式的数列模型.

・•・中间两节的容积为〃4+。5=（1.4—0.1乂3）+（1.4—0.1乂4）=2.1（升）.故选B.

第三步求解模型：利用所学

［:答案：］B

知识求解数列的相关信息.

［感悟体验］

1.（2017•全国卷H）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七

层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了

381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

［解析］由题意可知，由上到下灯的盏数a”az,as,…，a?构成以2为公比的等比数

列，.•.&=*=）=381,；.&=3.故选民

1—N

［答案］B

2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二

人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、

乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五

人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）

A.3钱B.黑C.g钱D.戋

5

［解析］依题意，设甲所得为团，公差为4则ai+a2=a3+&+a5=5，即2团+d=34

544

+9d=5,解得a尸耳，所以甲得碑.故选B.

［答案］B

专题跟踪训练（十九）

一、选择题

1.（2018•安徽淮南一模）已知｛a｝中，a=/72+An,且｛aj是递增数列，则实数八的

取值范围是（）

A.（—2,+°°）B.［—2,+°0）

C.（-3,+8）D.［-3,+8）

［解析］：｛a〃｝是递增数列，.\V〃GN*,an+i>a„,

（〃+1）~+八（z?+l）>zf+An,

化简得—（2z?+1）,A>—3.故选C.

［答案］C

\a„+2,〃是奇数，

2.（2018•信阳二模）已知数列｛aj中，ai—a2=l,a„+2=\则数列

［2a„,〃是偶数，

回｝的前20项和为（）

A.1121B.1122C.1123D.1124

［解析］由题意可知，数列｛a?”｝是首项为1,公比为2的等比数列，数列｛az”一｝是首项

为1,公差为2的等差数歹!J,故数列｛a｝的前20项和为I'：2）+10X1+3^x2=1123.

选C.

洛案］C

3.（2018•石家庄一模）已知正项数列｛a｝中，3i=lf且（〃+2）4+1—（刀+1）忒+劣劣+1

=0,则它的通项公式为（）

12

A-a产行IB.

n+2

C•Q，n2D.3，n=n

［解析］因为(刀+2)W+i—(〃+1)^+劣为+1=0,所以［(〃+2)为+i—(刀+1)劣］,(2+1+

&?+l77+1

a）=0.又｛a｝为正项数列，所以（刀+2）&+L（7?+1）劣=0,即，

&7A+2'

Hn3-n—1&nn~122l,

则当刀22时，a—---•----一•ai=--•---晨匚市•又：国=1也

n3，n~l3，n~2a\n-v1n

2

适合,区=1+］,故选B.

［答案］B

4.（2018•广东茂名二模）S是数列｛aj的前A项和，且W〃GN*都有2s=3a〃+4,则S

A.2—2X3”B.4X3”

C.-4X3"TD.-2-2X3"T

［解析］：2S=3a〃+4,；.2S=3(S—ST)+4(〃22),变形为S—2=3(ST—2),又

〃=1时,25=35+4,解得S=—4,2=-6..•.数歹［J｛£—2｝是等比数列，首项为-6,

公比为3.二£-2=-6X3-1,可得$=2-2X30.故选A.

［答案］A

5.(2018•河北石家庄一模)若数列｛2｝满足a=2,^=-~~则曲H8的值为()

+11—区

11

2-3---

A.B.C.2D.3

［解析］Vai=2,a-T，—3,同理可得：备=弓氏=2,…,

可得劣+4=劣，则^2018-5504X4+2=3,2=-3.故选B.

［答案］B

6.数列｛a｝满足劭=2,4+1=4(2>0,〃£N*),则为=()

A.ICT?B.IO”TC.10277"1D.22小

［解析］因为数列｛a｝满足a=2,a+产湿(为>0,〃£N*),

所以log2品+l=21og2d/7,

即与g=2.

Iog2a„

又ai=2,所以log2ai=log22=l.

故数列｛logzaj是首项为1,公比为2的等比数列.

所以log2a〃=2"T,即a〃=22〃T.

［答案］D

二、填空题

7.(2018•河南新乡三模)若数列｛a〃+i—a.｝是等比数列，且&=1,a?=2,&=5,则

4=.

［解析］&=1,含—功=3,7—3,

「・a+1-4=3"I・••当力22时，an—ai=&—2+&-/+…+a—i—an-2-\-an—&i=l

1一『

+3+-+3/?-2=-

1—O

・・_・3^+1_必中人,3”一+1

•311,••d-n2•&1也适合，••3，n之,

［答案］―一

8.已知数列｛aj中，ai=3,且点只(a〃，a〃+i)(〃GN*)在直线4x—y+l=0上，则数列

｛aj的通项公式为.

［解析］因为点已⑸，a〃+i)(AGN*)在直线4x—y+l=0上，

所以4a〃-a〃+i+l=0.

所以<9/?+1+H&+g.

因为a=3,所以2+鼻=学.

OO

故数列卜+苴是首项为学，公比为4的等比数列.

所以a+9=学义4"7,故数列｛品｝的通项公式为2=学义4"7一

jjoo

［答案］^=^X4/?-1—1

77JI

9.(2018•山西大同模拟)已知数列｛a｝的通项公式为a=(—1)”(2刀一1)-cos—+1(/7

£N*),其前刀项和为S,则&o=.

［解析］由题意可得，当〃=4A—3(4£N*)时，an=a4k-3=l；当〃=44一2(A《N