新教材苏教版高中数学选择性必修第一册5.3导数在研究函数中的应用

5.3导数在研究函数中的应用

一、单选题

1.已知函数卜=矿(%)(尸(X)是函数“X)的导函数)的图象如图所示，贝Ijy=/(x)的大致

【答案】C

【分析】设函数y=^'(x)的图象在x轴上最左边的一个零点为。，根据函数的图象得到f(x)

的正负，即得解.

【详解】解：设函数y=9'(x)的图象在％轴上最左边的一个零点为。，且-2<。<-1.

当一2<x<a时，y=xf'(x)<0,.-.f\x)>0,.,.f{x)在(-2,a)上单调递增；

当a<x<0时，y=4'(x)>0,，/'(x)<0,;./(x)在(“,())上单调递减.

2.设a为实数，函数/。)=/+(“-1)/-(〃+2)彳，且f(x)是偶函数，则/*)的单调递减

区间为()

A.(0,2)B.(-百，百)C.(-1,DD.(-3,3)

【答案】c

【分析】求导，结合/co是偶函数得到r(-x)=r(x),求出。=1,从而根据(。)=3/一3

小于0,求出单调递减区间.

【详解】因为/(》)=丁+3-1口2-(0+2»,所以尸(x)=3x?+2(a-l)x-(a+2),

又因为f(x)是偶函数，所以为(r)=/'(x),

BP3(-x)：-2(a-l)x-(a+2)=3x2+2(a-l)x-(a+2),故a-l=0,即a=l,

所以尸(x)=3f-3,令/'(x)<0,解得

所以/(x)的单调递减区间为(-1,1).

3.函数y=/'(x)的图像如图所示，则关于函数y=/(x)的说法正确的是()

A.函数y=/(x)有3个极值点

B.函数y=F(x)在区间(T»,-4)上是增加的

C.函数y=/(x)在区间(-2,+8)上是增加的

D.当X=O时，函数y=/(x)取得极大值

【答案】C

【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，函数单调递增，r(x)<0,函数单

调递减，结合图像即可判断函数的单调区间及极值.

【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当x<-5时，/^x)>0,函数单调递增，

当_5<x<-2时;Z(x)<0,函数单调递减，当x>-2时，函数单调递增，

故当x=-5时，函数取得极大值，当x=-2时，函数取得极小值.所以D错误；

故函数y=/(x)有2个极值点，所以A错误；

函数y=/(x)的单调性为：单增区间(,,—5),(2,+8)；单减区间(—5,—2).故B错误，C正

确.

4.函数/(x)=(x-3)e、的单调递减区间是()

A.(-8,2]B.[0,3]C.[1,41D.[2,+8)

【答案】A

【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式/VX0进行求解即可.

【详解】函数的导数r(x)=e，+(x-3)e*=(x-2)e，

由广(“<0得(x-2)e，<0,

即％-2vO得％<2,

即函数的单调递减区间为(YO,2］,

5.函数y=xe*在xe［2,4］上的最小值为()

142

2

A.2eB.—C.—TD.-7

eee~

【答案】A

【分析】利用导数研究函数/(x)的单调性，结合单调性即可求得最小值.

【详解】Vy=xe\

y'=e*+xe*=(1+x)e',

当XG［2,4］时,y=(l+x)e，>0

函数y=xe，在区间［2,4］上单调递增，

2

...当x=2时，函数y=xe，取得最小值,>'min=2e,

，函数y=xe*在xe［2,4］上的最小值为2e2.

6.对任意xe(O,2e),|x—41nxWe恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(e,2e)B.-^-,2e

/

c.2e_:\,2e2e------,2e

Iln(2e)ln(2e)

【答案】D

【分析】由x£(0,2e),|x—dlnxKe得x--—<a<x+—,g(x}=x+—,h(x)=x---,

InxInxInxInx

利用导函数求最小值、最大值即可.

【详解】当X£((M］时，InxWO,不等式显然成立；

当x£(1,2e)时，lx-6f|ln.¥<e<=>x----KaKxM----,

InxInx

2

令g(x)=x+jg'(x)=l-_xlnx-e

x\n2xx\n2x

令p(x)=xln2x-e,则y=p(x)是xe(l,2e)上的增函数旦p(e)=O,

当xe(l,e)时p(x)<0,此时g(x)递减，xw(e,2e)时,p(x)>0此时g(x)递增.

故g(x)的最小值为g(e)=2e=a42e,

令&I弋，则W岛>。，

故我(X)是增函数，〃(力的最大值为力(2e)=2e-记点可，^a>2e----^t

综上所述，2e-向4442e,

7.设a=Lb^—,c=3(31n3),()

e2e3

A.c<a<bB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】将“，c变为与人相同的形式，构造函数〃x)=/，通过对函数求导，得到单调性,

判断大小关系.

.43(3-ln3)3-ln3

1Ine,In2ln4c=—~~-=——--

【详解】•••〃b----—ee

24

3

令/(%)=邛，则。=/(e),〃=/(4),c=

1-lnx,当x>e时，r(x)vO,

X

即/("=?在(孰+8)上单调递减.

,；—>4>e,

3

“图<〃4)</(e),

即cvAva.

8.已知〃X),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数,且/(无)+g(x)=e，,若关于X

的不等式2/(x)-ag2(x"0在(O,ln3)上恒成立，则正实数a的取值范围是()

A.£'+00)B.[0,+oo)C.D.(。,£

【答案】C

【分析】由奇偶性求得了(x)，g(x)的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为

公港异'设e、+e--,换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而

可得”的范围.

【详解】因为f(x),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数,〃x)+g(x)=e，①,

所以〃—x)+g(—x)=eT,即/(x)—g(x)=eT②,

联立①②可解得〃X)=£7，g(x)=W;，

/.t_-x\2

所以不等式2/(x)—知2(x)w0可化为e*+e*-a.20,

4(ex+e-x)

因为X£((),ln3),则H>0,故〃4

(eA-e-A)2

<4r_4

设e，+e-，=/，则(e'-eT)2=(e，+eT)2—4=*-4,故"一百=7,

t

因为，=e"+eT,XG(0,ln3),所以r二e“一©-”>0，

故"e'+e-*在(01n3)上是增函数，则与｝

4(10^432-^―>—

又因为y=-2在止2,丁时是增函数，所以0々一则4,8,

tI3Jt15t——

4(e'+e-J)

因为在x«0,ln3)恒成立,所以

C-e-fO

二、多选题

9.定义在(0,+8)上的函数“X)的导函数为了'(X),且r3>与.则对任意当€(0,+0>),

其中为二々，则下列不等式中一定成立的是()

A./(9)</(1)炉B.

C./(西+々)>/(芭)+/(毛)D./(-XI)+/(X2)>T'/(XI)+TL/(X2)

X\X2

【答案】BCD

【分析】构造函数8(犬)=/尸，求出导数，利用已知可得g(x)在(。,也)上单调递增，根据

单调性依次判断每个选项可得.

【详解】由题意可设g(x)=?,则g<x)=

4(x)>、"，)，x>0,

g'(x)>0在(0,+巧上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

对于A：由于炉＞1,所以g（e8）＞g⑴，即/（叫＞四,所以⑴炉，故A不

eA,1

正确；

1（1＞

对于B：由于马+—*2,当且仅当％=1时取等号，所以g马+—Ng（2）,即

刍（x2）

,k2所以々/!\+，卜誓21〃2）,故B正确；

x,+l2I^2）2

2W

对于c：由g&+%）＞ga）得：/（…）＞z（±）,即：十〃%+占）＞/（%），

X,+x2X,西+工2

同理：＞，（与）.

两式相加得：/（%+赴）＞/（%）+/（%）,故c正确；

对于D：/（3）-}〃3）=当歪”3）,4/（幻一/（々）=^

两式相减得：“xj-上"xj-%/（*2）+/（々）=上上/（占）-忙上/（超）

%%2%%2

所以」（再）-5/（占）-今/（*2）+/（*2）＞。，

即fOH"%）咛）（3+（/⑸,故D正确.

10.已知函数/（x）=21nx-a?则下列结论正确的有（）

A.当4=1时，x=l是产/（X）的极值点

B.当时，/（x）＜0恒成立

C.当时，y=〃x）有2个零点

D.若和天是关于x的方程/（£）=0的2个不等实数根，则玉色＞e

【答案】ABD

【分析】对于A,代入。=1后对〃x）求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B,

构造函数8（尤）=号（》＞0）,利用导数求得8（矶3=（，从而可证得〃力＜0：对于C,举

反例排除即可；对于D,利用极值点偏移的证明方法即可证得%F＞e.

【详解】对于A,当a=l时，/(x)=21nx-x2(x>0),则/⑴=2-2犬=社匕」，

XX

令4x)>0,得Ovxvl；令/'(x)<0,得x>l；

所以“X)在(0,1)上单调递增，在(1,一)上单调递减，

所以*=1是y=〃x)的极大值点，故A正确；

对于B,令f(x)=21nx-«v2=0,得@=也？，

2%2

i—x2-2xlnx.

令g(x)=^n(rx>。)，则g，(x)='一=匕O1坐，

(x)x

令g，(x)=O,解得x=6，

故当xe(o,五)，gr(x)>0,g(x)单调递增；当xe(五,E),g'(x)<0,g(x)单调递减；

所以g(xLx=g(五)V,

因为a>L所以故§>与，整理得21nx-―<0,即〃x)<0恒成立，故B正确；

eLzeLx

对于C,令a=0,则〃x)=21nx,令/(x)=0,解得x=l,故y=〃x)只有1个零点，故

C错误；

对于D,因为玉,当是关于x的方程/(力=0的2个不等实数根，

gj21nx「渥=0Jlnx：=ox；

所以彳c2c，卬|2??

21nx2-书=°［lnx2-ax1

所以问题等价于lnr=a有两个零点％出,证明回>e2,

不妨设％%>0，贝IJ由［：%一的得至］Jmy，,

a=

Int2=at2-t2

要证他>e?,只需要证明In/i+lnf?>2,

即只需证明：lnf|+lnf2=aa+G)=a+，2)则」吆>2,

Z1-/2

_2但一］

2(，f2)

只需证明：lnr,-ln/2>］~,即-k

乙+4t2£+)

令〃?=上>1,

只需证明：ln，n>岂竺二。(加>1),

/n+1、)

令s(m)=Inm——~加>1)，

则/(加)=(：1)>0,即s(〃7)在(l,+oo)上单调递增，

〃2(加+1)

乂$6=0,所以s(”?)>s(l)=0,即In加>2('：；)(加>i)恒成立,

综上所述，原不等式成立，即演々>e成立，故D正确.

2

11.已知函数/(x)=e*-5ax3有三个不同的极值点演，巧，与，且士<々<七，则下列结论

正确的是()

2

A.a>—eB.玉v—1

8

C.4为函数/(X)的极大值点D./(x3)<y

【答案】ACD

【分析】由已知可知方程5=2a(xR0)有三个根，然后利用导数讨论g(x)=捺的单调性，

结合图象可判断A、B选项；结合图象分析在演处/(X)的正负，即可得出函数/(x)在々附

近的单调性,即可判断C选项；将=代入/(%),然后利用导数讨论其单调性,由单

调性可判断D选项.

2

【详解】由函数/(x)=e，-§以3有三个不同的极值点/，X。,玉,

只需八x)=e*-2+有三个零点，即方程5=2。(xH0)有三个根，

设函数8⑴斗，则g，(x)=e'(：2),

令g'(x)<0,即0<x<2,；令g'(x)>0,即x<0或x>2,

所以函数g(x)在(田,0)和(2,依)上单调递增，在(0,2)上单调递减,

所以函数g(x)的极小值为g(2)=?,且当x#0时，g(x)>0,

即函数f(x)有三个不同的极

值点，故A正确；

对于B,观察图象可知为>T,故B不正确;

对于C,由图象可知,当0<xv巧时,g(x)=1>2a,BPf'^xj=ex-2ax2>0,

当W<x<2时，g(x)=\<2a,即/'(x)=e*-2or2<0,

所以函数/(x)在(0,々)上单调递增，在(移2)上单调递减,

所以演为函数"X)的极大值点，故C正确：

对于D,由g(w)=『=2a,即〃X3)=e

令夕(x)=(l_：卜，xe(2,+oo),

则“(X)=—e<0,故函数8(X)在(2,+8)上单调递减，

2

故S(天)=/(七)<夕⑵=],故D正确.

12.已知函数/(力=加-"+8-*,g(x)=：+lnx,当xe[l,+e)时，/(x)2g(x)恒成立,

则实数〃的可能取值为()

A.—B.0C.!D.2

22

【答案】CD

【分析】原不等式转化为工€[1,y)时，Mx)=ar2-a+ei-g-lnxN0恒成立，

只需证明X21时，〃(x)20恒成立，对力(外求导得〃'(力=2以-/'+!-%则”(l)=2a—l,

分别讨论和aN；,即可求解.

【详解】由题意得：xe[l,+8)时，奴2-。+3"wj+inx恒成立，

即xe[1,+8)时，cu?-“+eI一•！-]nx20恒成立，

^h(x)=ax2-a+e'"'---Inx(x>l),则〃⑴=0,,

所以x21时，〃(力20恒成立.

乂〃'(x)=2ar-ei+5-J则”(l)=2a—1,

①a<；时，"(1)=24-1<0,

设%>1,存在工叩,天>)时，厅(x)<0,即//(%)在口,％)上是减函数,

此时，/；(x)<A(l)=0,不满足题意；

②aNg时，4卜2-1)之312-1)在xe[l,+8)上恒成立，

所以/?(x)=ax2-a+e1-A---\nx=a^x1-l)+e1*A---lnx>-1)+eHx---Inxit

xe[l,+8)上恒成立，

设F(x)=g(x2-l)+ei-'-lnx(xe[l,+a>)),gpF(l)=0,

贝l]尸'(司=工_8-*+5―/,

令f(x)=e*T-x(x>l),则，(x)=e，T—l,

当时，(x)NO,所以f(x)在[1,W)上是增函数,

则x21时，r(x)>/(l)=e'-|-l=0,

即x21时，e,i2x=x21时，一^4—,

ex

所以x21时，e'-x<-.

X

n"厂，/\ill、11112

XXXXTXXX

又时，力0<一"KI,\/x—120,

X

所以X+3二N2,/rZ_2=2二=2(6TWo,当且仅当x=l时等号成立，

故时，F,(.r)=x-e'-x+-4--+-Y--=X+^--—>0.

%"XXX'XXX

所以尸(x)在[1,M)上是增函数，

则尸(X)之尸(1)=。

所以“2；时，/?(x)>F(x)>0^[1,+«>)上恒成立.

综上，42；时，y(x)2g(x)在xe[l,y)恒成立，

三、填空题

13.如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象：

①函数f(x)在区间(1,3)上严格递减；

②川)<〃2)；

③函数fM在x=1处取极大值；

④函数〃x)在区间(-2,5)内有两个极小值点.

则上述说法正确的是.

【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的

大小，判断出正确答案.

【详解】由导函数y=f(x)的图象可知：函数/(X)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，

故〃1)<〃2),故①错误,②正确;

由导函数的图象可知：f(x)在(-1,2)匕均单调递增，故x=l不是函数的极大值点，③错误;

由导函数图象可得:在区间(-2,5)内有/'(-1)=/'(4)=0,且在(-2,-1)与(3,4)上导函数小

于0,在(一L0)和(4,5)上导函数大于0,

故彳=_1和x=4为函数的两个极小值点，故在区间(-2,5)内有两个极小值点，④正确.

14.若函数〃幻=2X3-3f+c的极小值为5,那么。的值为.

【答案】6

【分析】对函数求导，再求函数的单调区间与极小值即可.

【详解】/(x)=2/-3尤2+c,f\x)=6x2-6x=6x(x-1),

令;(%)=0,解得％=0或x=l,

当x<0或x>1时，f'(x)>0,当0cx<1时,f\x)<0,

.•J(x)在(7,0)和(1,+oo)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

.,・当尤=1时，f(x)取得极小值，

极小值为/⑴=2-3+C=5,解得C=6.

15.方程d-3x+a=0在xe[-2,w)上有三个不同的实根，则实数。的取值范围是.

【答案】(一2,2)

【分析】方程d—3x+a=0在》«-2,依)匕有三个不同的实根，则y与g(x)=—d+3x有

3个不同的交点，利用导数研究函数g(x)=-/+3x的单调性，作出图象，即可求解

【详解】由d-3x+a=0得a=-x，+3x,

令g(x)=_f+3x,

则g，(x)=-3/+3,

令g[x)>0,解得一1cx<1,

令g[x)<0,解得x<-1或x〉l,

所以g(x)在上递减,在上递增,在(1,y)上递减,

所以在x=-l处取得极小值，且为g(-l)=-2；

在x=l处取得极大值，且为g⑴=2；

画出g(x)的大致图像如下：

方程V一3x+a=0在xe[-2,+<»)上有三个不同的实根,

贝！]y=a与g(x)=-%3+3x有3个不同的交点，

由图象可知实数。的取值范围是(-2,2)

16.函数/(x)的定义域为(7,+<»),其导函数为/'(x),=/(--*■)-2sinx,且当x20

时，f'(x)>-cosx,贝I」不等式/(x+］)>f(x)+sinx-cosx的解集为.

【答案】［全内)

【分析】构造〃(x)=f(x)+sinx,得到其在R上为偶函数，且/l(x)在［0,+功上单调递增，

•/(x+，)>/(x)+sinx-cosx变形得到八1+升碎)，从而得到x+^>|x|,求出答案.

【详解】令〃(x)=/(x)+sinx,贝lj〃(一x)=/(—x)-sinx,

又/(x)=/(-x)-2sinX,所以得/(X)+sinA-=/(-x)-sinx,

即〃(-%)=〃(力，所以力(同为R上的偶函数，

又％N0时,“(X)=((x)+cosx>0,所以〃(X)在[0,+>)上单调递增,

乂为R上的偶函数，所以Mx)在(F,0］上单调递减,

由工呜>/(x)+sinx-COSX,得+]+cosx>/(x)+sinx,

所以/卜+以+如卜+］>/(x)+sinx,

即小+生近),所以得X+牛此解得：x>~,

72)24

所以不等式/卜+/)>〃力+$出》-8$》的解集为(-：,+8).

四、解答题

17.已知函数/(X)=-X3-3X2+9X+3.

⑴求f(x)的极值；

⑵求,X)在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的

极值即可；

(2)根据函数的单调性以及极值，结合/(-2),/(2)的值，求出函数的最值即可.

【详解】(1):/(x)=—%3—3f+9x+3,

/'(x)=-3x2—6x+9=—3(x+3)(x-l),

令r(x)>0,解得—3<X<1,令/'(x)<0,解得X>1或x<—3,

故/(x)在(-8,-3)递减,在(-3,1)递增,在(1,物)递减，

故/⑴的极大值是〃1)=8,极小值是“-3)=-24：

⑵令尸(x)=-3x2-6x+9=-3(x+3)(x—1)=0,得x=-3(舍)或x=l,

当xw（—2,1）时，r（x）＞0,所以"X）在xw（—2,1）时单调递增,

当xw（l,2）时尸（力＜。所以Ax）在xe（l,2）时单调递减，

又〃一2）=—19,〃2）=1,41）=8；

即函数/（x）在区间［-2,2］上的最大值为8,最小值为T9.

18.己知函数/（犬）=/-/-*+2.

⑴求曲线Ax）在点（2,/（2））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间.

【答案】（l）7x-y-10=0

（2）递增区间为（-8,-；）,（1,+«））；递减区间为F1）

【分析】（1）求出函数的导函数，再求得/'（2）=7与/（2）=4,利用点斜式可求得曲线/（%）在

点（2,/（2））处的切线方程；

（2）由r（x）=3f—2x—l=（x—l）（3x+l）,利用导函数/'（X）与函数/*）的单调性的关系可

得答案.

【详解】（1）/（X）=X3-X2-X+2,

=3x2-2x-1=（x-l）（3x+1）,

.-r（2）=7,又"2）=4,

••・曲线/（x）在点（2J（2））处的切线方程为y-4=7（x-2）,

B［J7x-y-10=0；

（2）/f（x）=3x2-2x-l=（x-l）（3x+l）,

.•.当=时，r（x）＞0,当时，r（x）＜0,

•,./。）在（7,-；）,（1,田＞）上单调递增，在［;,1）上单调递减.

的递增区间为s，T）,—递减区间为

19.己知函数/。）=4奴2+2inx-3（aeR）.

⑴讨论函数/（x）的单调性；

（2）若。为整数，且〃可＜2犬111》+2恒成立，求。的最大值.

【分析】（1）求出函数的定义域和尸（x）,分情况讨论a20和〃＜0,即可得到函数的单调性；

(2)不等式/(x)<2dlnx+2恒成立，可转化为"殍-获+*在(0,+8)上恒成立，令

g(x)=殍-券+白，则只需a〈g(xL,即可.求出g'(x)，根据导函数求出最值即可.本题

中，因为g'(x)=0不好求解，两次求导得到导函数单调性，转化为隐零点问题，得到

切e(2,g),使得g'(%)=0,逐步得到0<g(W<l,从而求得。的最大值.

9

【详解】(1)/。)=4以2+21nx-3的定义域为{x|x>0},fr(x)=Sax+-.

当。20时，>0,则/(x)=4ax2+21nx-3在(0,+e)上单调递增；

当a<0时，解/'(x)=o,即8or+：=0,得工=士;旧(舍去负值)；

91，所以“X)在(0［栏)上单调递增；解

解盟x)>0,即8ar+*>0,W0<x<-

x2

r(x)<0,即86+：<0,得所以〃x)在;J-/，+8上单调递减.

综上所述，当aNO时,/(1)=4加+21n为-3在(0,+8)上单调递增；当"0时,/(x)在

上单调递增,在+℃>上单调递减.

(2)由已知可得,4af+21nx-3〈2门1+2恒成立，x>0,

即〃〈^^一^^+^^在他+⑹上恒成立.

令g(x)=殍-自+京，则只需avgG).即可.

I--2x2-4xlnxq

x2+21nx-6

g'(x)=----------o----2x--=

㈠2x画)24x32x3

令〃(力=寸+21门-6,〃'(x)=2x+：>0在(0,+s)上恒成立，所以/i(x)单调递增.

且M2)=4+21n2-6=21n2-2<0,h+21n--6=-+21n->0

(泊242

所以，叫使得力(毛)=0,且当0cx<毛时，/z(x)<0,当x>x()时，/?(x)>0.

即加421)，使得8'(不)=0,且当0<x<x°时，g'(x)<0,g(x)在(0,%)上单调递减;

当x>x0时,gz(x)>0,g(x)在(%,«»)上单调递增.

所以，8(力=学-普+=在x=x。处取得唯一极小值，也是最小值.

22x4广

又g'(%)=转竽4=0,则inx°=3-4.

2

所以

令制力=-；卜+!卜(，/=/,&«)=,+；,f>i,

则==当r>i时，r(r)>0,

所以，&(/)=/+；在(1,y)上单调递增，

从而加(X)=-；k+/■]+(在(l,+=o)上单调递减，则，”图<根(%)<加2),

又加2)=-3卜+另+〉巳<1254

一十一

4254400

所以0cm所以0<g(为)<1.

又。为整数，4<g(%)，所以。的最大值为0.

20.己知函数/(x)=lnx-ox+b在x=l处的极值是2,a,h&R.

(1)求。，力的值；

⑵函数g(x)=/(x)-&有两个零点，求人的取值范围.

【分析】(1)根据函数/(x)=lnx-ax+匕在x=l处的极值是2,联立解方程组得到a=l"=3,

代入f(x)检验即可确定。，b的值;

(2)将问题转化为对数函数/x)=lnx与一次函数Q(x)=x-3+无有两个交点，画出两个函

数的图象，数形结合分析即可.

【详解】(1)因为/(x)=lnx-奴+6,所以尸(x)=g-a,

又函数f(x)=lnx-ar+b在x=l处的极值是2,

/⑴=2-a+h=[a=\

所以《,解得k

J()=0'\-a=

1]-T

检验：故/(x)=lnx-x+3(x>0),/,(x)=--l=——,

令广(力<0,得x>l；令第x)>0,得0<x<l；

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,m)上单调递减，

所以在x=l取得极大值，且极大值为了⑴=2,

所以。=l,b=3

(2)g(x)=/(x)—左=lnx-x+3-,令g(%)=(),得ln%=x-3+A,

令〃(元)=Inx,Q(x)=x-3+k(Q(x)的斜率恒为1),

所以=j当X=1时，"⑴=1,

又妆1)=如1=0,所以在x=i处的切线为y=x-i，

所以当&=2时，Q(x)=x-1为〃(x)在x=l处的切线，此时，Q(X)与〃(X)有一个零点，如图,

要使g(x)有两个零点，即Q(x)与枚)有两个交点，

所以Q(x)比与h(x)相切时的位置还要向下平移，

又因为Q(x)与〃(x)相切时，k=2,

所以％<2,即%€(-8,2).

21.已知函数/(x)=lnx—or(a为实数).

(1)求函数/(X)的单调区间；

2

(2)若存在两个不相等的正数、，巧满足/(%,)=/(&),求证玉+七>,.

⑶若“X)有两个零点七，々，证明：白+乙>2.

Ill।111-I)

【分析】(1)讨论/'(X)的正负，确定/(X)的单调区间；

⑵极值点偏移问题处理：不妨设0"/<%2,构造/(*)=/5)-/(“劝并证得工€(±2)

aaaa

时，F(x)>0,可得/⑷>〃/2一不)即/(石)>/(2士一巧),再利用人幻的单调性可得为与2--占

aaa

大小关系，从而证得结论.

[inx-ax,=0_11,_M

(3)由《八两式相减用药,工2表示。，将——化为只有的关系式，令y=才

[\nx2-ax2=0InXjlnx2x}

可转化为只有一个变量，的函数，可得结论.

【详解】(1)f'M=--a=-,

XX

当aWO时，/(X)之。恒成立，・•・/(x)在(0,+8)上递增；

当a〉0时令/(%)>0=>0<x<—；/V)<0=>x>-

aa

增区间为(o-)，减区间为d,+8).

aa

(2)当aVO时，人力在(0,+8)上递增，=与题意矛盾，,。〉。

222

令尸(x)=f(x)-/(——x)=\nx-ax-ln(——尤)+a(——x)

aaa

2i12«(x--)2

=Inx-ln(—x)-2izx+2,F\x)=—F—-------2a=-----———20

ax22.

・••尸㈤在(0,2)上递增,又因为X,时，F(-)=0,

aaa

]1?

zjX€(0,—)时，尸(x)<。；xG(—,—)时，/(％)>。

aaa

"da>0时〃x)在(0,-)上递增，d,+a>)上递减西,々必有一个在(0,-)±,一个在(-,+00)±,

aaaci

不妨设0<%<」<X2,

a

若％,>三2则%+%>?2显然成立；

a~a

若一〈X2V—，由xw(—，—)时,若")>0知/(%)—/(x)>0.Q|J/(x,)>/(—x)

aaaaa2a2

又'f(^)=f(^2)，*'-f(X1)>/(--)

a

又•.X，2-X,€(0,3J(X)在(0,3上递增，则占>2-X2即与+兑>2证毕.

aaaaa

In-ax1=0

(3)不妨设0＜玉＜W，由,可得In第一In%=a(x)-xj

Inx2-ax2=0

1-x.

即厂内嬴

+—--2=—+---2=(—+—)-2

lnx2lnx)ax2axxlnx2-In^^x2

上』_21n当

~士-------2，设三=/>1,则]n强>0,A_21n^-=/-l-21nz

In强不占斗马为t

设g⑺则g'd卡>0

即函数gQ)在(1,3)卜一是单调增函数，，gQ)>g⑴=0

11c

即记+记>2得证

22.设。20,函数/(x)=(x+l)Inx+(〃-2)x+2.

⑴求证：/(幻存在唯一零点迎；

⑵在(1)的结论下，若X1+“=sinX］,求证：X!-lnx0<0.

【分析】(1