高中数学：1-式的运算

第一课时式的运算

必备的乘法公式：

(1)平方差公式(a+b){a-b}=a2-b2；

(2)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.

(3)立方和公式(a+b)(a2-4。+/)="+/；

(4)立方差公式(a-Z?)(67"+ah+h~)—t7—；

(5)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

可推广：

(6)两数和立方公式(a+/?)3=a}+301b+3abi+b3；

(7)两数差立方公式(a—b)'=/—3ci~b+3ctb~—b'

整式的运算：

例1.化简

、/11、/12112、

(1)(4+m)(16-4/«+1”？)=(2)(—m—n)(—m'd---mn+—n~)

5225104

(3)(X+1)(%—l)(x?-X+l)(x-+X+1)(4)(a+2)(n-2)(a4+4«2+16)=

(5)(a-4Z?)(—a2+4b2+ab)=(6)(/+2xy+y2)(x2-xy+y2)2=

4

(7)(a+b\a2-ab+b2)-(a+by=

(8)(a+2b—c)~=a~+4/2~+c"+().(9)(x-3y-4z)2

(10)已知a+Z?+c=4,ab+bc+ac=4,求。2+〃+/的值

2.因式分解

(1)-27X3+8(3)」p3_J_/

864

(4)2b2c2+2c2a2+2a2b2-a4-b4-c4

例2.整体求解.

(1)己知”=~1-X+20,/?=LX+19,C=LX+21，求a?+82+/一。。一。。一。。的值.

202020

⑵已知——3x+l=0,求/+二的值.

X

(3)已知a+。+c=0,求«(—+—)+Z?(—+—)+c(—+,)的值.

bccaab

引申：探求并证明：a3+/-3abc=(o+Z?+c)(。2+b2+c2-ab-bc-cd)

(4).计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

二.分式的运算

/1、2+g

例1.(1)设了=----=,求/+/的值.

2-V3

(2).设x=——,y=7?~,求代数式'+的值.

V3-2<3+2x+>

(3)当3"—2〃=0(4/01#0),求+」的值.

baab

练习：(i)若工工=2,则±=

x+y3y

(2)正数x,y满足/一丁二？9,求三二上的值.

x+y

22

(3)设e=£,且e>l,2c—5ac+2a=0f求e的值.

a

(4)解方程2(%2+二)-3(l+,)-1=0.

X'X

I1

例2(1)试证：--(其中〃是正整数);

〃("+1)n〃+1

/、31111

(2)计算：-----1------1------F...H-----

1x22x33x499x100

有W-11

(3)证明：对任意大于1的正整数〃,-------<一

2x33x4〃(几+1)2

111

练习:(1).对任意的正整数小.(—〃+2)'

n(n+2)n

、》1111

(2).计算：----1-------1------F…-I----

1x32x43x59x11

1II

(3).试证：对任意的正整数〃，有--------1--------F,••d<4'

1x2x32x3x4-----〃(〃+1)(〃+2)

(/4、)----1-----1-------1------1-----1----1-----1---------1-------

1+V2V2+V3V3+V4V99+V100

三.根式的运算一V=•"AV4--1.AV=1----

1.式子6(a20)叫做二次根式，其性质如下：(1)(&y=a(aN0)(2)"=|〃|

(3)y/ab=\[a-4b(a>0,b>0)(4)产子(“>(),/,加)

2.。的〃次方根的概念

一般地，如果一个数的〃次方等于。(〃>l,〃wN*),那么这个数叫做。的〃次方根,

即：若x"=a,则x叫做。的〃次方根，(〃>l,〃eN*)

说明：①若〃是奇数，则。的〃次方根记作后；若。>0则板>0,若。<。则

'4a<0；

②若n是偶数,且a〉0则。的正的〃次方根记作后，a的负的〃次方根，记作:

一五'；(例如：8的平方根土我=±2痣16的4次方根±折4=±2)

③若〃是偶数，且a<0则也没意义，即负数没有偶次方根：

④=0(〃>l,〃eN*)Vo=0；

⑤式子后叫根式，〃叫根指数，a叫被开方数。.•.(标)"=a.

3.。的〃次方根的性质

一般地，若〃是奇数，则行=a；若”是偶数，则^7二回二」(，a~Q

[―Qa<0

练习:已知/=5,则x=()A、±/B、-乖C、强D.+V5

___/_2"

例1(1).若QVO,则|a|++"=.

(2)#(-8)3(3)J(-10)2(4)V(3-^r)4(5)&-4

(6)已知a<bvO,几>1,几£N*,化简：q(a-b)〃+《(〃+”

例2.计算：(1)15-2^/^+-4-\/3-，6-.(2)Jx?—0—2(0<x<1)

2,-2n

(3)若y[xH--j==3求^~的值。

VX

x----2

X

例3.比较各组值的大小(1)屈—jn和JTT—J16；(2)-3—和20一遥.

V6+4

练习1.化简：(1)§,9"?+-2'"J；Q)『I-2}‘+J；'](%>j>0)

(3)㈠巴一的痂+巴理”a2b22(4)(2+同8(2一村9=

VmmmvnVrn

(5)(---^)2x(7—4-\/3)+8+4\后⑹已知：x——,y=一,求r—^I——r~^r-7

2-V32-3«+6

2.⑴若J(l-a)2+J(l+a)2=2,则。的取值范围是；

(2)若d-a—b—2slab=\]—b—J—a，则()

(A)a<h(B)a>h(C)a<b<0(D)b<a<0

门等于

(3)计算。()(A)yj—u(B)\[u(C)—J——(D)

4.