高中数学课时检测22函数的最大小值苏教版必修第一册

函数的最大(小)值

［A级基础巩固］

1.函数f(x)=3'7'的最大值为()

、一x+2,1

A.1B.2

11

C--

2D.3

解析：选B当时，函数F(x)=，为减函数，此时F(x)在x=l处取得最大值，最

x

大值为『(1)=1;当木1时，函数/<x)=一丁+2在x=0处取得最大值，最大值为『(0)=

2.综上可得，/(x)的最大值为2,故选B.

2.(2021•聊城高一检测)已知函数尸3(20)在［3,8］上的最大值为1,则“的值

X-L

为()

A.1B.-6

C.1或一6D.6

解析：选A当次〉0时，函数在［3,8］上单调递减，•.•函数在［3,8］上的最大

、，k

值为1,•••—=1，，4=1;

当K0时，函数/=占在［3,8］上单调递增，•.•函数在［3,8］上的最大值为1,...上

=1,...4=6(舍去).故选A.

3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)

分别为£户一3+2哀和〃=2*若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()

A.90万元B.60万元

C.120万元D.120.25万元

解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15—x)辆，公司获利为£=一f

+21x+2(15—x)

(19\2192

——x+19^r+30=—\x—~\+30+-^-,

・••当x=9或10时，£最大为120万元.

—x-\~a,

4.设f(x)=,1若H0)是广(x)的最小值，则实数a的取值范围是()

x+一，x〉0,

A.(―0°,2]B.(―°°,2)

C.(2,+8)D.[2,+8)

解析：选A由题意，当x〉0时，f(x)的最小值为/■⑴=2；当K0时，f(x)的最小值

为为0)=a.若为0)是为x)的最小值,则aW2.

5.当0WV2时，a<—f+2x恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(―0°,1]B.(―0°,0]

C.(—8,o)D.(0,+8)

解析：选Ca〈一I+2x恒成立，则a小于函数/'(x)=-x?+2x,xe[0,2]的最小值,

ffl]f{x)=~x+2x,xG[0,2]的最小值为0,故a〈0.

6.函数y=—Lxe[—3,—1]的最大值与最小值的差是.

X

解析：易证函数尸」在[-3,—1]上为增函数，所以%in=],%ax=l,所以％ax—"Tmin

12

-1---

X-33

Fe2

答案：2

7.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],若函数，(㈤在区间[—4,—2]上单调递减，在

区间(-2,6]上单调递增，且A-4XA6),则函数f(x)的最小值是，最大值是

解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)a=f(—2),r(x)皿x=f(6).

答案：?(一2)r(6)

8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),

则其边长x为m.

解析：设矩形花园的宽为乃则4=%=即尸40—x,矩形花园的面积S=x(40—

x)——X+40^=—(^―20)2+400,其中(0,40),故当x=20m时，面积最大.

答案:20

9.(2021•淮安市高一质检)已知函数f{x}—x—2ax—l+a,a£R.

⑴若a=2,试求函数尸」^(x〉0)的最小值；

X

(2)对于任意的xe{x|0W点2},不等式F(x)Wa恒成立，试求a的取值范围.

M入F(x)x—4^r+l।1

解：⑴依意忌倚y=^^=—「=x+^—4.

因为x>。，所以x+92.

当且仅当T即x=l时，等号成立.

-F(¥)

故当x=l时，尸二^的最小值为一2.

X

(2)因为f(x)—a=x?—2ax—1,所以要使得“任意的xe{x|0WH2},不等式f(x)Wa

成立”，只要“f—2ax—1W0在0WA2上恒成立”.

不妨设g(x)=/—2a^—1,

则只要g(x)WO在0W忘2上恒成立.

b(0)wo,fo-o-i^o,

所以即

[g(2)W0,〔4—4a—1W0,

解得a2]

所以a的取值范围是*+8).

10.(2021•宿迁市高一月考)已知函数f(x)=-x?+2ax—2a+6,且f(l)=0.

(1)若f(x)在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围;

(2)若/Xx)在区间(2,3)上有零点，求实数a的取值范围；

(3)若/tx)在[0,3]上的最大值是2,求实数a的值.

解：(1)由题意，f(x)图象开口向下，对称轴为直线x=a,

又/<x)在区间(2,3)上为单调函数，

当f(x)在区间(2,3)上为单调增函数时，a》3；

当/<x)在区间(2,3)上为单调减函数时，aW2,

综上实数a的取值范围是a23或aW2.

⑵由f⑴=0,得b=1.

又/<x)在区间(2,3)上有零点，且/<x)的一个零点是1((2,3),

f(2)>0,[2a-3>0,3

所以=4=^>-<a<2.

f(3)<0[4a-8<02

(3)f{x)=-x-\-2ax—2a+l,对称轴为才=2.

1

贝na---

①当aWO时，广(x)max=_f(O)=—2女+1=2,J2

②当0〈水3时,f(x)max=f(a)=3—2己+1=2,则司=1+4，或司=1一姆(舍去);

5

③当a23时，f{x)^=f&)=4a—8=2,则a=](舍去);

综上，a=-]或a=1+^2.

［B级综合运用］

［/,xRM,

11.(多选)已知函数f(x)=2其中弘”为非空集合，且满足加J-R,则下

〔半，x&N,

列结论中不正确的是()

A.函数/'(x)一定存在最大值

B.函数/1(x)一定存在最小值

C.函数/'(x)一定不存在最大值

D.函数/1(x)一定不存在最小值

［X,xdM,

解析：选ABD♦.•函数『(x)=.其中弘N为非空集合，且满足J/ueR,

［*,xGN,

若〃=(0,+8),N=(—8,0］,则/1(x)的最小值为0,故D错误；若〃=(—8,0),N

=［0,+8),则f(x)无最小值，故B错误；由机J4R,可得图象无限上升，则/Xx)无最

大值，故A错误，C正确.

12.若函数f(x)=x?+ax+6在区间［0,1］上的最大值是弘最小值是加，则也一加()

A.与a有关，且与6有关

B.与a有关，但与6无关

C.与a无关，且与6无关

D.与a无关，但与6有关

解析:选Bf(x)=(x+._.+/>,①当0W-界1时,f{x)min=/Z7=1^=—4"+b,

r22］

f(x)max=4max{/*(0),_f(l)}=max{6,1+a+b\,故人勿=max，1,l+a+*与a有关，

与6无关；②当一时，F(x)在［0,1］上单调递增，故尸0=『(1)—F(0)=l+a,与a

有关，与6无关；③当一步1时，F(x)在［0,1］上单调递减，故〃一〃=f(0)—f(l)=—1—a,

与a有关，与6无关.综上所述，M—m与a有关,但与6无关.

13.已知函数/•(x)=V+ax+2(a〉0)在区间［0,2］上的最大值等于8,则a=,

函数尸F(x)在区间［—2,1］上的值域为.

解析：由题知函数f(角图象的对称轴为直线1<0,故f(x)max=f(2)=6+2片8,

(1、271

所以a=l,贝!Jf(x)=x+x+2=\x+-\+-因为f(x)的对称轴为直线x=--^[~2f1]

且(一m=:，H—2)=4,rd)=4,所以所求值域为3,4

"7'

答案：1I，4

14.现有三个条件：①对任意的xdR都有f(x+l)—f(x)=2x—2；②不等式f(x)<0

的解集为{x[l<x<2}；③函数y=f(x)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两

个补充到下面的问题中，并求解.

已知二次函数f(x)=a/+fe+cWO),且满足(填所选条件的序号).

(1)求函数/<x)的解析式；

(2)设g(x)=f(x)—/x,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数0的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：(1)条件①：因为/1(x)=a/+6x+c(a#0),

所以f(x+l)—f{x)=a(x+l”+6(x+l)+c—{ax+bx-\~c)=2ax-\-a-\-b=2x~2,

即2(a—1)x+a+6+2=0对任意的x恒成立,

a~1=0,a=l,

所以解得

a+6+2=0,b=—3.

条件②：因为不等式f加<0的解集为{引1<^<2},

所以<解得°且a>0,

lxz—二，[c=2a,

a

(a+6+c=0,

条件③：函数尸Ax)的图象过点(3,2),所以9a+36+c=2.

若选择条件①②：则a=l,b=—3,c=2,止匕时F(x)=x?—3x+2；

若选择条件①③：贝！Ja=l,b=—3,c=2,止匕时_f(x)=*—3x+2；

若选择条件②③：则a=l,b=—3,c=2,止匕时_f(x)=/—3x+2.

(2)由(1)知g(x)=x—E+3)x+2,其对称轴为万=竺?，

①当一^―W1,即/W—1时，g(x)min=g(l)=3—(勿+3)=—%=3,解得力=一3,

②当即/时，g{x}min=^(2)=6—(2/z?+6)=—3,解得/=一"|(舍),

③当1〈甘^〈2,即一1＜勿＜1时，g(x)min=-9^=一(勿;3)+2=3,无解.

综上所述，所求实数R的值为一3.

[C级拓展探究]

15.请先阅读下列材料，然后回答问题：

对于问题“已知函数下,问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在,

求出最大值或最小值；若不存在，说明理由"，一个同学给出了如下解答：令u=3+2x—

X,则〃=一(x—l)?+4,当X=1时，〃有最大值，〃max=4,显然〃没有最小值.

故当x=l时，/<x)有最小值没有最大值.

(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；

2

(2)试研究函数y=.+x+2的最值情况;

(3)对于函数fix)=1^"-(a〉0),试研究其最值情况.

ax十bx~\~c

解:⑴不正确.没有考虑到〃还可以小于0.正确解答如下：令u=3+2x—总则尸

一(x—1)2+444,易知〃#0,

当0〈〃W4时，上*,即广(x)*；

u44

当z/<0时，—<0,即f{x)<0.

u

:爪分<0或广(才)2,,即广(x)既无最大值，也无最小值.

(1、2778

⑵・.32+才+2=卜+3/.0<j<y,

工函数P=Y+：+2的最大值为，(当工=一%寸取到),而无最小值•

(3)对于函数f{x)=~~I_(a>0),令〃=al+bx+c,