高中数学选修2-2导学案

§1、1、1函数得平均变化率导学案

【学习要求】

L理解并掌握平均变化率得概念.

2.会求函数在指定区间上得平均变化率.

3.能利用平均变化率解决或说明生活中得一些实际问题.

【学法指导】

从山坡得平缓与陡峭程度理解函数得平均变化率，也可以从图象上数形结合瞧平均变化率得几何意义、

【知识要点】

1.函数得平均变化率:已知函数y=fix),x0,xi就是其定义域内不同得两点，记Ax=，△丁=为一%=/(七)

二Axo)=，则当A#0时，商=叫做函数在即到刖+Ax之间得.

2.函数y=/(x)得平均变化率得几何意义:那=

表示函数y=«x)图象上过两点(为於1)),(冗2於2))得割线得、

【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样得感觉:当山坡平缓时，步履轻盈;当山坡陡峭时，气喘吁吁.怎样用数学反映

山坡得平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化得观点来研究这个问题.

探究点一函数得平均变化率

问题1如何用数学反映曲线得“陡峭”程度？

问题2什么就是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1某婴儿从出生到第12个月得体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个

月该婴儿体重得平均变化率.

问题3平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1如图就是函数y=/(x)得图象，则：

(1)函数1x)在区间[—1,1]上得平均变化率为;

(2)函数式x)在区间[0,2]上得平均变化率为.

探究点二求函数得平均变化率

例2已知函数1x)=f,分别计算八犬)在下列区间上得平均变化率：

(1)[1,3]；(2)[1,2];(3)[1,K1];(4)[1,K001],

跟踪训练2分别求函数五元)=1-3了在自变量x从。变到1与从小变到洋")时得平均变化率.

问题一次函数〉=日+仇原0)在区间[九M上得平均变化率有什么特点？

探究点三平均变化率得应用

例3甲、乙两人走过得路程S1⑺,S2(r)与时间r得关系如图，试比较两人得平均速度哪个大？

跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元,如何比较与评价甲、乙两人得经营成

果？

【当堂检测】

1.函数八X)=5—3尤2在区间［1,2］上得平均变化率为

2.一物体得运动方程就是s=3+2f,则在［2,2、1］这段时间内得平均速度为

3.甲、乙两厂污水得排放量W与时间f得关系如图所示,治污效果较好得就是.

【课堂小结】

L函数得平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化得快慢;平均变化率得几何意义就是曲线割线得斜

率，在实际问题中表示事物变化得快慢.

2.求函数兀0得平均变化率得步骤：

(1)求函数值得增量Ay=/(X2)—/(Xi);

(2)计算平均变化率表=、

【拓展提高】

1.设函数，当自变量由改变到时，函数得改变量为()

A.B.C.D.

2.质点运动动规律，则在时间中，相应得平均速度为()

A.B.C.D.

【教学反思】

§1、1、2瞬时速度与导数导学案

【学习要求】

1.掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义.

2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率.

3.理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法.

4.理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数.

【学法指导】

导数就是研究函数得有力工具，要认真理解平均变化率与瞬时变化率得关系，体会无限逼近得思想;可以

从物理意义,几何意义多角度理解导数、

【知识要点】

1.瞬时速度:我们把物体在某一时刻得速度称为.

设物体运动路程与时间得关系就是s=s(f),物体在历时刻得瞬时速度V就就是运动物体在力到力+加这段时

间内得平均变化率，当加-0时得极限，即v=lim77=

A/->01

2.瞬时变化率:一般地，函数>=/(尤)在x0处得瞬时变化率就是lim氏=、

3.导数得概念:一般地，函数y=/U）在沏处得瞬时变化率就是，我们称它为函数y=/（x）在x

包=

=x处得，记为，即/

0(%o)=lim△x

Ax—O

4.导函数:如果加0在开区间（a,b）内每一点尤都就是可导得，则称兀0在区间（a,b）.这样，对开区间（a力）内

每个值羽都对应一个确定得导数,于就是在区间（。力）内，构成一个新得函数，把这个函数称为函数y=/（x）

得.

记为或<（或VJ导函数通常简称为

【问题探究】

探究点一瞬时速度

问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面得高度〃（单位:）与起跳后得时间《单位:s）存在函数关系h{f}

=-4、9*+6、5/+10>如何用运动员在某些时间段内得平均速度石粗略地描述其运动状态？

问题2物体得平均速度能否精确反映它得运动状态？

问题3如何描述物体在某一时刻得运动状态？

例1火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到100、试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?

问题4火箭向上速度变为0,意味着什么？您能求出此火箭熄火后上升得最大高度吗？

跟踪训练1质点M按规律s«）=af2+i做直线运动（位移单位:，时间单位：）.若质点M在f=2时得瞬时速度

为8,求常数a得值.

探究点二导数

问题1从平均速度当2-0时极限就是瞬时速度，推广到一般得函数方面，我们可以得到什么结论？

问题2导数与瞬时变化率就是什么关系？导数有什么作用？

问题3导函数与函数在一点处得导数有什么关系？

例2利用导数得定义求函数兀0=-在x=2处得导数.

跟踪训练2已知尸危）=五不i求/⑵.

探究点三导数得实际应用

例3—正方形铁板在0℃时,边长为10,加热后铁板会膨胀.当温度为时，边长变为10（1+af）,a为常数，试求铁

板面积对温度得膨胀率.

跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却与加热.如果在第尤时,

原油得温度（单位:）为y=A无）=f—7x+15（04W8）.计算第2与第6时，原油温度得瞬时变化率，并说明它们

得意义.

【当堂检测】

1.函数y=/（x）在％=司处得导数定义中,自变量X在沏处得增量Ax（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不等于0

2.一物体得运动方程就是s=^a为常数），则该物体在t=t0时得瞬时速度就是（）

A.atoB.—atoC.呼击D.2〃/（）

a

3.已知/U)=—f+10,则穴x)在x=5处得瞬时变化率就是()

A.3B.-3C.2D.-2

4.已知函数人尤)=七,则=

【课堂小结】

1.瞬时速度就是平均速度当加一0时得极限值;瞬时变化率就是平均变化率当Ax-0时得极限值.

2.利用导数定义求导数得步骤：

⑴求函数得增量Ay=/(A-O+Ax)~fi.xo);

(2)求平均变化率会；

⑵取极限得导数/'Qo)=lim嗡、

Ax~*0

【拓展提高】

1.()

A.-1B.-2C.-3D.1

2.一质点做直线运动，由始点起经过后得距离为,则速度为零得时刻就是()

A.4末B.8末C.0与8末D.0,4,8末

【教学反思】

§1、1、3导数得几何意义导学案

【学习要求】

1.了解导函数得概念，理解导数得几何意义.

2.会求导函数.

3.根据导数得几何意义，会求曲线上某点处得切线方程.

【学法指导】

前面通过导数得定义已体会到其中蕴涵得逼近思想,本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思

想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲、

【知识要点】

L导数得几何意义

(1)割线斜率与切线斜率

设函数>=/m)得图象如图所示,就是过点A(如加。))与点B(xo+Ax>o+Ax))

得一条割线，此割线得斜率就是言=、

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动,它得最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在

点A处得.于就是，当Ax-0时，割线AB得斜率无限趋向于在点A得切线AD得斜率匕即k==

(2)导数得几何意义

函数y=Ax)在点无0处得导数得几何意义就是曲线y=A尤)在点尸(无0次尤o))处得切线得.也就就是说,

曲线>=危）在点P（Xo次X。））处得切线得斜率就是.相应地，切线方程为.

2.函数得导数

当尤=尤0时/（X0）就是一个确定得数，则当尤变化时，就是尤得一个函数,称就是尤）得导函数（简称导数）.也记

作y，即=y'=_______________

【问题探究】

探究点一导数得几何意义

问题1如图，当点先（招）/（法））（〃=1,2,3,4）沿着曲线五功趋近于点尸（加以顺））时，割线PP”得变化趋势就是什

么？

问题2曲线得切线就是不就是一定与曲线只有一个交点？

例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化得函数川力=—4、源+6、5f+10得图象.根据图象，请描述、

比较曲线/?⑺在/0J1J2附近得变化情况.

跟踪训练1（1）根据例1得图象，描述函数耳⑺在t3与t4附近增（减）以及增（减）快慢得情况.

⑵若函数y=/（x）得导函数在区间m力］上就是增函数，则函数>=兀0在区间口力］上得图象可能就是（）

探究点二求切线得方程

问题1怎样求曲线兀0在点HH/CXO））处得切线方程？

问题2曲线y（x）在点（X。次沏））处得切线与曲线过某点（尤0,比）得切线有何不同？

例2已知曲线y=f,求：

（1）曲线在点尸（1,1）处得切线方程；（2）曲线过点P（3,5）得切线方程.

跟踪训练2已知曲线y=2x?—7,求：

（1）曲线上哪一点得切线平行于直线4x—y—2=0?（2）曲线过点P（3,9）得切线方程.

【当堂检测】

1.已知曲线黄尤）=2?上一点4（2,8）,则点A处得切线斜率为（）

A.4B.16C.8D.2

2.若曲线>=£+办+6在点（0力）处得切线方程就是x—>+1=0,则（）

A.a=l,b=lB.a=—l,b=lC.a=l,b=—1D.a=-l,b=­l

3.已知曲线y=2^+4x在点P处得切线斜率为16,则P点坐标为

【课堂小结】

1.导数/（沏）得几何意义就是曲线y=/U）在点（如^o））处得切线得斜率，即左=lim幽土誓也=

Ax~*O

/（沏）,物理意义就是运动物体在某一时刻得瞬时速度.

2.“函数在点尤o处得导数”就是一个数值，不就是变数，“导函数”就是一个函数，二者有本质得区别,

但又有密切关系/（X。）就是其导数（无）在x=x0处得一个函数值.

3.利用导数求曲线得切线方程，要注意已知点就是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点得切

线方程为y—/(xo)=/(xo)(x—尤0);若已知点不在切线上，则设出切点(xoj/(xo)),表示出切线方程，然后求出切

点、

【拓展提高】

1.已知函数得图象在点处得切线方程就是，则—

2.设为曲线:上得点，且曲线在点处切线倾斜角得取值范围为,则点横坐标得取值范围为

【教学反思】

§1.2、1常数函数与募函数得导数导学案

§1.2、2导数公式表及数学软件得应用导学案

【学习要求】

1.能根据定义求函数＞=。/=羽丫=¥,)；=9得导数.

2.能利用给出得基本初等函数得导数公式求简单函数得导数.

【学法指导】

L利用导数得定义推导简单函数得导数公式，类推一般多项式

函数得导数公式，体会由特殊到一般得思想.通过定义求导数得过程，培养归纳、探求规律得能力,提高学

习兴趣.

2.本节公式就是下面几节课得基础，记准公式就是学好本章内容得关键.记公式时，要注意观察公式之间得联

系.

【知识要点】

1.几个常用函数得导数

原函数导函数

f(.x)=cf«=_

fix)=Xf«=—

式尤)=/f(x)=_

f'w=_____

ft.x)=y[xf______

2.基本初等函数得导数公式

原函数导函数

尸。y'=___

y'=_____

)=以冗>0,///0且〃£Q)y'=______

y=sinxy'=_______

y=cosxy'=_______

y':----------

y=er<=----

y—■,ClV-l,x>0)yr=---------

y=\nxy，:-----

【问题探究】

探究点一求导函数

问题1怎样利用定义求函数>=大尤)得导数？

问题2利用定义求下列常用函数得导数：

(1)y=c;(2)y=尤；(3)y=d；(4)y=*(5»=也、

问题3利用导数得定义可以求函数得导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解

决这个问题？

例1求下列函数得导数：

(l)y=sin1;(2)y=5；⑶尸玄(4)y=编；(5)y=log3x>

跟踪训练1求下列函数得导数：

(l)j=x8；(2)y=(1)x;(3)y=x^x-(4)

探究点二求某一点处得导数

例2判断下列计算就是否正确.

求危)=cosx在处得导数，过程如下住)=卜05凯=—sin畀一半、

跟踪训练2求函数式无)=」-在尤=1处得导数.

羽

探究点三导数公式得综合应用

例3已知直线x—2y—4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点0就是坐标原点，试在抛物线得弧上求

一点P,使得面积最大.

跟踪训练3点尸就是曲线>=色上任意一点，求点P到直线y=x得最小距离.

【当堂检测】

1.给出下列结论：

①若尸点,则y'=一3;②若尸粒则y'=g版③若尸"，则y'=—2/%④若加)=3工则/⑴=3、

其中正确得个数就是()

A.lB.2C.3D.4

2.函数尤)=5,则产(3)等于()

A*B.OC.击D雪

3.设正弦曲线y=sinx上一点尸，以点尸为切点得切线为直线/，则直线/得倾斜角得范围就是()

A.畤U洋㈤B.[0,7C)C.@第D.畤呜，争

4.曲线y=e*在点(2,e2)处得切线与坐标轴所围三角形得面积为

【课堂小结】

L利用常见函数得导数公式可以比较简捷得求出函数得导数,其关键就是牢记与运用好导数公式.解题时,

能认真观察函数得结构特征，积极地进行联想化归.

2.有些函数可先化简再应用公式求导.

如求y=l—2sin2：得导数.因为y=l—2sin2与=cos为所以y'=(cosx)'=-sinx、

3.对于正、余弦函数得导数，一就是注意函数得变化，二就是注意符号得变化、

【拓展提高】

1.若函数/(x)=eXcosx,则此函数得图象在点处得切线得倾斜角为()

A.0°B.锐角C.直角D.钝角

2.曲线尸_?+3/+6%—10得切线中，斜率最小得切线方程为

【教学反思】

§1、2、3导数得四则运算法则(一)导学案

【学习要求】

1.理解函数得与、差、积、商得求导法则.

2.理解求导法则得证明过程，能够综合运用导数公式与导数运算法则求函数得导数.

【学法指导】

应用导数得四则运算法则与己学过得常用函数得导数公式可迅速解决一类简单函数得求导问题.要透

彻理解函数求导法则得结构内涵,注意挖掘知识得内在联系及其规律，通过对知识得重新组合，达到巩固知

识、提升能力得目得、

【知识要点】

导数得运算法则

设两个可导函数分别为负犬)与g(无)

两个函数得

IXx)+g(x)］，=________________

与得导数

两个函数得

氏¥)-g(x)y=_________________

差得导数

两个函数得

=____________________

积得导数

两个函数得

=___________________

商得导数

【问题探究】

探究点一导数得运算法则

问题1我们已经会求危)=5与g(x)=l、05工等基本初等函数得导数,那么怎样求危)与g(x)得与、差、积、

商得导数呢？

问题2应用导数得运算法则求导数有哪些注意点？

例1求下列函数得导数：

(l)y=3x-lgx;(2)y=(f+i)(x—l)；(3)叶五+货+武、

跟踪训练1求下列函数得导数：

亦x—1sinx

（1求x）=»tanx;（2V（x）=2-2sin22；（3求的=干；（4求外=不嬴、

探究点二导数得应用

例2⑴曲线尸xe*+2x+1在点（0,1）处得切线方程为

（2）在平面直角坐标系xOy中，点尸在曲线C:y=f—10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处得切

线斜率为2,则点P得坐标为

f—1

（3）已知某运动着得物体得运动方程为s⑺=丁+2金（位移单位:，时间单位:s）,求t=3s时物体得瞬时速度.

£

跟踪训练2（1）曲线y=———/在点加I处得切线得斜率为（）

sinxIcosx乙

W

（2）设函数式X）=1?一#+bx+c,其中a>0,曲线尸危）在点尸（0次0））处得切线方程为y=l,确定b、C得值.

【当堂检测】

1.设y=—2e*sin羽则y，等于（）

A.-2e*cosxB.-2exsinxC.2e'sinxD.-2e(sinx+cosx)

2.曲线人龙）=我在点（一1,—1）处得切线方程为（）

A.y=2x+1B.y=2x—1C.y=12x—3D.y=-2x+2

3.已知/U）=af+3$+2,若,（-1）=4,则a得值就是（)

r10

D百

12

4.已知其尤）=尹3+34'（0）,则/（1）=

5.已知抛物线y=/+bx+c过点（1,1）,且在点（2,—1）处与直线y=x-3相切，求a、b、c得值.

【课堂小结】

求函数得导数要准确把函数分割为基本函数得与、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中,

要仔细分析出函数解析式得结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数得导数公式.对于不具备导数运算法

则结构形式得要适当恒等变形,转化为较易求导得结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等

问题、

【教学反思】

§1、2、3导数得四则运算法则（二）导学案

【学习要求】

1.了解复合函数得概念，掌握复合函数得求导法则.

2.能够利用复合函数得求导法则，并结合已经学过得公式、法则进行一些复合函数得求导（仅限于形如fiax

+6）得导数）.

【学法指导】

复合函数得求导将复杂得问题简单化，体现了转化思想;学习中要通过中间变量得引入理解函数得复合

过程.

【知识要点】

一般地，对于两个函数与〃=g(x),如果通过变量%y可以表示成________，那么

复合函数得概念

称这个函数为y=/(a)与a=g(x)得复合函数，记作_____________、

复合函数得求导

复合函数y=兀?(功得导数与函数y=&/),〃=g(x)得导数间得关系为yx'

法则=________、即y对x得导数等于____________________________________、

【问题探究】

探究点一复合函数得定义

问题1观察函数y=2xcosx及y=ln(x+2)得结构特点，说明它们分别就是由哪些基本函数组成得？

问题2对一个复合函数,怎样判断函数得复合关系？

问题3在复合函数中，内层函数得值域A与外层函数得定义域B有何关系？

例1指出下列函数就是怎样复合而成得：

22

(l)y=(3+5x);(2)y=log3(x-2x+5);(3)y=cos3x、

跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：

⑴y=ln«(2)y=e"nx；(3)y=cos(小叶1).

探究点二复合函数得导数

问题如何求复合函数得导数？

例2求下列函数得导数：

1jr

⑴y=(2x—1)+(2)j=^-j—(3)y=sin(—2x+R;(4)y=102A，+\

跟踪训练2求下列函数得导数.

1,

3x

⑴y=ln(2)y=e;(3)y=51og2(2x+l).

探究点三导数得应用

例3求曲线产e2+i在点(一5)处得切线方程.

跟踪训练3曲线y=e%os3x在(0,1)处得切线与直线I平行，且与I得距离为小,求直线I得方程.

【当堂检测】

1.函数y=(3x—2产得导数为()

A.2(3x_2)B.6xC.6x(3x-2)D.6(3x—2)

2.若函数产5m2%,则y，等于()

A.sin2xB.2sinxC.sinxcosxD.cos2%

.若)则〈等于

3y=#d,()

A.2xf(?)B.2V(x)CAxfix)D/(x2)

4.设曲线、=6心在点(0,1)处得切线与直线x+2y+l=0垂直，则

【课堂小结】

1、求简单复合函数式"+6)得导数

2、求简单复合函数得导数，实质就是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数y=Ka),a=ox+b

得形式，然后再分别对y=/(a)与“="+》分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y=

f^u),u=ax-\-b得形式就是关键、

【拓展提高】

1.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立,则实数得取值范围为

【教学反思】

§1、3、1利用导数判断函数得单调性导学案

【学习要求】

1.结合实例，直观探索并掌握函数得单调性与导数得关系.

2.能利用导数研究函数得单调性，并能够利用单调性证明一些简单得不等式.

3.会求函数得单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

【学法指导】

结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数得单调性与导函数正负之间得关系，体会数形结合思想，以直代

曲思想、

【知识要点】

一般地，在区间(。力)内函数得单调性与导数有如下关系：

导数函数得单调性

fW>o单调递___________

fW<o单调递___________

f(x)=0常函数

【问题探究】

探究点一函数得单调性与导函数正负得关系

问题1观察下面四个函数得图象,回答函数得单调性与其导函数得正负有何关系？

问题2若函数兀0在区间(a,3内单调递增，那么(x)一定大于零吗？

问题3(1)如果一个函数具有相同单调性得单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)

得单调区间.

(2)函数得单调区间与其定义域满足什么关系？

例1已知导函数/(尤)得下列信息：

当l<x<4时/(x)>0;当无>4或无<1时/(x)<0;当x=4或x=l时/(无)=0、

试画出函数兀v)图象得大致形状.

跟踪训练1函数y=Ax)得图象如图所示,试画出导函数/(尤)图象得大致形状.

例2求下列函数得单调区间：

(1加无)=/-4《+了一1；(2如)=2尤(e*—l)-x2;(3)/(x)=3x2-21nx、

跟踪训练2求下列函数得单调区间：

(1加»=尤2—Inx;(2)/(x)=x_2；(3)Ax)=sinx(l+cosX)(0WX<2TI).

探究点二函数得变化快慢与导数得关系

问题我们知道导数得符号反映函数>=大尤)得增减情况,怎样反映函数y=Ax)增减得快慢呢？您能否从导

数得角度解释变化得快慢呢？

例3如图,设有圆C与定点。，当/从/o开始在平面上绕。匀速旋转(旋转角度不超过90。)时,它扫过得圆内

阴影部分得面积S就是时间f得函数，它得图象大致就是下图所示得四种情况中得哪一种？

()

跟踪训练3⑴如图，水以常速(即单位时间内注入水得体积相同)注入下面四种底面积相同得容器中，请分

别找出与各容器对应得水得高度h与时间f得函数关系图象.

(2)已知了,(x)就是尤)得导函数/(x)得图象如图所示，则加0得图象只可能就是()

【当堂检测】

1.函数7U)=x+lnx在(0,6)上就是()

A.单调增函数B.单调减函数

c.在M上就是减函数，在H上就是增函数D.在M上就是增函数，在H上就是减函数

2./⑴就是函数y=/(无)得导函数，若(无)得图象如图所示,则函数无)得图象可能就是()

3.函数y(x)=lnx—办(a>0)得单调增区间为()

A.hB.aC.(0,+°°)D.(O,a)

W1+0°y

4.(1)函数y=x2-4x+a得增区间为，减区间为

(2)函数)=尤3一工得增区间为，减区间为

【课堂小结】

1.导数得符号反映了函数在某个区间上得单调性，导数绝对值得大小反映了函数在某个区间或某点附近变

化得快慢程度.

2.利用导数求函数八尤)得单调区间得一般步骤为

(1)确定函数八无)得定义域；

(2)求导数/(无)；

(3)在函数/U)得定义域内解不等式(x)>0与/(x)<0;(4)根据⑶得结果确定函数八尤)得单调区间、

【拓展提高】

1.已知函数

(1)若函数得单调递减区间就是，则得就是、

(2)若函数在上就是单调增函数，则得取值范围就是

2.函数八x)得定义域为,且满足近2)=2,>1,贝I不等式式了)一x>0得解集为

3.己知函数八元)=e'一2x+a有零点，则a得取值范围就是

4.设函数尤)=x—:一”In尤、

⑴若曲线>=段)在点(1<1))处得切线被圆f+y2=i截得得弦长为小，求a得值；

(2)若函数/U)在其定义域上为增函数,求实数a得取值范围；

【教学反思】

§1、3、2利用导数研究函数得极值导学案

【学习要求】

1.了解函数极值得概念，会从几何直观理解函数得极值与导数得关系，并会灵活应用、

2.掌握函数极值得判定及求法、

3.掌握函数在某一点取得极值得条件.

【学法指导】

函数得极值反映得就是函数在某点附近得性质，就是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为

实”，通过研究极值初步体会函数得导数得作用、

【知识要点】

1.极值得概念

已知函数y=/(x),设x0就是定义域(a,6)内任一点，如果对xo附近得所有点x,都有，则称函数7(x)

在点即处取，记作y极大=大尤o),并把劭称为函数人x)得一个.如果都有，则称函

数兀0在点沏处取，记作y极小=式沏),并把xo称为函数於)得一个.极大值与极小值统称

为.

极大值点与极小值点统称为

2.求可导函数八龙)得极值得方法

(1)求导数f(x);

(2)求方程得所有实数根；

(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根得左右侧,导函数,(x)得符号如何变化.

①如果(x)得符号由正变负，则负沏)就是极—值.

②如果,（x）得符号由负变正，则武沏）就是极—值.

③如果在/（x）=0得根%=沏得左右两侧符号不变，则-0）

【问题探究】

探究点一函数得极值与导数得关系

问题1如图观察，函数y=#x）在d、e、f、g、/?、z•等点处得函数值与这些点附近得函数值有什么关系？y

=/（尤）在这些点处得导数值就是多少？在这些点附近,y=/（尤）得导数得符号有什么规律？

问题2函数得极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数得极大值与极小值就是唯一得吗？

问题3若某点处得导数值为零，那么，此点一定就是极值点吗？举例说明.

例1求函数应r）=f—3%2—9尤+5得极值.

跟踪训练1求函数式尤）=：+31n尤得极值.

探究点二利用函数极值确定参数得值

问题已知函数得极值，如何确定函数解析式中得参数？

例2已知兀0=/+3以2+区+42在尤=—1时有极值0,求常数4力得值.

跟踪训练2设x=1与x=2就是函数於）=alnx+6x?+尤得两个极值点.

（1）试确定常数a马b得值；

（2）判断x=l,x=2就是函数犬犬）得极大值点还就是极小值点，并说明理由.

探究点三函数极值得综合应用

例3设函数“x）=d—6X+5,X、

（1）求函数八x）得单调区间与极值；

（2）若关于x得方程段）=a有三个不同得实根,求实数a得取值范围.

跟踪训练3若函数/U）=2f—6x+上在R上只有一个零点，求常数上得取值范围.

【当堂检测】

1.“函数产段）在一点得导数值为0”就是“函数产危）在这点取得极值”得（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.下列函数存在极值得就是（）

A.y=_B.y=x~exC.J=X3+X2+2X—3D.y=x

3.己知五尤）=/+办2+（°+6）犬+1有极大值与极小值，则a得取值范围为（）

A.—l<a<2B.—3<a<6C.a<—1或a>2D.a<—3或。>6

4.设ad,若函数>=色+6/€有大于零得极值点，则a得取值范围为

5.直线y=a与函数>=尤3—3尤得图象有三个相异得交点，则a得取值范围就是

【课堂小结】

1.在极值得定义中，取得极值得点称为极值点，极值点指得就是自变量得值，极值指得就是函数值.

2.函数得极值就是函数得局部性质.可导函数八x）在点xo处取得极值得充要条件就是，（司）=0且在无o两侧

/（x）符号相反.

3.利用函数得极值可以确定参数得值，解决一些方程得解与图象得交点问题、

【拓展提高】

1.已知三次函数在与时取极值,且.

(1)求函数得表达式;(2)求函数得单调区间与极值

2.若函数，当时，函数极值，

(1)求函数得解析式;(2)若函数有3个解,求实数得取值范围

【教学反思】

§1、3、3利用导数研究函数得最值导学案

【学习要求】

1.理解函数最值得概念，了解其与函数极值得区别与联系.

2.会用导数求某定义域上函数得最值.

【学法指导】

弄清极值与最值得区别就是学好本节得关键.

函数得最值就是一个整体性得概念.函数极值就是在局部上对函数值得比较，具有相对性;而函数得最值

则就是表示函数在整个定义域上得情况，就是对整个区间上得函数值得比较、

【知识要点】

1.函数式x)在闭区间［a用上得最值

函数兀0在闭区间m力］上得图象就是一条连续不间断得曲线，则该函数在m,切上一定能够取得最大值与

最小值，函数得最值必在处或处取得.

2.求函数y=/(x)在上得最大值与最小值得步骤：

⑴求贝犬)在开区间(a,6)内所有使得点；

(2)计算函数八尤)在区间内与得函数值其中最大得一个为最大值最小得一个为最小

值

【问题探究】

探究点一求函数得最值

问题1如图，观察区间团用上函数y=A尤)得图象，您能找出它得极大值、极小值吗？

问题2观察问题1得函数y=/(x),您能找出函数八劝在区间［a,切上得最大值、最小值吗？若将区间改为

(a力)次尤)在(a,b)上还有最值吗？由此您得到什么结论？

问题3函数得极值与最值有什么区别与联系？

问题4怎样求一个函数在闭区间上得最值？

例1求下列函数得最值：

(1=lx-12x,x［-1,3］；(2求x)=%+sin羽耳0,2无］

跟踪训练1求下列函数得最值：

(l)/(x)=x3+2x2-4.r+5,x［-3,l］;(2)/(x)=e"(3—无2)凡2,5］.

探究点二含参数得函数得最值问题

例2已知a就是实数，函数/U)=f(x—。).

(1)若/'(1)=3,求a得值及曲线y=/(x)在点(1次1))处得切线方程.

(2)求Kx)在区间［0,2］上得最大值.

跟踪训练2已知函数兀1)=办3—6af+6,xG［―1,2］得最大值为3,最小值为-29,求a,b得值.

探究点三函数最值得应用

问题函数最值与“恒成立”问题有什么联系？

例3已知函数y(x)=(x+l)lnx—x+1、若4''(x)W/+ax+l恒成立，求a得取值范围.

跟踪训练3设函数次元)=2/-9无2+12X+8C,若对任意得尤e［0,3］,都有五XXc?成立，求c得取值范围.

【当堂检测】

1.函数y=/(x)在［a,b］上()

A.极大值一定比极小值大B.极大值一定就是最大值

C.最大值一定就是极大值D.最大值一定大于极小值

2.函数式x)=f—3x(|x|<l)()

A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值

3.函数y=x—sinx,xe］［|得最大值就是()

71

A.71—1B，2—1C.71D.71+1

4.函数式无)=/一3/一9工+%在区间［—4,4］上得最大值为10,则其最小值为

【课堂小结】

1.求函数在闭区间上得最值，只需比较极值与端点处得函数值即可;函数在一个开区间内只有一个极值，这个

极值就就是最值.

2.含参数得函数最值，可分类讨论求解.

3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题、

【拓展提高】

1.已知a2^+lnx对任意xd｝；恒成立，则a得最大值为()

A.OB.lC.2D.3

2.已知函数,过曲线上得点得切线方程为

(1)若函数在处有极值,求得表达式；

(2)在(1)得条件下，求函数在上得最大值；

(3)若函数在区间上单调递增，求实数得取值范围

【教学反思】

§1、3、4导数得实际应用导学案

【学习要求】

1.T解导数在解决实际问题中得作用.

2.掌握利用导数解决简单得实际生活中得优化问题.

【学法指导】

1.在利用导数解决实际问题得过程中体会建模思想.

2.感受导数知识在解决实际问题中得作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合得思想，提高分析问题、解

决问题得能力.

【知识要点】

1.在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相

应得或.这些都就是最优化问题.

2.求实际问题得最大（小）值，导数就是解决方法之一.要建立实际问题得.写出实际问题中变量之

间得函数关系>=式尤）,然后再利用导数研究函数得—

【问题探究】

题型一面积、体积得最值问题

例1如图所示，现有一块边长为a得正方形铁板，如果从铁板得四个角各截去一个相同得小正方形,做成一

个长方体形得无盖容器.为使其容积最大，截下得小正方形边长应为多少？

跟踪训练1已知矩形得两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4—f在x轴上方得曲线上，求这

个矩形面积最大时得边长.

题型二强度最大、用料最省问题

例2横截面为矩形得横梁得强度同它得断面高得平方与宽得积成正比.要将直径为d得圆木锯成强度最

大得横梁，断面得宽度与高度应就是多少？

跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆,如果截面积为20n?,当宽为多少时，使截面周长最小,

用料最省？

题型三省时高效、费用最低问题

例3如图所示,一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B得距离就是150km、在岸边距点B300km得

点A处有一军需品仓库.有一批军需品要尽快送达海岛4与8之间有一铁路，现用海陆联运方式运送.火车时

速为50km,船时速为30km,试在岸边选一点C,先将军需品用火车送到点C,再用轮船从点C运到海岛，问点

C选在何处可使运输时间最短？

跟踪训练3如图所示,设铁路AB=50,8C=10,现将货物从A运往C,已知单位距离铁路费用为2,公路费用

为4,问在AB上何处修筑公路至C,可使运费由A至C最省？

跟踪训练4某商场销售某种商品得经验表明,该商品每日得销售量y(单位:千克)与销售价格尤(单位:元/千

克)满足关系式y=号+10Q—6)2,其中3a<6,°为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11

千克.

⑴求。得值；

(2)若该商品得成本为3元/千克，试确定销售价格x得值，使商场每日销售该商品所获得得利润最大.

【当堂检测】

1.方底无盖水箱得容积为256,则最省材料时，它得高为()

A.4B.6C.4、5D.8

2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算，存款量与存款利率得平方成正比,比例系数为加心0).已知贷款

得利率为0、0486,且假设银行吸收得存款能全部放贷出去.设存款利率为(0,0、0486),若使银行获得

最大收益，则x得取值为多少？

3.统计表明:某种型号得汽车在匀速行驶中每小时得耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)得函数解析式可以

1a

表示为尸12800(/—扁小⑴。120).已知甲、乙两地相距100千米,当汽车以多大得速度匀速行驶时,

从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【课堂小结】

1.利用导数解决生活中优化问题得一般步骤

(1)找关系:分析实际问题中各量之间得关系；

(2)列模型:列出实际问题得数学模型；

(3)写关系:写出实际问题中变量之间得函数关系y=Xx)；

(4)求导:求函数得导数/(x),解方程f(x)=0;

(5)比较:比较函数在区间端点与使/(x)=0得点得数值得大小，最大(小)者为最大(小)值；

(6)结论:根据比较值写出答案.

2.在求实际问题得最大(小)值时，一定要考虑实际问题得意义,不符合实际意义得值应舍去.例如，长度、宽度

应大于零，销售价格应为正数，等等、

习题课导学案

【学习要求】

1.理解用导数研究函数得逼近思想与以直代曲思想、

2.会利用导数讨论函数得单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次).

【双基自测】

1.函数/(x)=2x—cosx在(一8,+8)上()

A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值

2.若在区间（a力）内/（x）＞0,且则在（a力）内有（）

A.y（x）＞0B以尤）＜0C./（x）=0D.不能确定

3.设函数g（X）=x（尤2—1）,则g（x）在区间[0,1]上得最小值为（）

A.-lB.OC.一芈D坐

4.设函数兀V）在定义域内可导,y=Ax）得图象如图所示，则导函数y=f⑴得图象可能为（）

5.若木尤）在（a力）内存在导数，则‘了（尤）＜0"就是"本）在（。力）内单调递减”得条件.

【问题探究】

题型一函数与其导函数之间得关系

例1已知函数（x）得图象如图所示（其中/（劝就是函数人尤）得导函数），则y=Ax）得图象大致就是

（）

跟踪训练1已知上可导函数y=A尤）得图象如图所示，则不等式译一2x—3»'（无）＞0得解集为（）

A.(-°0,-2)U(l,+co)B.(-c0,-2)U(l,2)

C.(-0°,-l)U(-l,0)U(2,+°°)D.(-°°,-l)U(-l,l)U(3,+°0)

题型二利用导数研究函数得单调性、极值、最值

例2设函数於)定义在(0,+8)上＜1)=0,导函数,(x)=：,g(x)=/(x)+/(x).

⑴求g。）得单调区间与最小值.（2）讨论g（x）与g（点得大小关系.

跟踪训练2设a为实数，函数於）=e'—2x+2a,x、

（1）求兀0得单调区间与极值；

（2）求证:当a＞\n2~1且x＞0时,e*〉/—2〃x+1、

题型三导数得综合应用

例3已知函数70：）=X3一以一1、

（1）若/（%）在实数集上单调递增，求a得取值范围；

（2）就是否存在实数〃，使#x）在（一1,1）上单调递减,若存在，求出。得取值范围，若不存在,请说明理由.

r

2

跟踪训练3⑴若函数段）=4f—QX+3得单调递减区间就是]，则实数〃得值就是多少？

_2

_r

~2

（2）若函数«x）=4?一以+3在上就是单调函数,则实数〃得取值范围为多少？

1

,2

【当堂检测】

1.函数八x）=f—21n无得单调递减区间就是（）

A.（0,l]B.[l,+-）C.（-o°D.[-l,0）,（0,l]

2.若函数yuf+f+mx+l就是上得单调函数，则实数相得取值范围就是（)

(\\口、

A.3C.3

1+00J_+°°?

3.设/（无）就是函数/（X）得导函数，将