高中数学-指数与指数函数教学设计学情分析教材分析课后反思

1.重视过程，引导学生参与

《标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于教师、教育、模仿和练习。高中数学课

程还应倡导自主探索、动手设计、合作交流、阅读自学等学习数学的方式；鼓励学生在学习

过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发现他们的

创新意识。

在数学概念与理论的教学中，引导学生亲历知识的发生、发展过程，即数学模式的建构

过程，以培养学生的原创性思维。让学生通过探索、反思，修改、完善，经历曲折和反复，

给学生尝试成功的机会，让学生从中体验数学的过程和品尝成功的快乐。

2.以人为本，面向全体学生

《标准》的最高宗旨是：“一切为了每一位学生的发展”。数学教育要面向全体学生，实

现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

在教学中，教师应设计阶梯式教学，降低难度梯度，以适合学生已有的知识结构和心理

发展水平，引导学生发挥自己的认知能力去发现和探求问题。

3.结合《标准》，本节课力争实现：

(1)了解指数函数模型的实际背景；

(2)理解有理指数幕的含义，了解实数指数事的含义，掌握事的运算；

(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为

2,3,10,1/2,1/3的指数函数的图象;

(4)体会指数函数是一类重要的函数模型。

学情分析:

从学生的认知角度上看，学生已经复习了函数的概念与性质，也复习了函数图像的变换，

为本节课的复习提供好了良好的知识基础，完成本节课的内容是没有问题的；

从学生的情感态度和能力上看，学生在单个知识面前比较从容，对指数与指数函数的图

像与性质能够做到有效记忆。但是在数形结合方面，以及分类讨论、换元方面，学生都显得

能力不足，也就是说学生对于知识建构、知识综合运用的能力还比较弱，数学思想的应用也

需要进一步培养。

1.函数式X)=2KF的图象是()

答案B

解析V|x-l|>0,排除C、D.

又X=1时，)Ax)|min=l,排除A.

故选项B正确.

2.已知4=225,6=2.5。，c=(1)2-5,则a,b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.c>a>b

C.h>a>cD.a>b>c

答案D

解析a>2°=1,b—1,C<(T)0=1,.,.a>b>c,

3.若函数y(x)=a2L4|伍>o,I),满足人i)=〃，则的单调递减区间是()

A.(-8,2]B.[2,+8)

C.[-2,+8)D.(-8,-2]

答案B

解析由火1)=：得

所以“=；或a=一；(舍去)，即兀r)=(；)2L4l.

由于y=|2x-4|在(一8,2］上递减，在［2,+8)上递增，

所以4x)在(-8,2］上递增，在［2,+8)上递减.故选B.

4.若关于x的方程回一l|=2〃(a>0且aWl)有两个不等实根，则。的取值范围是()

A.(0,1)0(1,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D(0,£)

答案D

解析方程炉-1|=2"(。>0且aWl)有两个实数根转化为函数y=|a'-l|与y=2«有两个交点.

①当0<a<l时，如图⑴，即

②当a>l时，如图(2),而y=2a>l不符合要求.

图(2)

综上，

/［xax-2-4x4-3

5.已知函数负x)=一.

(1)若。=一1,求人外的单调区间；

(2)若/(x)有最大值3,求“的值.

n「一-41H-3

解(1)当”=一1时，兀0=|工

令g(x)=—x2—4x+3,

由于g(x)在(一8,一2)上单调递增,在(-2,+8)上单调递减,

而y=(g)在R上单调递减，

所以大力在(-8,—2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增,

即函数人x)的单调递增区间是(-2,+8),

单调递减区间是（一8,-2）.

（2）令以力=加-4x+3,於）=（；卜），

由于人X）有最大值3,所以g（x）应有最小值一1,

4>0,

因此必有“3〃-4解得。=1,

［丁=f

即当犬X）有最大值3时，。的值为1.

本节课讲的内容是《指数与指数函数》。

在一轮复习过程中，本节课的内容属于基础内容，面对文科学生，让他们充分认识好基本初

等函数，就可以更容易的利用基本初等函数衍生出其他的函数，让学生体会基本初等函数的

重要性，因此课程设计在第一节课不宜太难。

而本节课课程内容难度适中，课件设计精美，内容和难度层层深入，课堂教学环节紧凑，学

生在不知不觉中跟着教师的步调完成了课时内容。

学生反应状态比较好，在教师引导下构建指数函数的有关知识体系，并体会数形结合、分类

讨论、换元的数学思想，在学习中收获成功的喜悦。完成目标程度比较理想。

教材分析：函数是贯穿中学数学的核心内容，本节是继函数概念和基本性质后，较为系统

地研究的第二个基本初等函数.通过这一节指数函数的研究，使学生进一步认识到函数是刻画

现实世界变化规律的重要模型。

高二文科一轮复习中，要让学生充分认识好基本初等函数，就可以更容易的利用基本初

等函数衍生出其他的函数，让学生体会基本初等函数的重要性.

最新考纲：了解指数函数模型的实际背景；理解有理指数基的含义，了解实数指数暴

的含义,掌握事的运算;理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点，

会画底数为2,3,10,1/2,1/3的指数函数的图象；体会指数函数是一类重要的函数模型。

基础内容的复习改变了教材中直接填结果的做法，而是通过阅读考纲提出问题，让学生

回忆来完成基础知识教学。

指数与指数函数主要从指数惠的运算、指数函数图像、指数函数的单调性、以及指数函

数与二次函数的复合几个方面设计例题，基本涵盖考纲要求。

设计思路:

指数一一指数运算

「图象一一数形结合、分类讨论

指数与指数函数,指数函数Y「比较大小'综合应用

L性质应用y

匚求值域换元法

Iy

教学设计

一、考纲要求、引出正题

阅读最新考纲，并思考：1、有理指数基、指数运算法则

2、指数函数的图像与性质

1.分数指数累

(D规定：正数的正分数指数基的意义是a；=gi(a>0,m,〃CN*,且〃〉1)；正数的负分数

--1

指数哥的意义是a〃=——(a>0,"，刀RN*,且刀>1)；0的正分数指数塞等于。；0的负分数

羽

指数累没有意义.

(2)有理数指数塞的运算性质：a'a'=W二,(a')s=W5(a)，=逆,其中a>0,b>0,r,sGQ.

2.指数函数的图象与性质

y=aa>l0<5<1

y广球

图象3一二第1)…尸1

定义域(DR

值域(2)(0,+8)

性质(3)过定点(0,1)

(4)当%>0时,y>l；(5)当x>0时，0<Xl;

当x<0时，0<爪1当K0时，y>l

(7)在(一8,十8)上

(6)在(一8,+8)上是增函数

是减函数

【设计意图：复习基础知识内容。由浅入深】

二、基础篇一一指数幕运算

例1

(2)73X^175X^/12=______.

£2_[

QI)a3b321+-!--2--

解(1)原式=।।63b33=9尸.

a片a,庐

(2)4X折lx际=3^*：*3石义2号=3

思维升华(1)指数基的运算首先将根式、分数指数塞统一为分数指数累，以便利用法则

计算，还应注意：①必须同底数基相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【设计意图：完成目标——理解有理指数暮，以及指数幕的运算。通过例题归纳此类

问题的解决关键点】

三、基础篇——指数函数图象

例2(1)函数/Xx)=a-'的图象如

图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是()

A.a>l,b<0\/

B.a>l,b>0

~i

C.0<a<l,b>05

I).0<a<l,伙0

(2)若曲线|y|=2'+l与直线y=6没有公共点，则6的取值范围是.

答案(1)D⑵[-1,1]

解析(1)由F(*)=a*--的图象可以观察出，函数F(x)=a*i在定义域上单调递减，所以

0<a<l.函数f(x)=a*i的图象是在f(x)=a'的基础上向左平移得到的，所以6〈0,故选D.

(2)曲线|y|=2*+l与直线y=6的图象如图所示，由图象可知：如果3=2'+1与直线尸

6没有公共点，则6应满足的条件是6G

思维升华(1)己知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些

点，若不满足则排除.

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、

伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)

有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【设计意图：培养数形结合的思想方法，注意图像对于函数的重要性】

四、基础篇——指数函数性质应用

命题点1比较指数式的大小

例3(1)下列各式比较大小正确的是()

A.1.725>1,73B.0.6-I>0,62

C.0.8-ai>l.2502D.1.7°\0.931

解析(1)A中，•.•函数尸1.7,在R上是增函数,

2.5<3,Al.725<1.73,错误;

B中，；y=0.6'在R上是减函数，-K2,

A0.6-1>0.62,正确；

C中,：(0.8)T=1.25,

/.问题转化为比较1.25*与1.25、的大小.

；7=1.25'在R上是增函数,0.K0.2,

.♦.1.25°'<1.25°",即0.8-°々1.25°。错误;

D中，VI.70-3>1,0<0.931<1,

.，.1.7°-3>0.931,错误.故选B.

命题点2求函数值域

例3(1)函数y=8—(x20)的值域是—

解析Vx>O,...-xWO,二3一E3,

/.0<23-^23=8,.,.0<8-23-\8,

二函数尸8—23r的值域为［0,g).

思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略

(D比较大小问题.(3种类型)

(2)简单的指数不等式范围注意取正值，若底数含参，要注意分类讨论.

【设计意图：函数性质应用问题，培养学生学习知识、应用知识的能力】

五、进阶篇一一综合应用与思想方法

典例(D函数尸(；)一(})+1在区间［-3,2］上的值域是.

z［、-？+2升1

(2)函数f(x)=g的单调减区间为一.

思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t=gj,,将原函数的值域转化为关于t的二

次函数的值域.

(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求.

解析⑴因为xG［-3,2］,

所以若令，=&),则E［，8,

故y=I2-/+1=(力-/+*

13

当力=5时，％汨=牙；当2=8时，耳nax=57.

3

故所求函数值域为57.

(2)设u——x+2x+l,在R上为减函数，

z［x—x2+2.r+l

...函数/Xx)=-)的减区间即为函数u=—v+2x+l的增区间.

又u=-f+2x+l的增区间为(-8,1］,

的减区间为(-8,1］.

答案(1)［『57J(2)(-8,1］

温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函

数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;

(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.

［方法与技巧］

1.通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令*=1得到底数的值，再进行比较.

2.指数函数尸a'(a>0,aWl)的性质和a的取值有关，一定要分清a>l与0〈水1.

3.对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.

［失误与防范］

L恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来.

2.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域.

3.对可化为/+%•a*+c=O或a'+c'O(W0)形式的方程或不等式，常借助换元

法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

【设计意图：数学知识体系的建构和数学思想方法的渗透】

三、小结——知识方法回顾

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点,

关键进行课后复习巩固】

四、作业布置:

课后练习限时检测

【设计意图：检查学习效果，及时反馈，查漏补缺】

本节课内容是《指数与指数函数》，课堂45分钟，复习指数与指数运算，指数函数的图像与

性质，主要是图像和单调性的应用方面，全部完成。

完成效果从以下两方面看：

1、知识体系的构建方面

本节课教师通过课堂上引导复习，学生回顾指数与指数函数的相关内容，经历知识的发生发

展过程。例题主要涵盖指数运算，函数图像，函数单调性应用三个方面，将指数函数的图像

与性质的考察方法和考查形式，以及应对方式都展现出来。从学生学习来看，基本能够掌握