2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练33　数系的扩充与复数的引入

考点规范练33数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.(2023新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=A.-4 B.-3 C.3 D.43.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=14.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-i B.z=-1+iC.|z|=2 D.|z|=25.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则2zz-1A.3+i B.1-3i C.1-i D.2-i6.已知复数z=i1+i,则|z|=(A.22 B.2C.12 D.7.若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则zA.1 B.iC.2 D.2i8.(2023新高考Ⅰ,2)已知z=1-i2+2i,则z-z=A.-i B.i C.0 D.19.(多选)已知复数z=-12+3A.z2=0 B.z2=zC.z3=1 D.|z|=110.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.

11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z2z1=二、综合应用12.在复平面内,O为坐标原点,若复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-32 B.-12 C.12 13.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是()A.点P0的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为214.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=.

15.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第16.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是.

三、探究创新18.据记载,欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,自然数的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=e3π4i的共轭复数为z,则zA.-22−22i BC.22+22i 19.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+3i)10=()A.1024-10243i B.-1024+10243iC.512-5123i D.-512+5123i

考点规范练33数系的扩充与复数的引入1.A∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.2.D由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.3.C由题意可知,z=x+yi.因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+(则x2+(y-1)2=1.故选C.4.Dz=1-i,|z|=1+1=2,故选5.A由题意知z=2-i,所以2zz-1=6.Az=i1+i=所以|z|=17.Az=1+i因为z是纯虚数,所以a-1=0,a+1≠0,解得a=1,所以z8.A∵z=1-i2+2i∴z=∴z-z=-12i-12i=-i.故选9.BCD由于复数z=-12+32i(则z2=14−32i-34=-12z2=z,故B正确;z3=-12-32i-12+32i=1410.52由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-则a2+b2=5,ab=2.11.-1-2i由题意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=212.B设z=a+bi(a,b∈R),则z+1=a+1+bi,由题意可得|z|=1,|z+1|=1,即a2+所以z的实部为-113.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为|1-2|214.1+2i(答案不唯一)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.15.四设z=x+yi(x,y∈R),则2-3i1+2i+x+yi=2即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i所以x-4即z=145−35i,其对应点为16.23设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=(a-c17.-916化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sinθ因为s