2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练50　二项式定理

考点规范练50二项式定理一、基础巩固1.(多选)下列关于(a-b)10的展开式的说法正确的是()A.展开式的二项式系数之和是1024B.展开式的第6项的二项式系数最大C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.展开式的第6项的系数最小2.设n为正整数,x-1xx2A.16 B.10 C.4 D.23.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于()A.36 B.46 C.34 D.444.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.85.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=()A.1 B.32 C.81 D.2436.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2……第n(n≥2)行的第3个数字为an-1,则a1+a2+a3+…+a10=()A.220 B.186 C.120 D.967.在2x-13x68.已知Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-9.(2021浙江,13)已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=,a2+a3+a4=.

10.已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a4=.

二、综合应用11.已知1+ax2(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为(A.26 B.32 C.38 D.4412.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=()A.256 B.364C.296 D.51313.在x+1xA.435 B.3C.314 D.14.(多选)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,则()A.a0=1B.ar=C10r210-r(-1)r,C.a1+a2+…+a10=1D.(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=31015.9192除以100的余数是.

16.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8的展开式中x2的系数为.

三、探究创新17.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=(mnx3-1x)8,则(A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0C.f(x)的展开式中的二项式系数的最大值是70D.f(i)=-16,其中i为虚数单位

考点规范练50二项式定理1.ABD由二项式系数的性质知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正确;依题意,展开式中有11项,故二项式系数最大的项为中间项,即为第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项Tr+1=C10ra10-r(-b)r=(-1)rC10ra10-r2.B因为x-1xx2n的展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k·-1xxk=C2nk(-3.D(1+3)4=1+C41×3+C42×(3)2+C43×(3)3+(3)4=28+1634.B由题意知an=C10n-1(n=1,2,3,…因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,所以a6=C105最大,所以k的最大值为5.D令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.6.Aa1+a2+a3+…+a10=C22+C32+C42+…+C112=C33+C37.4-64x322x-13x6的展开式的通项为Tr+1=C6由6-3r2∈Z,得r=0,2,4,6若项的系数最小,则r为奇数,即r=1或3或5.当r=1时,系数为-64;当r=3时,系数为-16027当r=5时,系数为-481.故系数最小的项为T2=-8.5依题意,Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13+Cnn=(3+1)n9.510因为a1为展开式中x3的系数,所以a1=C30(-1)0+C4令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.10.60∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴Tr+1=C6r(x-1)6-r·2r,令6-r=4,则r=∴T3=C62(x-1)4·22=60(x-1)4,即a4=11.C令x=1,可得1+ax2(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)·26=256,解得故1+3x2(1+x)6的展开式中x3的系数为C63+12.B令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,②由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=3令x=0,得a0=1,故a2+a4+…+a12=36+12-113.D依题意,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,解得n=7.故x+1x7的展开式的通项公式为T由7-3r2∈Z,得r=0,2,4,6,故展开式中有4项为有理项,有把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的排法有A44A54种故有理项都互不相邻的概率为A14.AD令x=-1,得a0=(-2+1)10=1,故A正确.由已知得(2x+1)10=[-1+2(x+1)]10,故ar=C10r(-1)10-r2r,r=0,1,2,…,10,故B错误.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10=1,又a0=1,则a1+a2+…+a10=0,故C错误.令x=-2,得a0-a1+a2-…+a10=310,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10-a1-a3-…-a9)=1×310=310,故D15.81因为9192=(90+1)92=C9209092+C9219091+…+C9290902+C929190+C9292=C9209092+C92所以9192除以100的余数是81.16.84依题意,x2的系数为C22+C32+17.BC设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r,所以m=πr2·2r43πr3=32,n=2对于A,f(x)的展开式的通项公式为Tr+1=C8r