北京市西城区北京师范大学第二附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2024北京北师大第二附属实验中学高二（下）期中数学班级__________姓名__________学号__________成绩__________考生须知：1．本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知等差数列中，，，则（）A．8 B．9 C．12 D．182．已知数列的前项和，则（）A．16 B．32 C．48 D．643．下列函数中，图像存在与轴平行的切线的是（）A． B． C． D．4．函数的导函数为（）A： B．C． D．5．已知，均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（）A． B． C． D．6．已知数列满足：．若，则（）A． B． C． D．7．已知为无穷等差数列，则“存在，且，使得”是“存在且，使得”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．记，，，则（）A． B． C． D．9．已知函数，记，下列说法中正确的是（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．在上单调递增，在上单调递减D．在上单调递减，在上单调递增10．已知函数，，下列说法不正确的是（）A．若，则在上单调递增B．若0为的极大值点，则C．的图像经过一个定点D．若，则方程有三个不相等的实数根二、填空题（本大题共5小题，、每小题5分，共25分）11．已知等比数列中，，则的公比为_________．12．若函数在区间上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率，则_________；_________．13．设等差数列的公差为，前n项和为，已知．（1）若，则_________；（2）若，则的最小值为_________．14．已知函数，则的极大值为_________；的单调递减区间为_________．15．设为无穷数列，记，其中为常数且．给出下列四个结论：①若，，则为单调递增数列；②若，，则为单调递减数列；③若，则对任意且，均存在最大项；④若，则对任意且，均存在最小项．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分14分）已知函数．（I）求在处的切线方程；（II）求的单调区间和极值．17．（本小题满分13分）己知数列满足：，且对任意，都有．（I）直接写出的值；（II）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．18．（本小题满分15分）己知为等差数列，为等比数列，，．（I）求和的通项公式；（II）求的前n项和；（III）若对任意，有恒成立，求实数的最小值．19．（本小题满分13分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．（I）求a，k的值；（II）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t．①求公路l所在直线的方程；②当t为何值时，公路l的长度最短？求如最短长度．20．（本小题满分15分）已知函数．（I）当时，求的零点；（II）讨论在上的最大值；（III）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分15分）若项数为的数列，，…，满足：，，且存在，使得则称数列具有性质．（I）（1）若，写出所有具有性质的数列；（2）若，，写出一个具有性质的数列；（II）若，数列具有性质，求的最大项的最小值；（III）已知数列，均具有性质，且对任意，当时，都有，．记集合，，求中元素个数的最小值．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案BCADAABCBD二、填空题（每小题5分，共25分）题号1112131415答案；；2；；，②③④三、解答题（共35分）16．解：（I）的定义域为，．，．因此，在处的切线方程为：．化简得．（II），令，解得或3．当变化时，，的变化情况如下表：3+0-0+极大值极小值因此，的单调递增区间为，；单调递减区间为，的极大值为，极小值为．17．解：（I），，．（II）猜想：下用数学归纳法证明：①当时，成立．②假设时成立，即：．则当时：．故对也成立．由①②，对任意成立，即．18．解：（I）设的公差为d，的公比为．由题知：．解得：，，则，．，解得：，．因为各项均为正数，所以，，．（II）记的前n项和为．．（III）由题意，恒成立．记，则．当时，；当时，．因此．因此的最小值为2．19．解：（I）由题意，，解得．（II）曲线，．．曲线在处的切线方程为，即．切线与坐标轴的交点为，．公路的长度满足：．根据均值不等式，，当且仅当，即时取等．所以当时，公路的长度最短，最短长度为千米．20．解：的定义域为．（I）当时，，零点为．（II）．令，则．在区间内，+0-极大值当（即）时，在上单调递减，．当（即）时，在上，单调递增，．当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，．综上：（略）（III）由（II）知在上，．构造函数，由题意，应使．．令，得．1-0+极小值所以．所以使的实数只有，即的取值范围是．21．解：（I）①：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②：1，2，4，3；（或：1，3，4，3，：1，3，5，3）（II）当时，．由，累加得；①由，