线线垂直、线面垂直与面面垂直 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三课时线线垂直、线面垂直与面面垂直上节课我们用直线的方向向量和法向量，解决了线

线，类似平行，大家猜猜垂直会怎么样?新课引入1.用直线的方向向量表示两条直线的垂直设μ,μ₂分别是直线l,l₂

的方向向量，则l₁⊥l₂⇔μ₁⊥μ₂⇔3λ∈R,

使μ·H₂=0知识梳理知识梳理2.用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则1⊥a⇔ū//n⇔ū=λn知识梳理3.用法向量解决平面与平面的垂直问题设n,n₂

分别是平面α,β的法向量，则α

⊥β⇔n₁

⊥n₂⇔n₁·n₂=0例1.若平面α的一个法向量为m=(1,0,1),的角为(D)A.30°B.45°

C.60°

D.90°因为n:n₂=1×(-3)+0×1+1×3=0,所以α⊥β,即平面与所成的角为90°故选D.平面的一个法向量为m=(-3,1,3),则平面α与所成例题解析

,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),AD=(-1,0,-1),AA=(0,0,-1)CEAC≠0,CEAiD≠0,CEATA≠0,,

∴CE

⊥BD,∴CE⊥BD.例2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁的中点，则CE垂直于(B

)A.ACB.BDC.A₁

DD.A₁A建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则A(1.0,0),B(1,1,0),a0,1.0),D(0例题解析0,0),A₁(1,0,1),Gi(0,1,1),例3.已知

u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)

是直线/的方向向量，n=(1,2,3)

是平面a的法向量.若/⊥α,则a+b=6∵u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)

是直线/的方向向量，n=(1,2,3)

是平面a

的法向量，/⊥α,∴uIn,,解得a+b=6.例题解析∵a·b=(0,1,1)-(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)-(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)-(1,0,1)=1≠0∴a,b,c中任意两个都不垂直，∴α,β,y三个平面中任意两个都不垂直.例

4

.

已

知a=(0,1,I),b=(1,1,0),c=(1,0,1)

三个平面中两两垂直的有__0

对

.分别是平面α,β,y

的一个法向量，则α,β,例题解析设n=(x,y,

是平面BDF

的法向量，则n1BD,n1DF, 取y=1,得x=1,z=-2,

则n=(1,1,-2F(2,√BD=(2,-

√2,0).所以因为例5.如图，已知正方形ABCD和矩形

ACEF所在的平面互相垂直点

.求证：AM1

平面BDF.以C

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(/2,

√2,0),B(0,

√2,0),D(2,0,0),,所以n=-2

AM,即

n

与A供线

.

所以AM1平面BDF.例题解析,AB=/2,AF=1,M

是线段EF

的中DF=(0,√2,1),在直三棱柱ABC-A₁

B₁C₁

中

，AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,∴AC,BC,CC₁两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC₁分别为x

轴

、y

轴、z

轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),

C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4).∵AC=(-3,0,0),BC₁=(0,-4,4),∴AC-BC₁=0,∴AC⊥BC₁,∴AC⊥BC₁

.例6.如图，在直三棱柱

ABC-A₁

B₁C₁中，AC=3,BC=4,AB=5,AA₁

=4.(1)求证：AC⊥BC₁.例题解析(2)在线段

AB上是否存在点D,

使得

AC₁

⊥CD?假设在线段AB上存在点D,

使得AC₁

⊥CD,设AD=入AB=(-3λ,4λ,0),

其中λ∈[0,1],则

D(3-3λ,4λ,0),于是CD=(3-3λ,4λ,0).∵AC₁=(-3,0,4),

且AC₁

⊥CD,∴-9+9λ=0,

解得λ=1.∴在线段

AB上存在点D,

使得AC₁

⊥CD,且这时点D与

点B

重

合

.例题解析例7.如图，在长方体ABCD-A₁

B₁C₁

D₁中，AA₁

=AD=1,E为

CD

的中点

.(1)求证：B₁E⊥AD₁

.以

A为原点，AB,AD,AA₁

所在直线为x轴、y

轴

、z轴建立空间直角坐标系(如图).a设AB=a,

则A⁰,0,0),D(0,1,0),D₁0,1,1),E5,1,0),B-(a,0,1),BBAC₁ACDD例题解析AjC故AD₁=(0,1,1),D₁Dy所以B₁

E⊥AD₁

.B₁B.假设在棱AA₁

上存在一点P(0,0,zo),

其中z₀∈[0,1],又设平面

B₁AE的法向量

n=(x,y,z),AB₁=(a,0,1),要使DP//平面B₁AE,

只

要n⊥DP,

,解得

(2)在棱

AA₁上是否存在一点P,

使得DP//

平面B₁AE?

若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由!又DP4平面B₁AE,

所以存在点P,满足

DP/

平面