矩阵分析课件 2.4 酉空间

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2.4酉空间1、酉空间与酉矩阵定义2.8如果设复数域

C，复矩阵欧氏空间针对实数域上的线性空间讨论，而酉空间是欧氏空间在复数域上的推广。定义其共轭矩阵为，其中是定义矩阵A的共轭转置矩阵为，即的共轭复数。复共轭转置矩阵性质：（A

，B是复矩阵，）（1）（2）（3）（4）（5）

当

A可逆时，定义2.9如果方阵

A满足如果方阵

A满足，则称

A为反Hermite矩阵。例如，为一个二阶Hermite矩阵；为一个二阶反Hermite矩阵。，则称

A为一个Hermite矩阵。定义2.10方阵

A满足，称

A为一个酉矩阵。当

A为实矩阵时，酉矩阵

A也就是正交矩阵。例如，为一个三阶酉矩阵。定义2.11设V是复数域

C上的线性空间，如果对于V中，都有一复数与之对应，记为且它满足下列条件:（1）（2）（3）（4），当且仅当时等号成立，则称为与的内积。定义了内积的复线性空间V称为酉空间，也称为复内积空间。任意两个元素

对复线性空间中的向量定义则它是内积，按此内积构成酉空间。对复线性空间中的矩阵规定则它是内积，按此内积构成酉空间。称为的共轭转置酉空间的内积有如下基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）

Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即这是因为，或当且仅当线性相关时等号成立。与欧氏空间一样，定义元素的长度为满足的元素为单位元素。酉空间中的内积一般是复数，元素间不易定义夹角，满足时，与正交（或垂直）。在

n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基。定理2.7任意一组线性无关的元素可以用Gram-Schmidt定理2.8两个标准正交基间的过渡矩阵是酉矩阵。但仍可引入正交等概念，即当正交化方法将其正交化，并扩充成标准正交基。称2、酉变换与Hermite变换定义2.12设

T是酉空间V上的线性变换，如果对于V中任意，都有则称

T为V上的酉变换。如果线性变换

T满足则称

T为V上的Hermite变换。的矩阵是Hermite矩阵。定理2.10设

T是

n维酉空间V的Hermite变换，则存在V的元素定理2.9设

T是

n维酉空间V的线性变换，则

T是酉变换充分必要条件是，T在V的标准正交基下的矩阵是酉矩阵；T是Hermite变换的充分必要条件是，T在V的标准正交基下标准正交基，使

T在该基下的矩阵为

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