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4.3矩阵矩阵的满秩分解

定义4.5设，如果存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得A=FG

，则称之为A的满秩分解。定理4.13设

，则

A一定有满秩分解。证

当r=m时，是A的一个满秩分解；而当r=n

时，是A的一个满秩分解。下面设因为，对A施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵其中G为矩阵，并且；则一定存在m阶可逆矩阵P（有限个初等矩阵的乘积），使得PA=B，即将矩阵分块为，且由于P可逆，有，。则其中F是列满秩矩阵，G是行满秩矩阵。注：矩阵A的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r

阶非奇异矩阵D，则有例4.6求矩阵

的满秩分解。解

对矩阵A进行初等行变换可见而

，其中所以有定义4.6若

满足以下条件：（1）矩阵H的前r行中的每一行至少含有一个非零元素，并且第一个非零元素是1，而后m-r行元素均为零；（2）如果矩阵H

的第i行的第一个非零元素1在第列则；（3）矩阵H的列是单位矩阵的前r列；则称矩阵H为Hermite标准形（或行最简型）。Hermite标准形有如下形式定义4.7以n阶单位矩阵I的n个列向量为列构成的n

阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。对于任意一个秩为r的矩阵A

，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形H，而且矩阵H的前r

行元素组成的行向量组线性无关。若为一个n阶置换矩阵，则AP是将A的列按的顺序重新排列，是将A

的行按的顺序重新排列，是将A

的行和列同时按

的顺序重新排列。可见Hermite标准形一定可以通过右乘置换矩阵变成的形式。下面我们将借助Hermite标准形给出另一种计算满秩分解的方法。定理4.14设的Hermite标准形为H

，则在矩阵A的满秩分解A=FG中，可以取矩阵F为A的列构成的阶矩阵，G为H

的前R行构成的阶矩阵。例4.7

求矩阵

的满秩分解解先求出矩阵A的Hermite标准形可见，。因此F为A的第1列与第2列构成的矩阵，G为H的前2行构成的矩阵，

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