华东师大版初中数学九年级上册阶段素养综合测试卷(二)课件

九年级上册

数学华东师大版阶段素养综合测试卷(二)(时间：90分钟

满分：120分)一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1.(2024山东菏泽成武期末,1,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,

=

,则∠B=

对应目标编号M9124004(

)A.30°B.45°C.60°D.90°C解析C∵∠C=90°,

=

,cosB=

,∴cosB=

,∴∠B=60°.2.(2023黑龙江哈尔滨松北三模,9,★☆☆)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=

3,下列结论错误的是

(

)

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

B解析B∵DE∥BC,AD=2,BD=3,∴△ADE∽△ABC,

=

=

,故A中结论正确;

=

=

=

,故D中结论正确;∵△ADE∽△ABC,∴

=

=

=

,故B中结论错误;

=

=

=

,故C中结论正确.故选B.3.(2024湖南衡阳成章实验中学月考,5,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD

⊥AB,下列用线段比表示cosA的值,错误的是

(

)

A.

B.

C.

D.

D解析D∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∴∠A=∠DCB,∴cosA=cos∠DCB=

=

=

,故选项A,B,C正确,选项D错误.4.(2024河南驻马店西平期中,6,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,点D

在BC边上,AB⊥AD,AD=2,则BC的长为

(

)

A.4B.5C.6D.8C解析C∵AB=AC,∠C=30°,∴∠C=∠B=30°,∴∠BAC=120°,∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∵AD=2,∴BD=2AD=4,∵∠DAC=120°-90°=30°,∴∠DAC=∠C,∴DC=AD=2,∴BC=BD+DC=4+2=6.5.(2024河南驻马店西平期中,6,★☆☆)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方

形的边长均为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则sin∠BAC的值是

(

)

A.

B.

C.

D.

A解析A如图,延长AC到D,连结BD,

由图可知AD2=20,BD2=5,AB2=25,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴sin∠BAC=

=

=

.6.(2024山西晋城阳城期末,4,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F

(-2,-2),若△OEF与△OE'F'关于点O位似,S△OEF∶S△OE‘F’=4∶1,则点F的对应点F'的坐标为

对应目标编号M9123006(

)A.(1,1)B.(4,4)C.(4,4)或(-4,-4)D.(1,1)或(-1,-1)D解析D∵△OEF与△OE'F'关于点O位似,S△OEF∶S△OE'F'=4∶1,∴

=2,∵F(-2,-2),∴F'的坐标为

或

,即(-1,-1)或(1,1).7.(2023河北廊坊广阳二模,14,★☆☆)如图,△ABC与△DEC都是等边三

角形,固定△ABC,将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周,在△DEC旋转的

过程中,下列说法正确的是

(

)

A.△DEC总与△ABC位似B.△DEC与△ABC不会位似C.只有当点D落在CB上时,△DEC与△ABC位似D.存在两个位置使得△DEC与△ABC位似D新考法解析D

∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴△ABC总与△DEC相似.∵在

△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC上或线段AC的延长线上时,直线

AD和直线BE相交于点C,∴在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC上

或线段AC的延长线上时,△DEC与△ABC位似.故选D.8.(2024山西长治潞州二模,6,★☆☆)上午9时,一艘船从A处出发,以每小时40海

里的速度向正东方向航行,10时到达B处(如图).从A,B两处分别测得小岛M在北

偏东45°方向和北偏东15°方向,那么船在B处时与小岛M的距离为

(

)

A.20

海里B.20

海里C.40海里D.40

海里D解析D如图,过点B作BN⊥AM于点N,

由题意得,AB=40×1=40(海里),∠ABM=90°+15°=105°,在Rt△ABN中,BN=AB·sin45°=20

(海里),在Rt△BNM中,∠MBN=105°-45°=60°,∴∠M=30°,∴BM=2BN=40

(海里),即船在B处时与小岛M的距离为40

海里.9.(2024吉林长春十三中月考,10,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC

=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,D,E分别为CN,MN的中点,则DE的

最小值是

对应目标编号M9123005(

)

A.2B.

C.3D.

B解析B连结CM(图略),当CM⊥AB时,CM的值最小,此时DE有最小值.∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=

=

=10,∴

AC·BC=

AB·CM,∴

×6×8=

×10×CM,∴CM=

,∵D,E分别为CN,MN的中点,∴DE=

CM=

×

=

,即DE的最小值是

.10.(2023山东日照中考,16,★★★)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在对角线

BD上,过点P作MN⊥BD,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连

结EN,BM,DN.下列结论:①EM=EN;②四边形MBND的面积不变;③当AM∶MD

=1∶2时,S△MPE=

;④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号为

(

)

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④C解析C①当点N与点C重合时,可知EM≠EN,故①错误;②延长ME交BC于点H,∵MN⊥BD,∴∠MPD=90°,∴∠PMD+∠PDM=90°,∵ME⊥AD,∴∠EMD=90°,∴∠EMP+∠PMD=90°,∴∠EMP=∠PDM,∵∠MHN=∠A=90°,∴△MHN∽△DAB,∴

=

,易得BD=10,MH=6,∴

=

,解得MN=

,∴S四边形MBND=

×10×

=

,故四边形MBND的面积不变,故②正确;③当AM∶MD=1∶2时,易证△DME∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得ME=4,易证△MPE∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得S△MPE=

,故③正确;④如图,过点D作MN的平行线,过点M作ND的平行线,两线交于点F,连结BF,则四边形MNDF为平行四边形,∴MF=ND,则BM+MN+ND=BM+

+MF,又BM+MF≥BF,故当B、M、F三点共线时,BM+MF最小,最小值为BF的长,易知BD⊥DF,DF=MN=

,∴BF=

=

,∴BM+MN+ND的最小值为

+

=20,故④正确.故正确结论的序号是②③④.

二、填空题(共6小题,每小题4分,计24分)11.[一题多解](2024河南南阳邓州期末,11,★☆☆)已知

=

,则

的值为

.

对应目标编号M9123001解析解法1(利用比例的基本性质):∵

=

,∴5(a-b)=3b,∴5a=8b,∴

=

.解法2(利用合比性质):∵

=

,∴

=

,即

=

.解法3(利用等式的基本性质):∵

=

,∴

-

=

,即

-1=

,∴

=

.12.(2024江苏镇江丹徒期末,6,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=34°,D

是AB的中点,则∠ACD=

°.

56解析∵∠ACB=90°,∠B=34°,∴∠A=56°,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DA=DC,∴∠ACD=∠A=56°.13.(2024吉林长春十三中期末,9,★☆☆)在△ABC中,已知两锐角A、B,且cos

=

,则△ABC是

三角形.直角解析∵cos

=

,∴

=45°,∴∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°,故△ABC是直角三角形.14.(2023福建莆田荔城擢英中学期末,15,★☆☆)如图,已知在电线杆AB上有一

个光源,身高1.8m的小明站在与电线杆底部A相距2m的点C处,其影长CE=1m,

若他沿AC方向走4m到达点F处,则此时他的影长是

m.(图中CD,FG均

表示小明身高)

对应目标编号M9123002

3解析如图,连结BG并延长,交直线AE于M,∵AB⊥AM,DC⊥AM,GF⊥AM,∴CD∥AB,GF∥AB,∴△EDC∽△EBA,△MGF∽△MBA,∴

=

,

=

,∴

=

,

=

,解得FM=3,即此时他的影长是3m.15.(2024湖南怀化期末,17,★☆☆)某中学数学兴趣小组

在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如

下:对于三个实数a,b,c,用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如:min{1,2,3}=

1,min{sin30°,cos45°,tan60°}=

.结合上述材料,可求得min{3tan45°,2sin60°,4cos60°}=

.解析∵tan45°=1,sin60°=

,cos60°=

,∴3tan45°=3×1=3,2sin60°=2×

=

,4cos60°=4×

=2,∵

<2<3,∴min{3tan45°,2sin60°,4cos60°}=

.新考向新定义试题16.(2023四川泸州中考,16,★★☆)如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,

P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,

的值是

.

解析如图,作点F关于AC的对称点F',易知点F'落在AD上,连结EF'交AC于点P',

易知当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值,过点F'作AD的垂线段,交AC于点K,

设正方形ABCD的边长为a,则AF'=AF=

a,AE=

a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=

a,∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠F'KA=45°,∴AK=

a,∠F'KA=∠P'AE,F'K=AF'=

a,∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP',∴

=

=2,∴AP'=

AK=

a,∴CP'=AC-AP'=

a,∴

=

,∴当PE+PF取得最小值时,

的值是

.三、解答题(共6小题,计66分)17.(2024福建福州鼓楼三牧中学月考,17,★☆☆)(6分)计算:

对应目标编号M9124004(1)sin260°-tan30°·cos30°+tan45°.(2)sin60°·cos60°-tan30°·tan60°+sin245°+cos245°.解析

(1)原式=

-

×

+1=

-

+1=

.(2)原式=

×

-

×

+1=

-1+1=

.18.(2024吉林长春汽开区二模,22,★☆☆)(8分)莱芜红石公园西北角有一红色八

角空心七层宝塔“赢圣塔”.某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量.如

图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为45°,再往楼的方向前进17m至B处,测得仰角

为60°,问该塔的高度为多少?(学生的身高忽略不计,

≈1.7,结果精确到0.1m)

解析设“赢圣塔”的高度为xm,由题意可知∠D=90°,∵∠A=45°,∴AD=CD=xm,∵AB=17m,∴BD=(x-17)m,在Rt△BDC中,∵∠DBC=60°,∴tan∠DBC=tan60°=

=

,∴x=

=

≈40.0,故该塔的高度约为40.0m.19.(2023山西大同新荣三模,18,★☆☆)(10分)下图是体育场篮球架的实物图和

示意图,已知支架AB的长为2.3m,支架AB与地面的夹角∠BAC=70°,BE的长为1.5m,支架BD与水平支架BE的夹角为46°,BC,DE垂直于地面,求篮板顶端D到地面的距离.(结果保留一位小数,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04)

对应目标编号M9124006

解析如图,延长DE与AC的延长线相交于点G,易知DG⊥AG,BC=EG,在Rt△ABC中,∠BAC=70°,AB=2.3m,∴BC=AB·sin70°≈2.3×0.94=2.162m,∴EG=BC=2.162m,在Rt△BDE中,∠DBE=46°,BE=1.5m,∴DE=BE·tan46°≈1.5×1.04=1.56(m),∴DG=DE+EG=1.56+2.162≈3.7(m),故篮板顶端D到地面的距离约为3.7m.20.(2024山东滨州滨城期末,22,★☆☆)(12分)【材料阅

读】直角三角形射影定理又称“欧几里得定理”.定理的内容是直角三角形中,

斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边

在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一定理可以描述如下:如图,在Rt△ABC中,满足条件:∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,则有如下结论

成立:①CD2=AD·DB;②BC2=BD·BA;③AC2=AD·AB;④AC·BC=AB·CD.【自主探究】请证明结论③AC2=AD·AB.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高,求证:AC2=AD·AB.【直接运用】运用射影定理解决下面的问题:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高,若AC=6,BD=9,求CD的长.

新考向新定义试题解析【自主探究】证明:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°,∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB.【直接运用】设AD的长为x,则AB=x+9,由(1)知AC2=AD·AB,∴x(x+9)=62,解得x1=3,x2=-12(不合题意,舍去),∴AD=3,∵CD2=AD·DB,∴CD=

=

=3

.

21.(2024河南新乡辉县一模,23,★★☆)(14分)小明利用折射定

律sinα·n1=sinβ·n2(n1,n2为折射率,∠α为入射角,∠β为折射角)制作了一个测算液

体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使

光线折射后恰好落到点C.已知sin∠1=

,空气折射率n1为1,正方形ABCD的边长为36cm.(1)如图①,装入某款家用食用油时,恰好CF=15cm,求该食用油的折射率.(2)如图②,装入纯净水时,若水的折射率为

,求CF的长度.

学科物理解析

(1)易知∠1=∠EAP,又sin∠1=

,∴sin∠EAP=

=

,设EP=4xcm,AP=5xcm,∴PF=(36-4x)cm,AE=

=3xcm,∴CF=(36-3x)cm,∴36-3x=15,解得x=7,∴PF=36-4x=8(cm),∴CP=

=17cm,∴sin∠2=sin∠PCF=

=

,∵sinα·n1=sinβ·n2,∴

×1=

n