2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位,2iA.1+i B.−1+i C.1−i D.−1−i2.已知向量a=(x,2),b=(−1,3)，若(a+bA.6 B.−6 C.16 D.−163.已知直线m和平面α、β，则下列结论一定成立的是(

)A.若m/​/α，α/​/β，则m//β B.若m⊥α，α⊥β，则m//β

C.若m/​/α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，α/​/β，则m⊥β4.若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于(

)

A.6 B.6π C.35π5.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨6.在正三棱台ABC−A1B1C1中，已知AB=3A.212 B.74 C.2147.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=8,B=π6.若△ABC有两解，则b的值可以是A.4 B.6 C.8 D.108.已知四面体A−BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为(

)A.28π3 B.14π C.28π D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是(

)A.i9=i B.复数z=3−2i的虚部为2i

C.对任意复数z都有|z|2=z10.已知向量a=(1,2)，b=(3,−1)，c=(2,m)，则下列说法正确的是A.若m=1，则a与c夹角的余弦值为45

B.若(a+b)//c，则m=12

C.若m>−1，则a与c夹角为锐角11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，FA.AD1/​/平面BEF B.B1C⊥平面BEF

C.异面直线B1D1与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z+2z−=3−i，则z13.已知i，j为单位向量，且它们之间的夹角为60°,a=i−2j，b=i+λj14.如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知e1=(1,0)，e2=(0,1)，m=3e1−2e2，n=e1+λe216.(本小题15分)

如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点．

(1)求证：SA/​/平面EDB；

(2)求三棱锥E−ABD的体积．

(3)若F为侧棱AB的中点，求证：EF/​/平面SAD．17.(本小题15分)

四棱锥P−ABCD中，PB=PD2=AB=2BC=2CD=2，AB/​/CD，∠ABC=90°．

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)当PD⊥平面ABCD时，求直线PC与平面PAD18.(本小题15分)

设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23,2a−c=2bcosC．

(1)求角B；

(2)若a+c=4，求△ABC的面积；

(3)求△ABC19.(本小题17分)

如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA．

①求三棱锥Q−ABP的体积；

②求二面角

参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.B

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.213.(−∞,−2)∪(−2,0)

14.26

15.解：(1)因为e1=(1,0)，e2=(0,1)，m=3e1−2e2，n=e1+λe2，

所以m=(3,0)−(0,2)=(3,−2)，n=(1,0)+(0,λ)=(1,λ)，

因为m//n，所以3λ=−2，解得λ=−23．

(2)由a=(2,0)+(0,1)=(2,1)，16.解：(1)证明：连接AC交BD于O，连接OE，

∵E为侧棱SC的中点，O是AC的中点，

∴OE//SA，

∵SA⊄平面EDB，OE⊂平面EDB，

∴SA/​/平面EDB．

(2)∵E为侧棱SC的中点，

∴E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，

∴E到平面ABCD的距离ℎ=12SD=2.，

∴VB−ADE=VE−ABD=13S△ABD⋅ℎ．

=13×(12×2×2)⋅2=43．

(3)证明：设M为侧棱SD的中点，连结ME，EF，

∵E为侧棱SC的中点，F为侧棱AB的中点，

∴ME//DC,ME=12DC，

∵AF//DC,AF=12DC，

17.解：(1)证明：取AB中点E，

因为AB=2，

所以AE=BE=1，

因为∠ABC=90°，AB/​/CD，BC=CD=1，

所以四边形BCDE是正方形，

所以BE⊥ED，BC⊥CD，

所以BD=BC2+CD2=12+12=2，

DE=1，

AD=ED2+AE2=12+12=2，

在△ADB中，AE2+DE2=12+12=2=AD2，

所以AD⊥BD，

在△PDB中，PD2+BD2=(2)2+(2)2=4=PB2，

所以PD⊥BD，

又AD∩PD=D，

所以BD⊥面PAD，

又BD⊂面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)18.解：(1)因为2a−c=2bcosC，

由正弦定理可得2sinA−sinC=2sinBcosC，

而在三角形中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2cosBsinC−sinC=0，sinC>0，

可得cosB=12，B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)因为b=23，a+c=4，

由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2ac⋅12，

即12=16−3ac，解得ac=43，

所以S△ABC=12acsinC=119.解：(1)证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，

又AB⊥DA.且AD∩AC=A，

∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC；

(2)①∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=32，

∴BP=DQ=23DA=22，

由(1)得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，

∴三棱锥Q−ABP的体积V=13S△APB×13DC，

=13×23S△ABC×13DC=13×23×12×3×3×13×3=1．

②在△ACD中，过Q作QN//DC交AC于点N，

过N作NO⊥AP交AP于点O.∵由(Ⅰ)知平面ACD⊥平面ABC，

平面ACD∩平面ABC=AC，∠DCA=90°，∴DC⊥平面ABC，

∵QN//