2023-2024学年重庆市长寿中学高一（下）段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市长寿中学高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中，正确的是(

)A.若a/​/b，b⊂α，则a/​/α B.若a/​/α，b⊂α，则a/​/b

C.若a/​/α，b/​/α，则a/​/b D.若a/​/b，b/​/α，a⊄α，则a/​/α2.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC=(

)A.−13 B.−14 C.3.若−12+32i是关于x的实系数方程aA.15−35i B.154.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC的面积S=a2+b2−A.90° B.60° C.45° D.30°5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(    )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸6.如图、四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是(

)A.AB=2

B.AD=2

C.四边形ABCD的周长为4+22+237.如图，圆锥的母线长为2，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为5，则此圆锥的表面积为(

)

A.π B.54π C.328.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若5cosB−8cosC8c−5b=cosAa，又△ABC的面积S=103，且A.64 B.84 C.−69 D.−89二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.欧拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是(

)A.e3i对应的点位于第二象限 B.e2πi为实数

C.exi的模长等于12 10.已知a=(t,−2),b=(−4,t)，则A.若a//b，则t=±22

B.若a⊥b，则t=0

C.|a−b|的最小值为211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA+tanB=3cacosBA.A=π6

B.若a=2，则该三角形周长的最大值为6

C.若△ABC的面积为2，则a有最小值

D.设BD=c2b+c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=m2−4+(m+2)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m13.设e1,e2是不共线的两个向量，AB=e1+ke2,14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱A

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=2,|b|=3,(a+b)⋅b=8．

(1)求|a16.(本小题15分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点；

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求三棱锥E−BDC的体积．17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．

(1)若AO=xAB+yAC，求x+y的值；

(2)若18.(本小题17分)

已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为14，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若△PAB的面积为215．

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值；

(3)19.(本小题17分)

已知△ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E均在线段BC上，AD为中线，AE为∠BAC的平分线．

(1)若S△ABE=2S△ACE，求证c=2b；

(2)在(1)的条件下，若AC=3DE，求cosB；

(3)若bc=20，BC=10，AD≤5

参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.AB

10.AB

11.BCD

12.2

13.−4

14.615.解：(1)因为|a|=2,|b|=3，(a+b)⋅b=8，

所以a⋅b+b2=8，即a⋅b+32=8，则a⋅b=−1，

16.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=O，则O为AC的中点，连接OE，

因为E为PC的中点，则OE/​/PA，

又PA⊄平面OBE，OE⊂平面OBE，

所以PA//平面DBE；

(2)解：在正四棱锥P−ABCD中，O为底面ABCD的中心，连接PO，

则PO⊥底面ABCD，AC=2a，PO=22a，

因为E为PC的中点，则点E到平面ABCD的距离为ℎ=12PO=17.解：(1)由题意可知，BP=13BC，

所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，

又O是线段AP的中点，所以AO=12AP=12(23AB+13AC)=13AB+16AC，

又AB、AC不共线，且AO=xAB+yAC，

所以x=118.解：(1)设圆锥母线长、底面半径分别为l(l>0)、r(r>0)，

由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，则l2+l2=(2r)2，解得l=2r，

又cos∠APB=14，∴sin∠APB=1−cos2∠APB=1−(14)2=154，

又∵△PAB的面积为215，

∴S△PAB=12PA⋅PB⋅sin∠APB=12l2×154=215，解得l=4(负值舍去)，

又l=2r，∴r=22，

∴圆锥的侧面积S=12×2πr×l=π×22×4=82π；

(2)作出轴截面如下所示：

设圆柱底面半径x(0<x<22)，即OF=O1G=x，

由(1)可知∠CPO=45°，则PO119.(1)证明：设△ABC边BC上的高为ℎ，

因为S△ABE=2S△ACE，即12BE⋅ℎ=2×12CE⋅ℎ，所以BE=2CE，

又因为AE为∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE，

在△ABE中，由正弦定理得ABsin∠AEB=BEsin∠BAE，

在△ACE中，由正弦定理得ACsin∠AEC=CEsin∠CAE，

又∠AEB+∠AEC=π，所以sin∠AEB=sin(π−∠AEC)=sin∠AEC，

所以ABAC=BECE=2，即cb=2，

即c=2b；

(2)解：因为BE=2CE，D为BC的中点，所以DE=23BC−1