2023-2024学年广西柳州市铁一中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西柳州市铁一中学高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R

C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀2.已知函数f(x)=lnx,0<x≤13f(x−1),x>1，则f(103A.−9ln3 B.9ln3 C.−27ln3 D.27ln33.已知a=2−1.1，b=ln3，c=12A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c4.已知平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−35,−45) B.(5.函数f(x)=x2+4x+1xA. B.

C. D.6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+bA.16 B.25 C.36 D.497.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为(

)

(精确到A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.98.设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实x，恒有f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2.若g(x)=f(x)−logax在x∈(0,+∞)A.(18,16)∪(3,7) B.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件

B.命题“∃x∈[0,1]，x+a≤0”是假命题的实数a的取值范围为{a|a>0}

C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件

D.“关于10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若tanA=bcosB，则△ABC为等腰三角形

C.若A=30°,b=4,a=23，则△ABC有两解

D.在△ABC中，若B=60°，b211.在如图所示的三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，OA，OB，OC两两互相垂直，下列结论正确的为(

)A.直线AB与平面OBC所成的角为30°

B.二面角O−BC−A的正切值为2

C.O到面ABC的距离为3

D.作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足2z+z−=3−2i，其中i为虚数单位，则复数z13.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中抽取部分产品.若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为______．

14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−c)cosB−bcosC=0．

(1)求B；

(2)已知b=3，求116.(本小题15分)

已知A(4,0)，B(0,4)，C(cosα,sinα)，(0<α<π)．

(1)若|OA+OC|=21(O为坐标原点)，求OB与OC的夹角；

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=4.点E在侧棱PC上(端点除外)，平面ABE交PD于点F．

(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；

(2)若PF=3FD，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．18.(本小题17分)

辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分(保留两位小数)；

(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；

(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级.若两科笔试成绩均为A+，则直接参加；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为14，15，25，119.(本小题17分)

已知f(x)=a−22x+1(a∈R)是定义在R上的奇函数．

(1)求f(x)的值域；

(2)设函数g(x)=log2x2⋅log参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.−2

13.89

14.42915.解：(1)因为(2a−c)cosB−bcosC=0，由正弦定理可得(2sinA−sinC)cosB−sinBcosC=0，

即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)，

在三角形中，sin(B+C)=sinA>0，

所以cosB=12，

又因为B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)B=π3，b=3，

由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB=332=2，

所以a=2sinA，c=2sinC，

所以12a+2c=sinA+4sinC=sin(π3+C)+4sinC

=32cosC+116.解：(1)因为A(4,0)，B(0,4)，C(cosα,sinα)，

所以OA=(4,0),OB=(0,4),OC=(cosα,sinα)，

所以OA+OC=(4+cosα,sinα)，

由|OA+OC|=21，得(4+cosα)2+sin2α=21，

结合sin2α+cos2α=1，解得cosα=12，

又因为0<α<π，所以α=π3，即C(12,32)，

设OB与OC的夹角为β(0≤β≤π)，

则cosβ=OB⋅OC|OB||OC|=234=32，

又因为0≤β≤π，故OB17.(1)证明：因为AB/​/CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，

所以AB/​/平面PCD，

又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，

所以AB/​/EF，

因为EF<CD=AB，所以四边形ABEF为梯形，

因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF，

所以四边形ABEF为直角梯形．

(2)解：(法一)以A为原点，向量AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

所以AB=(4,0,0),AP=(0,0,4),PD=(0,4,−4),PC=(4,4,−4)，

因为PF=3FD，

所以AF=AP+PF=AP+34PD=(0,0,4)+(0,3,−3)=(0,3,1)，

设m=(x,y,z)为平面ABEF的法向量，则m⋅AB=0,m⋅AF=0,即4x=0,3y+z=0,

取y=1，则z=−3，所以m=(0,1,−3)，

设直线PC与平面ABEF所成角为θ，则sinθ=|cos<m，PC>|=|m⋅PC||m|⋅|PC|=4+1210×43=23015，

所以直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为23015．

(法二)因为AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面PAD，

作PM⊥AF，垂足为M，

因为平面ABEF∩平面PAD=AF，PM⊂平面PAD，

所以PM⊥平面ABEF，

连接EM，则∠PEM为直线PC与平面ABEF所成的角，

在Rt△PAD中，因为PA=AD=4，所以18.解：(1)由频率分面直方图得[70,80)的频率为：

1−(0.015+0.030+0.010+0.005)×10=0.40，

∴[70,80)组的纵轴为0.40÷10=0.040，

∴补全频率分布直方图为：

∵(0.010+0.005)×10=0.15<0.3，

0.4+(0.010+0.005)×10=0.55>0.3，

∴第70%分位数位于[70,80)，且0.4−0.150.4×10+70=76.25，

∴入围分数线为76.25分．

(2)依题意从[80,90)抽取6×0.010.01+0.005=4人，标记为1，2，3，4，

从[90,100]抽取6×0.0050.010+0.005=2人，标记为a，b，

从6人中随机选2人，基本事件有15个，分别为：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，(3,4)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)，

设事件A为“至少有1名学生成绩不低于90”，

则事件A包含的基本事件有9个，分别为：

(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)，

∴至少有1名学生成绩不低于90的概率为P(A)=915=35；

(3)依题意甲能参加冬令营的概率为：

P19.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=a−1=0，解得a=1．

经验证a=1符合题意，

所以f(x)=1−22x+1，

当x≥0时，2x≥1，

所以22x+1≤1，所以0≤1−22x+1