2023-2024学年度湖南省雅礼教育集团2024年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年度湖南省雅礼教育集团2024年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x∈Z|x2−3x−4≤0}，N={x|0<x≤3}，则M∩N=A.{−1,0,1,2,3} B.{1,2,3} C.(0,3] D.[−1,4]2.设i为虚数单位，复数z满足(1+i)z=−1+2i，则z⋅z为(    )．A.102 B.5 C.2 3.设α，β为两个不同的平面，则α//β的一个充分条件是(

)A.α内有无数条直线与β平行 B.α，β垂直于同一个平面

C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一条直线4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=3，且f(1)=0，则f(2023)=(

)A.−3 B.0 C.1 D.35.已知向量a，b满足|b|=1，a⊥b，则a−2bA.2 B.2a C.−2b 6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)A.43πa2 B.73π7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60∘和20∘，且BC=a米，则该球体建筑物的高度为(

)米．

A.a4cos10∘ B.a2cos8.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S−ABCD所得的截面面积为(    )．A.33 B.63 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3;乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是(

)A.平均来说乙班比甲班防守技术好

B.乙班比甲班防守技术更稳定

C.乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差

D.甲班很少不失球10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M=“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(

)A.若n=2，则M与N不互斥 B.若n=2，则M与N相互独立

C.若n=3，则M与N互斥 D.若n=3，则M与N相互独立11.如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB=AD，∠ABC=90∘，∠BAC=60∘，AB=1.下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥.折法 ①;将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1−ABC，如图1.折法 ②:将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图A.按照折法 ①，三棱锥D1−ABC的外接球表面积恒为4π

B.按照折法 ①，存在D1满足AB⊥CD1

C.按照折法 ②，三棱锥A1−BCD体积的最大值为38

D.按照折法 ②，存在A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.当a>0且a≠1时，函数y=ax−2+4的图象一定经过定点

13.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB=BC=6，则|PC|=

．14.已知向量a，b满足a+b⋅b=0，a+4b四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期T;(2)求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合．16.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c+b−2acos(1)求角A;(2)若a=23，BA⋅AC=32，17.(本小题12分)我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数;(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?18.(本小题12分)如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4(1)求证：AM/​/平面BDN;(2)求证：A1C⊥DN19.(本小题12分)

已知平面四边形ABCD，AB=AD=2，∠BAD=60∘，∠BCD=30∘，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段(1)求证：BP⊥平面ACD;(2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值;(3)在(2)的条件下，求二面角P−BM−D的平面角的余弦值．

参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

6.B

7.B

8.A

9.ACD

10.AD

11.ACD

12.(2,5)

13.12

14.415.解：(1)由f(x)=32sin2x+12cos2x+1得f(x)=sin(2x+π6)+1，

所以T=2π2=π；

(2)由16.解：(1)因为2c+b−2acosB=0，由正弦定理可知：∵sinC=∴2cosA又A为三角形内角，所以A=(2)由BA⋅AC=32，得cba∵AD=所以AD=

17.解：(1)第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为0.30，

第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，所以中位数在第三组，不妨设为x，则x−85×0.06=0.5−0.05−0.35，解得x=85+平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25；(2)根据题意，“良好”的学生有40×0.4=16人，“优秀”的学生有40×0.6=24人，所以分层抽样得“良好”的学生有5×1640=2将三名优秀学生分别记为A,B,C，两名良好的学生分别记为a,b，则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是P=

18.解：(1)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，

点M和点N在棱CC1上，且CM=2CN=2，

连接AC、BD，设AC∩BD=O，连接ON，则O为AC的中点，

又N为CM的中点，所以ON//AM，

又AM⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，

所以AM/​/平面BDN．

(2)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，

则ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，

AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，

所以BD⊥平面AA1C1C，

A1C⊂平面AA1C1C，所以A1C⊥BD，

又AC=22，OC=2，CN=1，A19.证明：(1)∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∵P为AD中点，∴BP⊥AD，

取BD中点E，连接AE，则AE⊥BD，

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE⊂平面ABD，

∴AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

∴AE⊥CD．

又∵CD⊥AD，AD∩AE=A，AD、AE⊂平面ABD，

∴CD⊥平面ABD．

∵BP⊂平面ABD，∴CD⊥BP．

又∵CD∩AD=D，CD、AD⊂平面ACD，

∴BP⊥平面ACD．解：(2)过点M作MH⊥PC，垂足为H.如图所示由(1)知，BP⊥平面ACD．因为MH⊂平面ACD，所以

又BP∩PC=P，BP,PC⊂平面BPC，所以MH⊥平面BPC，所以∠MPC为MP与平面BPC所成角．由(1)知，CD⊥平面ABD,BD⊂平面ABD，所以CD⊥BD．在Rt▵BCD中，∵∠BCD=30∘,BD=2因为M为CD的中点，所以MD=CM=1在Rt▵PDM中，PM=在Rt▵PDC中，PC=在▵CPM中，，所以．所以MP与平面BPC所成角的正弦值为39(3)取ED的中点为O，连接PO，因为P为线段AD的中点，所以PO//AE,PO=1由(1)知，AE⊥平面BCD，所以PO⊥平面BCD．

又BM⊂平面BCD，所以PO⊥BM．过点P作PG⊥BM，垂足为G，连接OG．

PO∩PG=P，PO,PG⊂平面POG，所以BM⊥平面POG．

又OG⊂平面