2024年高中数学专题2-10重难点题型培优检测点线间的对称关系教师版新人教A版选择性必修第一册

专题2.10点、线间的对称关系一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）直线l:y=2x+3关于点PA．2x-C．2x-【解题思路】由题可得l和l'平行，设出方程，依据点P【解答过程】因为l和l'关于点P对称，则两直线平行，可设l'方程为2x点P到两直线的距离相等，则2×2-所以直线l'的方程是2故选：A.2．（3分）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则确定在直线l1A．(12,32)【解题思路】依据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为∴{1+x2=02+y2故选：C.3．（3分）两直线方程为l1:3x-2y-A．3x-C．2x-【解题思路】依据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线l2:x-y-2=0的对称点M'(x1，y1)【解答过程】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线x则y-y∵点M'在直线3x-2y-6=0化简得2x-3y-故选：C4．（3分）已知直线l1:y=2x+2，直线l2与A．-2 B．2 C．-2【解题思路】由直线l1与直线y=-x+1的交点在直线l2上可设直线l2:y【解答过程】联立y=2x所以直线l1与直线y=-所以点-2+1,2所以可设直线l2:y在直线y=-x+1上取一点0,1，则该点到直线所以-1+2-1k所以直线l2的斜率为2故选：D.5．（3分）若点A(a+2,b+2)与B(b-aA．-1，2 B．4，-【解题思路】由直线AB与已知直线垂直，及AB的中点在已知直线上列方程组可得a,【解答过程】因为点.A，B关于直线4x+3y-11=0对称，所以A，B两点所在直线的斜率k易知线段AB的中点b+22,1在直线4x+3y-故选：D．6．（3分）若两条平行直线l1：x-2y+m=0m>0与l2：A．x-2C．x-2【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【解答过程】因为直线l1：x-2y+所以n=又两条平行直线l1：x-2y+m=0所以|2m+6|即直线l1：x-2y+7=0设直线l1关于直线l2对称的直线方程为则|-3-故所求直线方程为x-故选：A.7．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P动身，经BC、CA反射后又回到点P（如图所示），若光线QR经过△ABC的重心，则A．1 B．12 C．23【解题思路】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于直线QR过△ABC的重心，利用代入法可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP【解答过程】建立如图所示的直角坐标系：可得B(2,0),C(0,2)，故直线BC△ABC的重心为(0+2+0设P(a,0)则点P关于直线BC的对称点P1(x解得x=2y=2-a，即P1(2,2-由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k=2-a-0由于直线QR过△ABC的重心(23解得a=23，或a=0故选：C.8．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A1,1，若将军从山脚下的点B4,4处动身，河岸线所在直线l的方程为x-A．36 B．34 C．5 D．【解题思路】先求点B4,4关于直线x-y【解答过程】如图，设B4,4关于直线x-y则有a+42-b+42+1=0依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC，此时AC=故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：y=kx+1A．14,9【解题思路】先求点(2,4)关于直线l的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【解答过程】由题意知，k=tan135°=-1则n-4m-2所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y=故选：AD.10．（4分）下列说法正确的是（

）A．直线x-B．点0,2关于直线y=xC．直线x-2y+3=0D．经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x【解题思路】对A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对B，推断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率推断是否和直线垂直即可；对C，求出直线的对称直线即可推断；对D，可得直线过原点的状况.【解答过程】对A，直线x-y-2=0与两坐标轴交于0,-对B，点0,2和1,1的中点12,32在直线y=x+1上，且连线的斜率为2-1对C，联立直线方程x-2y+3=0x+y-3=0可得交点坐标1,2，任取直线x-2y+3=0上点-3,0，设其对称点为a,b，则对D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为y=故选：AB.11．（4分）已知点P(-1,1)与直线lA．过点P且截距相等的直线与直线l确定垂直B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条C．点P关于直线l的对称点坐标为(0,2)D．直线l关于点P对称直线方程为x【解题思路】对于A：干脆求出过点P且截距相等的直线y=对于B：干脆求出过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线；对于C：干脆求出点P关于直线l的对称点坐标0,0，即可推断；对于D：干脆求出直线l关于点P对称直线方程，即可推断.【解答过程】已知点P(-1,1)对于A：当截距为0时，直线y=-x当截距相等且不为0时，可设直线：xa+y所以过点P且截距相等的直线y=-x对于B：过点P的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为k，则直线为y-1=kx+1，所以三角形的面积为12对于C：设点P关于直线l的对称点坐标x,y，则有y-1x+1即点P关于直线l的对称点坐标0,0.故C错误；对于D：设直线l关于点P对称直线方程为x-y+c=0,c≠1，则有-1故选：AB.12．（4分）一条斜率不为0的直线l:ax+by+c=0，令f(x,y)=ax+by+c，则直线l的方程可表示为f(x,y)=0.现光线沿直线A．qfB．2C．4(D．f(x,y)【解题思路】首先利用对称性，先求出f(x,【解答过程】由题意知f(x,y)=0的图象过点(0,-py-pq=0，又f(x,y)=0和g(x对于A，qf(p,1)+对于B，2ff(x,y)+对于C，[f(1,1)+g(1,1)]2=[(q对于D，|f(x,y故选AB.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为【解题思路】由中点坐标公式求解即可【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为则点P为AB的中点．∴解得x=5y=6∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为故答案为：(5,6)．14．（4分）点P1a,b关于直线x+y=0的对称点是P2，P2【解题思路】利用已知条件求出P2、P3【解答过程】因为点P1a,b关于直线x所以P2又因为P2关于原点O的对称点是所以P3所以P1故答案为：2a15．（4分）已知A(3，0)，B(0，3)，从点P(0，2)【解题思路】求出P关于x轴对称点P1坐标，再求得P1关于直线AB的对称点P2【解答过程】直线AB的方程为：x点P0，2关于x设点P1(0，－2)关于直线则b+2a×(－1)=－1∴P∴光线所经过的路程=P故答案为：26．16．（4分）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为(-2,3)，若将军从0,2处动身，河岸线所在直线方程为x-【解题思路】求出点P0,2关于直线x-y+1=0的对称点P'的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，【解答过程】设P0,2点关于直线x-则a2-b+2所以P'设Q-2,3，设直线x-y则QN+PN=QN+P'而QP所以最短总路程为QP故答案为：13．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R)，P（3，-1），当k为1时，求直线l【解题思路】在直线l上取两个特殊点，分别求出这两个点关于点P的对称点，再依据两点式可求出直线l'【解答过程】当k=1时,直线l在直线l上取点A(0,3)和B点A(0,3)关于点P(3,-1)的对称点为A'(6,-则点A'(6,-5)和点由两点式可得直线l'的方程：y+5-2+5此时直线l与l'间的距离为|3+11|18．（6分）已知点A0,2，直线l1:(1)求点A关于直线l1的对称点B(2)求直线l2关于直线l【解题思路】（1）设点B(x,y)，则由题意可得x（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线l2上任取一点，求出其关于直线l1的对称点，从而可求出直线l2【解答过程】（1）设点B(x,解得x=3y=所以点B的坐标为(3,-（2）由x-y-1=0x在直线l2:x-2y+2=0x02-y0所以kCE所以直线CE为y-3=2(x所以直线l2关于直线l1的对称直线方程为19．（8分）已知直线l:2x-(1)点A关于直线l的对称点A'(2)直线m:3x-2y(3)直线l关于点A(-1,【解题思路】（1）依据斜率，中点关系，得出y0（2）先求出直线m与直线l的交点N，在直线m上取一点，如M(2,0)，结合对称性求出关于直线l的对称点M'，即可求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线（3）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．【解答过程】（1）解：因为点A(-1,-2)，设点A关于直线l的对称点A∵直线l:2∴解得x0=-（2）解：设直线m与直线l的交点为N，联立直线l与直线m，2x-3y+1=03x-2y在直线m上取一点，如M(2,0)则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线设对称点M'(a,b)，则∵m'经过点N∴所以直线m'的方程为y-3=（3）解：设直线l关于点A(-1,-2)∴N(x,y∴N'(代入直线方程得：2-2-x-20．（8分）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H.(1)求反射光线QH所在直线的方程；(2)求P点关于直线QH的对称点P'的坐标.【解题思路】（1）干脆利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程．（2）依据点关于线对称的性质列出方程组，通过解方程组求得点P'的坐标．【解答过程】（1）如图所示，作点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P（6，﹣4），则反射光线所在的直线过点P′和Q，所以kP′Q=-所以直线P′Q的直线方程为y＝﹣（x﹣2）．所以反射光线QH所在的直线方程为y＝﹣x+2．（2）假设P'（x0，y0），由点关于线对称的性质可得：y0可得x0＝﹣2，y0＝﹣4．所以P'（﹣2，﹣4）．21．（8分）已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点，且________，若直线m与直线l关于点1,0对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，依据第一个解答计分．①与直线【解题思路】选①可设直线l的方程2x-3y+c=0【解答过程】因为方程组2x+3y+8=0x-y所以两条直线2x+3y+8=0和若选①，可设直线l的方程为2x点-1,-2代入方程2x-3y在直线l上取两点-1,-2点-1,-2关于点1,0点2,0关于点1,0对称的点的坐标为（0，0），所以直线m的方程为2x若选②，可得直线l的斜率k=所以直线l的方程为y=在直线l上取两点1,3和-1,-2，点-1,-点1,3关于点1,0对称的点的坐标为1,-所以直线m的方程为y-2=2+322．（8分）已知直线l:x-y+3=0，一束光线从点A1,2处