高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)4.1数列的概念-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第二册)(原卷版+解析)

4.1数列的概念备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：数列的概念与辨析；根据规律填写数列中的某项；递增数列与递减数列；确定数列中的最大（小）项；有穷数列与无穷数列；写出数列中的项；求递推关系式；数列的周期性；数列的单调性求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．考点讲解考点讲解考点1：数列的概念与辨析例1．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【方法技巧】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【变式训练】1．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关2．下列说法中正确的是（

）A．数列，，，可以表示为B．数列，，，与，，，是相同的数列C．数列的第项为D．数列与是相同的考点2：根据规律填写数列中的某项例4．已知点在直线上，则数列的通项公式______；依次写出数列的前3项为______．【方法技巧】根据给定条件，直接写出通项公式，再写出对应的前3项作答.【变式训练】1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项2．已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（

）A． B． C． D．3．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．考点3：递增数列与递减数列例3．下列是递增数列的是（

）A． B． C． D．【方法技巧】根据递增数列的定义判断．【变式训练】1．已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列3．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：=______．考点4：确定数列中的最大（小）项例4．若，则数列的最大项是第______项．【方法技巧】，对应的二次函数为，对称轴为，找到离对称轴最近的整数即可．【变式训练】1．已知数列的通项公式为，则中的最大项为（

）A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项2．已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．3．已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.考点5：有穷数列与无穷数列例5．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【方法技巧】根据数列的概念，逐项判断即可.【变式训练】1．有穷等比数列，28，211，……，的项数是（

）A． B． C． D．n2．写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是__________.3．无穷数列前n项和为，若对任意的，则①___________；②数列中不同的项最多有___________个.请你写出一个符合题意的数列：___________.考点6：写出数列中的项例6．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式．，，，______，，，…，______．【方法技巧】本题可依次观察数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果【变式训练】1．按一定规律排列的单项式：a，，，，，，…，第n个单项式是（

）A． B．C． D．2．数列，的前5项为______．3．已知数列的递推公式为，则___________.考点7：求递推关系式例7．已知数列中，，，那么数列中的_________【方法技巧】根据数列的递推公式可得数列的通项公式，进而得解.【变式训练】1．已知数列，满足，若，则（

）A． B．2 C．1 D．2．已知数列满足，且，，则____________.考点8：数列的周期性例8．已知数列满足，，其前n项和为，则(

)A． B． C．3 D．【方法技巧】根据首项和递推公式求出数列前五项，判断出数列为周期数列，根据周期性即可求【变式训练】1．已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-42．数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．3．设数列满足且，则（

）A． B． C． D．34．已知是数列的前n项和，，，则___________．考点9：数列的单调性求参数例9．已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【方法技巧】结合数列单调性列式求解.【变式训练】1．数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．2．数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.3．已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围．知识小结知识小结1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．巩固提升巩固提升一、单选题1．记数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．2．数列满足，若，，则=（

）A． B． C．1 D．23．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．4．在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（

）．A．，6 B．2，1 C．，6或2，1 D．，75．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(

)A．2020 B．2021 C．59 D．606．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（

）A． B．C． D．7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（）A．1009 B． C． D．10108．在数列中，已知，，则（

）A．11 B．0 C．1 D．2二、多选题9．（多选）下面四个结论正确的是（

）A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数C．数列的图像是一系列孤立的点D．数列的项数是无限的10．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，三、填空题11．在数列中，，，，则______．12．数列的前项和，则______．13．在数列中，，，则______．14．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．四、解答题15．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，(2)，2，，8；(3)9，99，999，9999.16．已知数列的通项公式为.(1)0.98是不是数列中的项？(2)判断此数列的单调性.4.1数列的概念备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：数列的概念与辨析；根据规律填写数列中的某项；递增数列与递减数列；确定数列中的最大（小）项；有穷数列与无穷数列；写出数列中的项；求递推关系式；数列的周期性；数列的单调性求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．考点讲解考点讲解考点1：数列的概念与辨析例1．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【方法技巧】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【变式训练】1．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．下列说法中正确的是（

）A．数列，，，可以表示为B．数列，，，与，，，是相同的数列C．数列的第项为D．数列与是相同的【答案】C【分析】根据数列的相关概念逐一判断【详解】对于A，是一个集合，故A错误；对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误；对于C，，故C正确对于D，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…，而表示数列中的第n项，故D错误.故选：C.考点2：根据规律填写数列中的某项例4．已知点在直线上，则数列的通项公式______；依次写出数列的前3项为______．【答案】

##

3，5，7【详解】因点在直线上，则，所以数列的通项公式是，.故答案为：；3，5，7【方法技巧】根据给定条件，直接写出通项公式，再写出对应的前3项作答.【变式训练】1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【答案】D【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D2．已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为，所以．故选：A3．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．【答案】91【分析】运用归纳推理得出结论.【详解】图（1）只有1个点，无分支；图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点……猜想第个图除中间1个点外，有个分支，每个分支有个点，故第个图点的个数为，故第10个图点的个数为．故答案为：91.考点3：递增数列与递减数列例3．下列是递增数列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】A．令，则，是递增数列，正确；B．令，则，，不合题意，错；C．令，则，符合题意．正确；D．令，则，，不合题意．错．故选：AC．【方法技巧】根据递增数列的定义判断．【变式训练】1．已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列的前项和与第项的关系进行求解即可.【详解】当时，，当时，，∴当时，，当时，，∴A，B均错误；又当时，，当时，，∴D正确，故选：D．2．已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列【答案】C【分析】由与0比较即可得出答案.【详解】因为，所以是递增数列.故选：C.3．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：=______．【答案】（答案不唯一）【分析】先寻找满足条件②的常见数列，再验证是否满足条件①③．【详解】符合条件的数列有：，，，…．故答案为：(答案不唯一).考点4：确定数列中的最大（小）项例4．若，则数列的最大项是第______项．【答案】7【详解】，其对应的二次函数为，对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7，所以在第7项取最大值．故答案为：7.【方法技巧】，对应的二次函数为，对称轴为，找到离对称轴最近的整数即可．【变式训练】1．已知数列的通项公式为，则中的最大项为（

）A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项【答案】C【分析】作商当时，；反之.解出的值即可.【详解】因为令，得，解得．所以当时，，即，当时，，即，因此当时，最大．故选：C.2．已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．【答案】

－2

2或3【分析】结合二次函数性质求解．【详解】因为，所以当或时，取得最小值，为．故答案为：；2或3．3．已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.【答案】或.【分析】判断取最大值时，一定有，由此设为数列的最大项，列出不等式组，求得n的取值范围，可得答案.【详解】由可得当时，，当时，，当时，，故取最大值时，一定有，设为数列的最大项，则，即，解得，则或，此时，故答案为：或.考点5：有穷数列与无穷数列例5．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.【方法技巧】根据数列的概念，逐项判断即可.【变式训练】1．有穷等比数列，28，211，……，的项数是（

）A． B． C． D．n【答案】C【分析】利用“赋值法”确定项数.【详解】的间隔是，若，则，所以数列的项数为项.故选：C2．写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是__________.【答案】，答案不唯一.【分析】数列时特殊函数，利用函数的性质即可得出答案，答案不唯一.【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：.故答案为：，答案不唯一.3．无穷数列前n项和为，若对任意的，则①___________；②数列中不同的项最多有___________个.请你写出一个符合题意的数列：___________.【答案】

1或2

4

【分析】（1）分和分析是否满足条件（2）分和讨论（3）答案不唯一，列举一个即可【详解】第一空：若,则数列符合题意.若,则数列符合题意.所以或2第二空：若只能为1或0,若可以为只能在0,1两个数中选择,而后面的数也都只能在中适当选取,故若,不同的项最多3个.第三空：若,后面数列中有一数,有以下四种情况.所以最多有这四个不同的项比如.故答案为：1或2；3；考点6：写出数列中的项例6．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式．，，，______，，，…，______．【答案】

##0.5；

【详解】解：假设题目中的数列为，通过观察可发现，所以通过规律可以得到，故答案为：；【方法技巧】本题可依次观察数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果【变式训练】1．按一定规律排列的单项式：a，，，，，，…，第n个单项式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给的6项，找出排列规律即可.【详解】解：因为前6项为：a，，，，，，所以第n项为.故选：C.2．数列，的前5项为______．【答案】1，1，2，2，3【分析】利用的通项公式即可得到答案【详解】解：因为，所以，，，，，故答案为：1，1，2，2，33．已知数列的递推公式为，则___________.【答案】54【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解.【详解】由数列的递推公式得.故答案为：54.考点7：求递推关系式例7．已知数列中，，，那么数列中的_________【答案】【详解】由，当时，，解得，且，故，即，故，所以，故答案为：.【方法技巧】根据数列的递推公式可得数列的通项公式，进而得解.【变式训练】1．已知数列，满足，若，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.【详解】由，且则，，所以，即数列是以3为周期的周期数列所以故选：A2．已知数列满足，且，，则____________.【答案】2【解析】由，且，，依次求出，从而可得数列是周期为6的数列，进而可求得结果【详解】解：因为，所以，因为，，所以，，，，，，所以数列是周期为6的数列，所以，故答案为：2【点睛】此题考查周期数列的应用，考查由数列的递推式求数列的项，考查计算能力，属于基础题考点8：数列的周期性例8．已知数列满足，，其前n项和为，则(

)A． B． C．3 D．【答案】B【详解】数列满足，，，，，，…数列是周期为4的周期数列，，∴．故选：B．【方法技巧】根据首项和递推公式求出数列前五项，判断出数列为周期数列，根据周期性即可求【变式训练】1．已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】D【分析】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.【详解】因为，，，所以，则，，，…，所以数列是以3为周期的数列，则.故选：D.2．数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.【详解】因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为3，所以，所以.故选：A.3．设数列满足且，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D4．已知是数列的前n项和，，，则___________．【答案】1011【分析】根据递推式计算可知数列具有周期性，即可解出．【详解】因为，，所以，因此数列具有周期性，，，故．故答案为：1011．考点9：数列的单调性求参数例9．已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，解得故选：D.【方法技巧】结合数列单调性列式求解.【变式训练】1．数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．【答案】D【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即，所以对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D2．数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.【答案】（答案不唯一，只要满足“”即可）【分析】依题意可得，即可得到，从而求出的取值范围，本题属于开放性问题，只需填写合适的值即可；【详解】解：因为，且，即，所以，因为，所以当时，所以；故答案为：（答案不唯一，只要满足“”即可）3．已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围．【答案】【分析】由已知可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【详解】解：因为是递增数列，所以恒成立，因为，所以恒成立，所以对于任意正整数n恒成立．而在时取得最大值-3，所以．知识小结知识小结1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．巩固提升巩固提升一、单选题1．记数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由列方程组求值即可.【详解】因为，解得.又因为，解得.故选：A.2．数列满足，若，，则=（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据递推公式计算即可得出答案.【详解】解：因为，，，则，，，，，，.故选：C.3．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中的递推关系式及，依次取，，，可分别求出，，，的值，即可求得答案.【详解】由题意得，又，所以，易得，则，同理，，，故故选：B4．在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（

）．A．，6 B．2，1 C．，6或2，1 D．，7【答案】C【分析】根据递推公式表示出、，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：因为，，且，所以，，，又，所以，解得或；故选：C5．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(

)A．2020 B．2021 C．59 D．60【答案】D【分析】根据数列递推式，将依次往后递推，即可得其结果为，即可求得答案.【详解】由，得，因此k=60,故选：D6．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．故选：C．7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（）A．1009 B． C． D．1010【答案】A【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出数列的和．【详解】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），所以，，，......，故数列的周期为3；所以，所以．故选：A．8．在数列中，已知，，则（

）A．11 B．0 C．1