高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.1指数(4类必考点)(原卷版+解析)

专题4.1指数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：根式的化简求值】 1【考点2：指数幂的计算】 2【考点3：分数指数幂与根式的互化】 3【考点4：指数幂的化简求值与证明】 5【考点1：根式的化简求值】【知识点：根式的概念】若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．1．（2022·全国·高一单元测试）化简a−b2+5A．0 B．2b−a C．0或2b−a 2．（2022·甘肃省临夏县中学高一阶段练习）二次根式x2=−x成立的条件是（A．x>0 B．x≠0 C．x≤0 D．x是任意实数3．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若x≠0，则xA．－1 B．0 C．1 D．24．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）2022(−9)5．（2022·全国·高一专题练习）(1−x)26．（2022·全国·高一专题练习）若b=a2−17．（2022·全国·高一专题练习）二次根式a28．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）如果x+y=23，9．（2022·全国·高一专题练习）已知x=1a10．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)12−(2)(6【考点2：指数幂的计算】【知识点：指数幂的计算】幂的有关概念正分数指数幂：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）设a>0，则下列等式恒成立的是（

）A．am+aC．(am)2．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）下列计算正确的是（

）A．2a−12=4aC．4=±2 D．3．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（

）A．2a3⋅2a3 B．5a4−a

4．（2022·全国·高一课时练习）设a>0,b>0，下列等式恒成立的是（

）A．a43⋅C．a3555．（2022·海南海口·高一阶段练习）（1）a⋅a66．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）2727．（2022·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：(8．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：3x（2）计算：11009．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)21(2)4π−【考点3：分数指数幂与根式的互化】【知识点：分数指数幂与根式的互化】xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（

）A．x4·xC．1a=a2．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）式子33×3A．12 B．9 C．6 D．33．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（

）A．ab3=a3b13 4．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简3a2aA．a−1 B．a−2 C．1 5．（2022·全国·高一单元测试）式子m⋅3mA．1 B．m120 C．m56．（2022·全国·高一单元测试）下列各式中成立的是（

）A．nm7=C．39=37．（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．х−138．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知a>0,b>0，化简：(39．（2022·全国·高一专题练习）化简3a10．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）56（2）3a11．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）（1）化简：aa（2）计算：8112．（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)2a(2)3x(3)y2【考点4：指数幂的化简求值与证明】【知识点：指数幂的化简求值与证明】1．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知a+a-1A．a2+aC．a12+2．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知x+1x3．（2022·全国·高一课时练习（理））若10x=3，10y4．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：−0.120（2）化简：a25．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）若x+(1)x(2)x6．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）（1）化简：（1）27−（2）先化简，再求值．已知a=27，b=52，求7．（2022·江苏常州·高一阶段练习）（1）计算：2（2）化简：38．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）（1）求值：1（2）已知非零实数a满足a−a−1=29．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知x=a−3+（2）设a23+b23=410．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：3x（2）计算：1100专题4.1指数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：根式的化简求值】 1【考点2：指数幂的计算】 4【考点3：分数指数幂与根式的互化】 7【考点4：指数幂的化简求值与证明】 11【考点1：根式的化简求值】【知识点：根式的概念】若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．1．（2022·全国·高一单元测试）化简a−b2+5A．0 B．2b−a C．0或2b−a 【答案】C【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据a,b的大小关系讨论即可.【详解】a−b2当a≥b时，原式=a−b+b−a当a<b是，原式=b−a+b−a故选:C．2．（2022·甘肃省临夏县中学高一阶段练习）二次根式x2=−x成立的条件是（A．x>0 B．x≠0 C．x≤0 D．x是任意实数【答案】C【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.【详解】因为x2所以x≤0.故选：C.3．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若x≠0，则xA．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用x2【详解】因为x≠0，所以x故选：C4．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）2022(−9)【答案】9【分析】根据公式na【详解】2022(−9)故答案为：95．（2022·全国·高一专题练习）(1−x)2【答案】1，1≤x≤2【分析】根据1≤x≤2与x>2分类讨论化简即可求解.【详解】当1≤x≤2时，(1−x)2当x>2时，(1−x)2所以(1−x)2故答案为：1，1≤x≤26．（2022·全国·高一专题练习）若b=a2−1【答案】1【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.【详解】因为a2−1≥01−a2所以a+b=1+0=1，故答案为：17．（2022·全国·高一专题练习）二次根式a2【答案】a≤0【分析】利用a2=a得到a【详解】二次根式a2=a故答案为：a≤08．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）如果x+y=23，【答案】3【分析】根据平方差公式即可求解.【详解】由x+y=2∵x−y=x+∴x故答案为：39．（2022·全国·高一专题练习）已知x=1a【答案】1【分析】由题意可得1a−a≥0，求出x，再将【详解】解：∵x=1a又∵4x+x∴4x+x故答案为：1a10．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)12−(2)(6【答案】(1)33【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.（1）12=23−32+3×3（2）(6−2=32【考点2：指数幂的计算】【知识点：指数幂的计算】幂的有关概念正分数指数幂：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）设a>0，则下列等式恒成立的是（

）A．am+aC．(am)【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】amn=由于21+2故选：D2．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）下列计算正确的是（

）A．2a−12=4aC．4=±2 D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.【详解】∵2a−12∵a，2a2不是同类项，∴∵4=2∵−a故选:D．3．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（

）A．2a3⋅2a3 B．5a4−a

【答案】D【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.【详解】由题意可得2aa≠0时，5a8aa3+3故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）设a>0,b>0，下列等式恒成立的是（

）A．a43⋅C．a355【答案】CD【分析】根分式指数幂的运算法则，正确运算，即可求解.【详解】对于A中，根分式指数幂的运算法则，可得a4对于B中，根分式指数幂的运算法则，可得a5对于C中，根分式指数幂的运算法则，可得a3对于D中，根分式指数幂的运算法则，可得a1故选：CD.5．（2022·海南海口·高一阶段练习）（1）a⋅a6【答案】

a7

【分析】根据指数的运算法则运算求解.【详解】空1：a空2：(-2故答案为：a7；-86．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）272【答案】27【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．【详解】因为27故答案为:2747．（2022·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：(【答案】12【分析】由指数的运算法则即可求解.【详解】原式=2×9+1−2×故答案为：128．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：3x（2）计算：1100【答案】（1）−10y；（2）3【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.【详解】（1）原式=3（2）原式=1009．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)21(2)4π−【答案】(1)12；(2)【分析】（1）将带分数化为假分数，将负指数幂化为正指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.（1）解：2=94（2）解：4π−【点睛】指数幂运算的基本原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数；⑤底数是负数的先确定符号．【考点3：分数指数幂与根式的互化】【知识点：分数指数幂与根式的互化】xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（

）A．x4·xC．1a=a【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质，可得答案.【详解】对于A，x4⋅x对于C，1a=1故选：D.2．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）式子33×3A．12 B．9 C．6 D．3【答案】B【分析】化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质求解.【详解】3故选：B3．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（

）A．ab3=a3b13 【答案】C【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案.【详解】ab3=34a−b3故选：C4．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简3a2aA．a−1 B．a−2 C．1 【答案】C【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.【详解】3故选：C5．（2022·全国·高一单元测试）式子m⋅3mA．1 B．m120 C．m5【答案】D【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.【详解】m⋅故选：D.6．（2022·全国·高一单元测试）下列各式中成立的是（

）A．nm7=C．39=3【答案】BCD【分析】根据根式、幂的运算法则计算后判断．【详解】nm7=n7m故D正确．故选：BCD．7．（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．х−13【答案】CD【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.【详解】−x=−x6yx−13故选：CD.8．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知a>0,b>0，化简：(3【答案】a【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算.【详解】(3故答案为：a9．（2022·全国·高一专题练习）化简3a【答案】a【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；【详解】解：3=a故答案为：a10．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）56（2）3a【答案】

−5【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解；（2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解；【详解】解：（1）原式=5（2）因为a−3有意义，所以a>0所以原式=3故答案为：（1）−511．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）（1）化简：aa（2）计算：81【答案】（1）a78【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】（1）aa（2）8112．（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)2a(2)3x(3)y2【答案】(1)16a；(2)x−1【分析】利用指数幂的运算性质进行计算可得.（1）2a（2）3x（3）方法一（从外向里化简）

y2xx3y3y方法二（从里向外化简）y2xx3y【考点4：指数幂的化简求值与证明】【知识点：指数幂的化简求值与证明】1．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知a+a-1A．a2+aC．a12+【答案】ABD【分析】A选项，对a+B选项，先计算a1C选项，先计算a12+D选项，使用立方和即可求解.【详解】a+a-1所以a2a1因为a12,a1因为a12>0,由立方和公式可得：a3D正确.故选：ABD2．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知x+1x【答案】21【分析】由题知x2【详解】解：因为x+1x=3所以，x故答案为：213．（2022·全国·高一课时练习（理））若10x=3，10y【答案】3【分析】根据分数指数幂的运算化简求值即可.【详解】103x−y故答案为:364．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：−0.120（2）化简：a2【答案】

2−2；

【分析】根据指数幂的运算，化简求值即可.【详解】（1）−0.12=1+4（2）原式=a故答案为:2−2，5．（2022·江苏省灌南高级中学