高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）2.1.1 直线的倾斜角与斜率(附答案)

直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（

）A．若是直线的倾斜角，则B．若是直线的斜率，则C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（

）A．或0 B．或0C． D．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（

）A． B． C． D．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为（

）A．2 B． C．1 D．6．（2021·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（

）A．1 B． C．2 D．题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·高二专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2022·江苏·高二）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A．或 B．C． D．11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l：的倾斜角为，则（

）A． B．1 C． D．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．或 B． C． D．题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．或15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点，，直线l方程为，且与线段AB相交，求k的取值范围为（

）A．或 B．或C． D．题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．17．（2022·全国·高二专题练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（）A． B．4 C．1 D．20．（2022·全国·高二课时练习）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．21．（2022·全国·高二课时练习）设P为x轴上的一点，，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．24．（2022·江苏·高二）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．或 C． D．25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．平行于x轴的直线的倾斜角为D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为26．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点和点，分别求出满足下列条件的a的取值或取值范围.(1)直线l的倾斜角为直角；(2)直线l的倾斜角为锐角；(3)直线l的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为（

）A．－1 B． C． D．131．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C．2 D．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A．B． C． D．36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线过点且斜率为，若与连接两点，的线段有公共点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（

）A．两条相交直线所成的角的范围是B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为D．若直线与直线的夹角为，则39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是(

)A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（

）A． B． C． D．42．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点，直线与线段PQ相交，则实数a可能取值是（

）A． B．1 C． D．三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可）46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为，则；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？（2）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是60°？（3）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点，求：(1)直线的斜率k；(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围【答案详解】1．D【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论．【详解】解：对于A：是直线的倾斜角，则，故A正确；对于B：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B正确；对于C、D：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C正确；D错误．故选：D2．B【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，所以A、C均错误；B正确；若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，所以D错误；故选：B3．A【分析】先求出的倾斜角为120°，再求出直线的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.要使直线与直线的夹角是60°，只需直线的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.故选：A4．B【分析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则

故新直线的斜率是.故选：B.5．A【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答.【详解】因直线的倾斜角为，则此直线的斜率，而直线过点，因此，，解得，所以m的值为2.故选：A6．A【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.【详解】直线的斜率为.故选：A.7．D【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线的倾斜角为，可得，所以的取值范围为故选：D8．A【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A.9．B【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线的方程为，所以，即直线的斜率，由.所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B10．A【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．故选：A．11．A【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.故选：A12．D【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.【详解】由斜率公式可得，即，解得.故选：D.13．B【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为故选：B.14．B【分析】根据斜率的公式结合的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线的斜率，由，得的取值范围为，即的取值范围为．又，则或．故选：B．15．A【解析】直线过定点，且与线段AB相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出直线的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l方程为，可化为，所以直线过定点，且与线段AB相交，如图所示，则直线的斜率为，直线的斜率为，则直线与线段AB相交时，它的斜率的取值范围为或，故选：A16．A【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.【详解】直线过点，画出图象如下图所示，，，由于直线与线段AB没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意，当时，直线的斜率为，根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是.故选：A17．A【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A18．A【分析】分别求出，即可得到答案.【详解】直线经过定点.因为，所以,所以要使直线与线段没有公共点，只需：，即.所以的取值范围是.故选：A19．A【分析】设直线l上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为．∵都在直线l上，∴直线l的斜率．故选：A．20．D【分析】根据，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l的倾斜角为，则，由，得，∴．故选：D．21．B【分析】设，根据直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设，而，则，，∵直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍，∴，解得，即点P的坐标为，故选：B．22．C【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是．故选：C23．A【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.【详解】如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.故选：B25．D【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.故选：D26．(1)a＝1；(2)；(3).【分析】（1）解方程2a＝2即得解；（2）解不等式即得解；（3）解不等式即得解.（1）解：当直线l的倾斜角为直角时，2a＝2，解得a＝1.（2）解：当时，直线l的斜率.令，则，所以直线l的倾斜角为锐角时，a的取值范围为.（3）解：当时，令，则，所以直线l的倾斜角为钝角时，a的取值范围为.27．C【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率k≥kBC或，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或，∴直线l的斜率或，∴直线l斜率k的取值范围：，故选：C．28．[0°，30°]∪[150°，180°)．【分析】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M.当点P在线段AM(含端点)上时，因为，所以0°≤α≤30°；当点P在线段BM(含端点B但不含端点M)上时，因为，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)．29．B【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围.【详解】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.故选：B.30．C【分析】根据直线的斜率求出其倾斜角可求得答案.【详解】设直线的倾斜角为，所以，因为，所以，因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，所以直线的倾斜角为，则直线的斜率为.故选：C.31．B【分析】由倾斜角和斜率的定义得，，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，，直线的倾斜角为，故故选：B32．B【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B33．B【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l经过，两点，得直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.故选：B.34．C【详解】设直线l的倾斜角为，由题意可得直线l的斜率，即，∵，∴直线l的倾斜角为，故选：.35．D【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线过定点，且，，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D36．D【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若与连接两点，的线段有公共点，则直线的斜率满足，因为，所以的取值范围为.故选：D37．ACD【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD38．ABD【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项.【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是，故A正确；对于B：若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或，故B正确；对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确；对于D：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以，故D正确，故答案为：ABD.39．AC【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，由图可知，，故C正确；④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，∴，则；当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒故选：AC﹒40．AC【分析】分别在和求得旋转后倾斜角即可.【详解】直线倾斜角的取值范围为，当时，旋转后得到的倾斜角为：；当时，旋转后得到的倾斜角为：.故选：AC.41．AC【分析】设，求出，由数形结合求解即可.【详解】设,则，如图，由图可知，当时，直线与线段相交，故选：AC42．ABD【分析】利用正切函数的图象判断选项AC的真假；B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；举反例说明选项D错误.【详解】A.若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C.若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；D.若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.故选：ABD43．AB【分析】由题可得或，即可求出.【详解】解：，，直线l过点且与线段MN相交，则或，则直线l的斜率k的取值范围是：或．故选：AB．44．AC【分析】直线过定点，利用斜率计算公式可得和，由直线与线段PQ相交，利用斜率关系即可求出的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线过定点，斜率为，，，直线与线段PQ相交，由图象可知，，则，符合条件的为选项AC．故选：AC．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC，其中对角线OB所在直线的斜率为3．设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为，直线OC的倾斜角为，故，，故答案为：－2（答案不唯一）．46．【分析】分、、三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当时，；当时，不存在；当时，.综上，的取值范围是.故答案为：.47．【分析】表示线段上的