高中数学《平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案

序，,第㈡章平面向量

DIERZHANG2.4平面向量的数量积

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

卜课前自主预习

1.向量的数量积及其几何意义

(1)向量的数量积的定义

已知条件向量a,方是非零向量，它们的夹角为。

定义E数量MIWIcos。叫做a与b的数量积(或内积)

记法a-b=\a\\b\cos3

规定零向量与任一向量的数量积为团_。

(2)向量的数量积的几何意义

①投影的概念

如下图所示：OA=a,OB=b,过3作BBi垂直于直线。4,垂

足为Bi,则为3]=步|cos。.

③向cos。叫做向量〃在〃方向上的投影,国睡2幽叫做向量a

在》方向上的投影.

②数量积的几何意义

G-b的几何意义是的长度⑷与b在a方向上的投影"|cos<9的

乘积.

2.向量的数量积的性质和运算律

(1)向量的数量积的性质

设a与方都是非零向量，。为。与方的夹角.

①a±b0囹0》=O.

②当a与b同向时，ab=

当a与b反向时,ab=El—|«||Z?|.

③04=回同2或㈤后.

④COS19=EAjT7.

⑤|a.《回W|a||b|.

(2)向量数量积的运算律

①园4力="”(交换律).

②(㈤力=圜迤®=理丝3)(结合律).

③叵一(4+办。=0。+万。(分配律).

品自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴若且a#0,贝》=c.()

(2)若0。=0,贝！Ja=0或方=0.()

(3)若“JLA,则a-Z>=0.()

(4)向量。在〃的方向上的投影是一个模等于|a|cos6(。是a与方的

夹角)，方向与〃相同或相反的一个向量.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)X

2.做一做

(1)(教材改编Pm例1)已知向量。和向量方的夹角为30。，\a\=

2,\b\=y[3,则向量a和向量力的数量积。电=.

答案3

解析根据两向量的数量积公式，可得。力=同步|-cos<a,b>=

2XA/3XCOS30°=2XV3X^-=3.

(2)已知向量a,♦满足步|=2,。与C的夹角为60。,则，在。上

的投影是.

答案1

解析b在a上的投影是|〃|cos(a,b)=2cos60°=1.

(3)a2的夹角为120。，⑷=1,网=3,贝U|5a—臼=.

答案7

解析|5a—=-\j(5a—b)2=\j(5a)2—l0a-b-\~b2=

^25Xl-10XlX3Xcosl20°+9=7.

卜课堂互动探究

探究1平面向量数量积的概念

例1已知a,b,C是三个非零向量，则下列命题中真命题的个

数是（）

①|G必|=|a仙|台a〃力;

②a,一反向<=>al=一同|例;

③a_L+b|=|a—；

④⑷=|臼<=>|ec\=\b-c\.

A.1B.2

C.3D.4

解析①一。力=|a||b|cosa.,.由|a•例=|a|向及a,t均为非零向量

可得|cos8|=1,「.。=。或。=兀，「.a〃儿且以上各步均可逆，故命题

①是真命题；②若。，，反向，则”，》的夹角为九，...a必=同步ICOSTT

=-\a\\b\,且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当时，将

向量a,b的起点确定在同一点，则以向量a,b为邻边作平行四边形，

则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a

+"=|“一瓦反过来，若|a+）|=|a—臼,则以a,b为邻边的平行四边

形为矩形，...a，。，因此命题③也是真命题；④当同=|。|但是。与c

的夹角和〃与c的夹角不等时，就有|a・c|W|"c|.反过来，由|ec|=|b・c|

也推不出同=|臼，故命题④是假命题.故选C.

答案C

拓展提升

对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识

深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘

法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性

质等.

【跟踪训练1]已知下列命题：

①若/+方2=0,则。=〃=0；②已知a,b,C是三个非零向量,

若a+5=0,贝！J|a・c|=|8・c|；（^）\a\-\b\<a-b；@a-a-a=\a\3；⑤若向量a,

b满足ab>0,贝ija与》的夹角为锐角，其中判断正确的是.

答案①②

解析对于①，•.,a2+/=o,|砰+|例2=0,.♦.⑷=1回=0,二.a

=8=0,故①正确；对于②，..•。+〃=0,与分互为相反向量，设

a与c的夹角为氏贝U方与c的夹角为71—6,则oc=|a||c|cos。，be—

|A||C|COS（TT—。）=一|训c|cos。,\a-c\=\b-c\,所以②正确；对于③，由

于|a•/=|研|加85。区|。|步|,故③错误；对于④，由于aaa=|aFa其

结果为向量，故④错误；对于⑤，当a与方为同向的非零向量时，ab

=同|mcos0=|a|・|b|>0,但夹角不是锐角，故⑤错误.

探究2平面向量数量积的运算及几何意义

0°

O

投跟你是

<2伙的

18"k$<QJ

（1）当a•吊>0时,cos9>0,则（是

锐角或0。（此时cosB=l）.

（2）当a・b<0时，cos6<0,则。是

钝角或180。（此时cosj=-l）.

例2（1）已知⑷=4,网=5,且向量。与b的夹角为60。，求（2a

+3。>（3。-25）；

(2)在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABAC.

解(1)(2«+3^)-(3«-2b)=6a2-4ab+9ab-6Z>2=6X42+

5X4X5XCOS600-6X52=-4.

-►—>—>—>

4

(2)AJB-AC=|AB||AC|cosZfiAC=5X4X-=16.

［综合探究］将例2改为：(1)已知⑷=4,|加=5,且向量a,b的

夹角为30。，求(24+3。>(34一2方)；

―►-►

(2)在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,求AB3c.

解(1)(2。+3>>(3。-2力)

=6«2+5aZ>—6ft2

=6X42+5X5X4XCOS30°-6X52

=50^3-54.

(2)在RtzXABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,故8C=3,且cos

—►—►—►—►―►—►

3

ZABC=^,AB与BC的夹角180°-ZABC,ikABBC=-\AB\\BC

3

|cosZABC=-5X3X-=-9.

拓展提升

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的

夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似

于多项式的乘法运算.

【跟踪训练2】如图，在等腰三角形4BC中，AB=AC=2,Z

4BC=30。，。是8c的中点.

A

求：(1)84在CD方向上的投影;

(2)C。在氏4方向上的投影.

解如图所示，连接40,在等腰三角形4BC中，AB=AC^2,

NABC=30。，。是8c的中点，所以AD_LBC,CD=BD=ABcos30°

=?又近=、巧

作CB的延长线BE,使BE=CD,则BA与CD的夹角为NA8£=

180°—乙48c=150°.

3

(2)CQ在3A方向上的投影是|CQ|cosl5(r=小义

21

探究3与向量模有关的计算

例3已知向量a,♦的夹角为60。,且⑷=2,|加=1,若C=2G

—b,d=a~\~2b,求：

(l)cd；

⑵|c+2dl.

解因为向量。与b的夹角为60。，⑷=2,|b|=l,

所以«-Z>=|fl||Z>|cos600=1,

因为c=2a—b,d=a-\~2b,

(l)c-rZ=(2a-Z>)-(a+2ft)

=2«2+3aZ>—2b2

=2|砰+3><1—2|"2

=2X22+3-2Xl2

=9.

(2)因为c+2d=(2a—>)+2(G+2))=4a+3。,

(c+2dy=(4。+=]6/+24a.b+9b2

=16⑷2+24X1+91m2

=16X22+24X1+9X1=97,

所以|c+2dl2=97,

所以归+20=啊.

拓展提升

求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活

应用a2=|«|2,勿忘记开方.

(2)a-a=/=|aF或⑷=［滔，可以实现实数运算与向量运算的相互

转化.

7T

【跟踪训练3]已知⑷=回=5,向量Q与力的夹角为？求|a

+5],\a—b\.

175

解a・。=|a||A|cosO=5X5X-=^~.

la+b\=.(a+》)2=y|aF+2ai+|臼2

=\^25+2><苧+25=54.

\a-b\=yj(a—b)2=^|«|2—2«-/>+|^|2

=^25—2X^+25=5.

探究4两向量的夹角问题

例4已知⑷=2,|例=1,a与b的夹角为60。，求向量6=2°+

b与向量〃=”一45的夹角的余弦值.

解ab=2X!Xcos60°=l,

|/w|2=|2a+Z>|2=4|a|2+4a-Z>+|Z>|2=4X22+4X1+1=21,

|〃|2=|”一4加2=|a|2—8a力+16|肝=22—8X1+16义1=12,

.'.\m\=^2\,\n\=2-\f3,

/n-n=(2a+ft)-(«-4Z>)=2|a|2-7a-Z>-W=2X22-7X1-4X1

=13.

am-n=\m\\n\cos3,

.".-3=V21X2V3XCOS0,

即cos8=一兴.

拓展提升

求向量G与小夹角的思路

(1)求向量夹角的关键是计算。力及⑷I可，在此基础上结合数量积

的定义或性质计算85。=髓，最后借助。£[0,71],求出e的值.

(2)在个别含有⑷，网与a年的等量关系式中，常利用消元思想计

算cos3的值.

【跟踪训练4】已知向量a,方满足(4+28>3—3=—6,且⑷

=1,网=2,则a与〃的夹角为.

答案!

解析设a与b的夹角为0,依题意有(aJr2b)(a—b)=a2+ab—

1兀

2〃=-7+2cos8=-6,所以cos8=],因为OWOWTC,故9=g.

探究5两向量垂直问题

例5已知向量a,♦不共线,且|2G+5=|G+25求证：(a+5)

_L(«—b).

证明'.'\2a-\~b\=\a~\-2b\,

：.(2a+b)2=(a+2b)2,

即4a2-\-4ab+b2=a2+4ab+4b2,

'.cr=b2.

(a-\-b)(a—b)—a2—b2—O.

又。与，不共线，a+bWO,a—b^O,

(a+Z>)J_(a—b).

拓展提升

求(证明)两向量垂直的基本步骤

(1)计算的值；

(2)若为零，则aJ_b,否则不垂直.

【跟踪训练5】已知⑷=1,\b\=2,a—b与a垂直，求当k为

何值时，(•一))J_(a+26)？

解因为a—力与a垂直，所以(a—A>a=O,

所以层一”.》=(),所以

要使得(妨一A)_L(a+2。)，只要(痴(-6〉(。+2。)=0,

即—十(2左一l)tb—2步F=o,

所以Z+(2Z—1)—2X22=O,

所以k=3.

(------------------------1魅耀加--------------------

1.对数量积的理解

(1)求a,b的数量积需知道三个量，即⑷，|。|及a,，的夹角,

这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解.

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向

量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0。时，符号

为正；当夹角为钝角或180。时，符号为负；当夹角为直角时，其值

为零.

向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也

可为零.

(3)两个向量a,b的数量积与代数中两个数a,8的乘积。力是

两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量G,b的数量

积是记作中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用

乘号“X”代替，写成GX瓦

2.要灵活掌握向量数量积的性质

(l)a_L8<%rb=0,既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直

进行有关计算.

(2)«-a=«2=|a|2与⑷=赤^=4^也用来求向量的模，以实现实

数运算与向量运算的相互转化.

(3)用cos0=j^i求两向量的夹角，且夹角的取值与ab的符号

有关.

设两个非零向量。与〃的夹角为仇则

当6=0。时,cos6=l,a-b=\a\\b\；

当夕为锐角时,cosGO,ab>0；

当。为钝角时，cos0<0,ab<Q；

当。为直角时，cos0=0,ab=O；

当6=180。时,cosJ=­1,a-b=~\a\\b\.

(4)|aI|W|a仙|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决

最值问题.

(5)①向量的数量积不满足消去律：若a,b,c均为非零向量,

且a・c="c,但得不到a=b.

②(a­cWa.也c).

卜课堂达标自测

1.已知非零向量«,b,若a+2b与a—2b互相垂直，则力=()

1

-4

A.4B.

C.2D.2

答案D

解析•..（。+2方>（。-2方）="-4庐=0,/.|a|=2|^|,

2.已知⑷=6,步|=3,ab=~12,则向量a在向量b方向上的

投影是（）

A.-4B.4

C.-2D.2

答案A

解析V|a|=6,\b\=3,ab=-12,

二.a在力方向上的投影为

ab—12

|fl|cos\a,b）=।臼=~=-4.

3.已知|臼=3,。在〃方向上的投影为|,则。力=()

9

A.3B.2

C.2D.1

答案B

,-3

解析由题意，得|〃|cos〈a,b)=/,

/39

.\a-b=\a\\b\cos〈。,b)=3X-=-

—►―►—►-►

4.已知△A8C是边长为色的等边三角形，则BCCA+ABBC=

答案一2

—►—►―►―►

解析注意到3c与CA,A3与8C所成的角都是等边三角形的外角,

—►―►—►-►

为120°,故3CCA+ABBC=2X(啦义/Xcosl20°)=-2.

5.已知|a|=Lab=^,(a+》>(a—5)=；.

⑴求回的值；

(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.

解(l)(a+A>(a一5尸层一加二；

v|«|=1,...1一|肝=；,

.闾—立

•・—2.

(2)V|a+Z>|2=a2+2a-Z>+Z>2=l+2X^+^=2,

|a一回2=/—2。1+浜=1—2X；+；=1,

\a~\-b\=y^2,\a-b\=\.

令与a~b的夹角为3,

1

(a+A).(a—b)5也

贝(]cos8=

\a+b\\a-b\啦义14

即向量a-b与a+b夹角的余弦值是手.

卜课后课时精练、

A级：基础巩固练

一'选择题

1.已知⑷=2,|臼=4,。小=一4,则向量a与》的夹角为()

A.30°B.60°

C.150°D.120°

答案D

-b_41

解析3$。=丽=药=一7V0e[O°,180°],.•.9=120。.故

选D.

2.已知向量”，办满足♦已=0,⑷=1,步|=2,则|2a—加=()

A.0B.2观

C.4D.8

答案B

角翠析,..|2a——臼2=442——4。1+方2=8,

：3一加=2巾.

―►—►―►—►-►

3.若平面四边形A3CD满足A3+CZ)=0,(AB-AD)AC=0,则

该四边形一定是()

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

答案C

解析由AB+CQ=0,得平面四边形4BCQ是平行四边形，由

(AB-AD\AC=O,得。84c=0,即平行四边形49CQ的对角线互相

垂直，则该四边形一定是菱形.

2A/9

4.若非零向量G,♦满足⑷=事例,且(a—b)J_(3a+23，则a

与b的夹角为()

C.苧D.n

答案A

解析由题意，得(a—A)・(3a+2〃)=3a2—252—。6=0,即

3a2—2".又⑷=斗斗臼，所以“必=3义(2?|，|)2一2〃=争>2,所以cos

/.\ab的啦七z/,._7T

〈小阶=丽=^7=2，所以(凡"=不

5.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c

满足(a-c>S—c)=0,则|c|的最大值是()

A.1B.2

C.也D.平

答案C

解析因为⑷=|例=1,。6=0,(a—c>(。-c)=-c・(a+6)+|cF=

一|c||a+例cos8+|cF=0,其中6为c与a~\-b的夹角，所以|c|=|a+

b\-cos0=y[2cos0^y[2,所以|c|的最大值是啦，故选C.

二'填空题

6.已知向量G,b的夹角为45°,且⑷=4,1%+j(2a—3与=

12,则|臼=；〜在。方向上的投影等于.

答案\[21

解析a-b=\a\\b\cos(a,b)=4|例cos45°=2啦|b|,

又(%+"(2a-3，)=⑷2+%/—3|例2=16+啦|例一3步|2=12,解

得步|=也或步尸一"%舍去).

方在a方向上的投影为|〃|cos〈a,b)=A/2COS45°=1.

7.已知两个单位向量a,b的夹角为60。，c=fa+(l-Db若b-c

=0,则t=.

答案2

解析由题意，将b-c=[ta+{\—f)by-b整理，得ta-b+(\—t)=

0,又所以1=2.

8.在平行四边形ABCQ中，AD=1,ZBAD=6Q°,E为CZ)的

—>―►

中点.若4c8E=1,则A8的长为.

1

答案2-

解析因为BE=8A+AQ+Q£=—A3+AO+；A8=4O—；48,

——111

所以AC3£=（A8+A。）.AD--AB=AD2+^ADAB~^AB2^1

<27

X1X|AB|COS60°-1|AB|2=1,所以；以5|—34用2=0,解得|AB|=今

三'解答题

9.已知⑷=2|回=2,且向量a在向量方方向上的投影为一1.

(1)求。与b的夹角"

(2)求(a—2b)力;

(3)当4为何值时，向量觞+，与向量。一3万互相垂直？

解(l)V|a|=2|Z>|=2,

：.\a\=2,|"=1.

又a在方方向上的投影为|a|cos8=-l,

•。1.c27r

..cos〃=­2，.

(2)(a-2b)b=ab—2b2=-1一2=-3.

(3)"+力与a-3b互相垂直,

——3b)—Xa2——3/a-b-\~b-a——3^2—4/L+3A——1——3=72——

4=0,

.,.2号.

10.已知a,b是两个非零向量，当。+仍《£R)的模取得最小值

时，

⑴求才的值(用a,♦表示);

(2)求证：b与a+tb垂直.

解(l)\a-\-tb\2=a2-\~Pb2+2ta-b

=斤+”2—曙

当*岁时，|。+力|取得最小值.

a,b

(2)证明：因为(a+仍)0=al+仍2=".》一干*x办2=0,所以“+仍

与b垂直.

B级：能力提升练

1.设向量a,b,c满足a+~+c=0,(a—Z>)±c,aLb,若|a|=

1,贝IJIW+I肝+|肝的值是.

答案4

解析由a+5+c=0,得(G+8+C)2=0,得

«2+ft2+c