2025高考备考数学知识点第6讲　复　数

第6讲复数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.复数的概念2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；2022全国卷乙T2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022浙江T2；2021全国卷甲T3；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅠT1；2020全国卷ⅢT2；2019全国卷ⅡT2本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.复数的运算2023新高考卷ⅠT2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022新高考卷ⅡT2；2021新高考卷ⅠT2；2021新高考卷ⅡT1；2021全国卷乙T1；2021全国卷甲T3；2020新高考卷ⅡT2；2019全国卷ⅢT2复数的几何意义2023新高考卷ⅡT1；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅡT15；2020北京T2；2019全国卷ⅠT2；2019全国卷ⅡT2学生用书P1311.复数的有关概念名称含义复数的定义形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为①a，虚部为②b，i为虚数单位且i2＝③－1.复数分类a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④a＝0且b≠0（a，b∈R）.复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.注意实数能比较大小，虚数不能比较大小.共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）.复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥实轴，y轴叫做⑦虚轴.说明实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.复数的模设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧a2＋2.复数的几何意义思维拓展（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆.3.复数的四则运算（1）复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.运算法则运算形式加法z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨（a＋c）＋（b＋d）i.减法z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩（a－c）＋（b－d）i.乘法z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪（ac－bd）＋（ad＋bc）i.除法z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi（2）复数的运算律对任意的z1，z2，z3∈C：加法运算律交换律：z1＋z2＝⑫z2＋z1.结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬z1＋（z2＋z3）.乘法运算律交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数z1－z2是OZ1－1.下列说法正确的是（D）A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为bB.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模2.[2023南京市六校联考]复数z＝1+i1+2i（i为虚数单位），则｜z｜＝（DA.25 B.23 C.103 解析解法一z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝解法二｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝13.[2021新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（C）A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i解析因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.4.[2023合肥市二检]设i是虚数单位，复数z＝2i1－i，则在复平面内z所对应的点位于（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因为z＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋学生用书P132命题点1复数的概念例1（1）[全国卷Ⅲ]复数11－3i的虚部是（A.－310 B.－110 C.110 解析11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）（2）[2023全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（C）A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.（3）[2022全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（D）A.45 B.42C.25 D.22解析因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2方法技巧1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后根据复数的有关概念求解即可.2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.3.复数的概念中的常用性质（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜训练1（1）[2023全国卷乙]设z＝2+i1+i2＋i5，则A.1－2i B.1＋2iC.2－i D.2＋i解析z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i）－（2）[2022全国卷乙]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则（A）A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析由题意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b（3）[2023武汉市5月模拟]设复数z满足z－1z+1为纯虚数，则｜z｜＝（A.1 B.2 C.3 D.2解析因为z－1z+1为纯虚数，所以可设z－1z+1＝bi（解法一因为z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1解法二｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜命题点2复数的运算例2（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，则z－z＝（AA.－i B.iC.0 D.1解析因为z＝1－i2+2i＝（1－i所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12故选A.（2）[2022全国卷甲]若z＝－1＋3i，则zzz－1＝（A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析zzz－1＝－1+3i（－1+3i)(－方法技巧1.复数运算的解题策略（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.2.复数运算中的常用结论（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1－i（2）a＋bii＝（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.训练2（1）[2022新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选（2）[2023重庆二调]已知复数z满足z＋3＝4z＋5i，i是虚数单位，则z2＝（B）A.－2i B.2iC.1＋i D.1－i解析令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.命题点3复数的几何意义例3（1）[2023新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（A）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝23.解析如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O为原点，则OP＝OZ1＋由题知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cos30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.方法技巧1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.2.思维拓展｜z－z0｜表示在复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z对应的点在以复数z0对应的点为圆心、r为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z对应的点在复数z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.训练3（1）[2023湖北十一校联考]复数z满足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，则｜z｜＝（C）A.10 B.13C.32 D.5解析解法一由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z对应的点到点（5，0）和到点（1，0）的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得复数z对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上.因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2解法二设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－（2）[多选/2023石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z满足｜z－z1｜＝2，则下列说法正确的有（AD）A.z1·z1＝B.5－2＜｜z｜＜5＋2C.复数z1在复平面内所对应的点为（－1，2D.若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4解析因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（1，－2），所以选项C错误；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以选项A正确；若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则可设复数z＝x＋yi，由｜z－z1｜＝2得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数z在复平面内对应的点为Z（x，y），则｜z｜＝x2＋y2，其几何意义为圆（x－1）2＋（y－2）2＝4上任意一点到原点的距离，圆心（1，2）到原点的距离为5，半径为2，所以5－2≤｜z｜≤5＋21.[命题点1/浙江高考]已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（C）A.1 B.－1 C.2 D.－2解析因为a－1＋（a－2）i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.2.[命题点1/2021全国卷乙]设2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，则z＝（C）A.1－2i B.1＋2i C.1＋I D.1－i解析设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，代入2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.3.[命题点2]在复数范围内，设方程x2－2x＋k＝0的根分别为α，β，且｜α－β｜＝22，则实数k的值为3或－1.解析当方程x2－2x＋k＝0的根为虚数时，设α＝a＋bi，β＝a－bi，a，b∈R，则α＋β＝2a＝2，∴a＝1，αβ＝a2＋b2＝k，∴k＝1＋b2，∵｜α－β｜＝｜2bi｜＝22，∴b2＝2，∴k＝3；当x2－2x＋k＝0的根为实数时，α＋β＝2，αβ＝k，则｜α－β｜＝（α＋β）2－4αβ＝4－4k＝22，∴4－4k＝8，∴k4.[命题点3]设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（C）A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±iB.若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（1，0）为圆心，1为半径的圆C.若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为πD.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合中有且只有两个元素解析若｜z｜＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对应，故A错误；若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（－1，0）为圆心，1为半径的圆，故B错误；若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×（2）2－π×12＝π，故C正确；若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合是以点（1，0），（0，－1）为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误.5.[命题点1，2，3/2023沈阳市三检]在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（2，－1），（1，－3），则z2z1的虚部是（A.i B.－i C.1 D.－1解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别是（2，－1），（1，－3），所以z1＝2－i，z2＝1－3i，所以z2z1＝1－3i2－i＝（1－3i)(学生用书·练习帮P3271.[2024河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2025＝（C）A.2025 B.1－i C.i D.－i解析因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2025＝i，故选C.2.[2024贵阳模拟]复数z满足（1＋2i）z＝3－i，则｜z｜＝（A）A.2 B.3 C.2 D.5解析解法一因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(1－解法二因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜3－i3.[2023高三名校联考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虚数单位，则a＋b＝（BA.3 B.1 C.－1 D.－3解析解法一因为a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1，解法二因为a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b=2，所以4.[2024安徽六校联考]复数z在复平面内对应的点为（3，－1），则1－i｜z｜＋iA.15－35i B.35C.15－15i D.－15解析由复数的几何意义可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i2+i＝（5.[2024江西四校联考]设a，b∈R且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则（A）A.b2＝3a2 B.a2＝3b2C.b2＝9a2 D.a2＝9b2解析因为（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i为实数，（提示：完全立方和公式为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因为b≠0，所以3a2＝b2，故选A.6.[角度创新]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，i为虚数单位，则z1z2＝（B）A.1－2i B.－5C.5 D.5i解析因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故选B.7.[2023长沙重点中学模拟]设复数z满足z－z－＝2i，｜z｜＝2，复数z所对应的点位于第一象限，则1z＝（BA.1+3i2 C.－1+3i2 解析设z＝a＋bi（a∈R，b∈R），则z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，则b＝｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z＝8.[角度创新]若3+4iz是纯虚数，则复数z可以是（DA.－3＋4i B.3－4iC.4＋3i D.4－3i解析解法一因为复数3+4iz是纯虚数，所以设3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），则z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝4－3i解法二设z＝a＋bi（a，b∈R），则3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋b9.[开放题]已知复数z＝4+ai1+i，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值可以为解析z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）2＝a+42＋（a－4）i2，因为z10.[2023广西联考]设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1－i＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（DA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因为y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=2，x=1，所以z＝1＋2i，所以z＝111.[2023广东六校联考]设复数z＝12＋32i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中错误的是（BA.zz＝1B.z2＝zC.z是方程x2－x＋1＝0的一个根D.满足zn∈R的最小正整数n为3解析对于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正确；对于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B错误；对于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；对于D，z＝12＋32i，z2＝－12＋32i，z3＝12.[多选]18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.下列说法正确的是（BCD）A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±iB.若在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i分别对应向量OA与OB（O为坐标原点），则向量BA对应的复数为9＋iC.在复平面内，复数z对应的点为Z（－1，1），则z对应的点位于第三象限D.若复数z满足1≤｜z｜≤2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为π解析对于A，令z＝12＋32i，满足｜z｜＝1，故A错误；对于B，由题知BA＝OA－OB，即在复平面内，BA对应的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故B正确；对于C，Z（－1，1），∴z在复平面内对应点（－1，－1），位于第三象限，故C正确；对于D，设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z满足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×（2）2－π×12＝π，故D正确.故选