数学秋季教案 六年级-15 数形结合找规律

《数学思维训练教程》教案

教材版本：学校：

教师某某某年级六年级授课时间年月日

课时2课时课题第15讲一数形结合找规律

数形结合是一种重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可以

使复杂的问题变得更简单，抽象的问题变得更直观。本讲内容通过数形结

教材分析

合的方法，发现一些规律，并运用规律去解决问题，同时也为以后学生学

习初中知识奠定基础。

1、使学生通过画一画、涂一涂等活动、初步了解几类特殊计算问题与几何

意义之间的对应关系，并能“以形助数”，利用图形解决计算问题，体会

知识技能数形结合方法的优越性；

2、经过观察、分析和思考，能根据找规律问题的已有条件找出规律，掌握

教解决找规律问题的一般步骤和方法；

学通过本讲学习培养学生初步数形结合思想和归纳思想，使学生认识到数学

数学思考

目的内在统一性和条理清晰的思维理性。

标1、运用数形结合找规律使复杂问题简单化，抽象问题形象化，用小学知识

问题解决解决等差数列求和问题和形如

2、，+1_+：1+工+，+...+，的求和问题，运用归纳法解决找规律问题。

24816322"

通过数形结合使学生认识到数学数与形的内在统一性和条理清晰的思维理

情感态度

性。

教学重点：

运用数形结合解决等差数列求和问题和形如1+，+■1+工+工+...+_1的求和

24816322〃

教学重点、难点问题；

教学难点：

数形结合思想和不完全归纳法思想的渗透。

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论

教学过程

记录

一、课前交流，激发兴趣：

师：上课前，老师先给同学们看一个故事：

播放导入

亲爱的同学们，你知道约瑟芬是怎样悟出了其间的道理吗？

生：……

师：其实，约瑟芬公主用硬币代替人，然后从中找到规律。这个方法

在我们数学学习中也经常用到，这就是我们今天要学习的内容一一数形

结合找规律。（教师板书并揭示课题）

师：今天老师给大家介绍一位伟大的数学家一一华罗庚。有没有同学

知道关于华罗庚的小故事？

（如果有学生知道就让学生讲）

师：华罗庚是我国著名数学家，小时候的华罗庚不太用功，数学还得

过“不合格”，但这引起了华罗庚的警觉，他暗下决心，一定要赶上去。

于是，一有空他就抱着数学课本看，寻找数学题来做，渐渐地对数学产

生了兴趣。后来，经过自己努力，成为我国优秀的数学家。为了纪念这

位数学家，华老的家乡人民为他修建了一座纪念馆，今天我们跟着张敏

的脚步一起去瞻仰这座纪念馆。

华罗庚教授是我国著名的数学家。1985年6月12日华罗庚教授逝世

后，华老的家乡人民为华教授兴建了一座华罗庚纪念馆。纪念馆坐落在

江苏省金坛市城南文化园区，由中科院院士、著名规划设计大师齐康规

划设计，是一幢集古典与现代风格为一体的两层建筑，外观既有江南园

林的意境，又缀以简约抽象的几何图形，新颖别致，幽静而庄重。

二、我经历

（-）教学例1

例1：张敏瞻仰了华罗庚纪念馆之后，又买了几本关于数学的书。研读

之后，对其中的几个问题产生了浓厚的兴趣。

师：我们一起来看看，张敏看的这几个问题。

1+2+3+4+5+―+17+18+19+20=

1.学生观察算式特点，寻找解题办法

师：这道题目求1到20这20个数字的和，大家小组讨论一下，看看

哪个小组解决问题的方法多？

(小组合作，解决问题)

2.汇报讨论结果：

(生1)我是一步一步加的，

1+2+3+4+5+—+17+18+19+20=210

(生2)我是凑整算的，

1+2+3+4+5+…+17+18+19+20

=(1+19)+(2+18)+(3+17)+(4+16)+…+(9+11)+20

=20X10+10

=210

(生3)我前半部分利用1到10的和是55的计算结果(代换法)，后半

部分凑整计算，

1+2+3+4+5+―+17+18+19+20

=(1+2+3+4+…+10)+(11+19)+(12+18)+…+(14+16)+15+20

=55+30X4+15+20

=210

(生4)(等差数列求和)我发现这是个等差数列求和问题，利用等差数

列求和公式(有的学生可能会)，

1+2+3+4+5+-+17+18+19+20

=(1+20)X204-2

=20X214-2

=210

(生5)(倒序相加求和)

倒序相加：1+2+3+…+18+19+20

20+19+18+—+3+2+1

上下对齐分为一组求和，每组都是21,一共有20组，最后再除以2

就是所求。

1+2+3+—+18+19+20

=(20+1)X204-2

=21X10

=210

3.教师讲解数形结合。

师：大家的方法真不错，还有没有其他方法呢？

生：……

师：五年级时，大家遇到过下面问题：算一算下面这堆钢管有多少根？

我们用根作为这个图形的单位，可以把下列图形看成是一个上底是1,下

底是20,高是20的梯形，按照梯形的面积公式5=(a+匕)x底2来计算这

堆钢管的根数。

大家自己算一算。

方法三：

借助梯形面积模型求解。

1+2+3+4+5+…+17+18+19+20

转化为求钢管图的根数问题，利用梯形面积公式，解决问题。

S=Ca+b)x/z+2

=(1+20)X204-2

=21X204-2

=4204-2

=210

师：通过计算，你发现了什么？

生：用梯形的面积公式也能很快的解决问题，而且很直观。

4.教师小结：

其实，华罗庚在他的学习过程中就发现，可以用画图的方法帮我们解

决很多数学问题，为了说明这种方法的好处，他还特地写了一首诗：“数

缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，

所以大家在以后的学习过程中，尽量从数形结合的角度考虑问题，这样

会使解决问题变得简单。

（二）教学例2

例2：-+-+-+—+—=（）

2481632

1.学生观察算式特点，说说自己的想法。

师：刚才我们用凑整、代换、数形结合多种方法解决了例1,现在小组

讨论例2,说一说，你想怎么计算例2?

2.学生汇报方法：

（1）我发现后一个数是前一个数的一半，如果给这个算式乘2再相减，

计算会简便；

（2）我想通过画图来帮助计算，但不知道该怎么画图？

3.请学生先尝试计算（独立完成）。

（方法一）：

假设A」+LL-!-+-!-,那么2A=1+W+L

248163224816

所以A=2A-A

.1111、z11111、

248162481632

=1-—

32

=卫

~32

4.教师引导学生画图，给学生发放学习材料（打印正方形的纸张、彩笔）：

师：!可以怎么画?请你在正方形中涂出!（如下图黄色部分）；

22

师：再加上工，可以怎么画?请你在正方形中再涂出L（如图绿色部分）；

44

师：照这样的方法，请大家接着在这张纸上涂出1、,如下图:

81632

彩色部分面积即为所求，彩色面积=整个面积一空白部分，列算式为:

+±-i1-31

24816323232

答案：

（方法二）：

■1x2」以

23232

（三）教学例3

例3平面上有101条直线，它们最多有多少个交点？

1.学生先观察图形特点，从中寻找规律。

师：数一数，每幅图有几个交点？

1条直线2条直线3条直线4条直线

。个交点1个交点3个交点8个交点

2.合作探究，找出规律

师：小组讨论，前四幅图的交点个数有什么变化规律？

生：通过观察发现前四幅图的交点个数存在如下规律：

师：根据你找到的规律说一说，5条直线最多有几个交点？6条直线最

多有几个交点？你找到了什么规律？

生：5条直线相交有6+4=10（个）交点；

6条直线相交有10+5=15（个）交点。

3.师生探讨，找出直线条数与交点个数的规律。

直线条数1条直线2条直线3条直线4条直线

X

图形Xy

交点个数0个交点1个3^：3个交点6个交点

规律O04-10+1+2O+14-2+3

师：根据大家找到的规律，你能说出101条直线有多少个交点吗？

生：...

师：为什么算不出来呢？因为大家找的规律是需要知道前一幅图的交

点才能求出后一幅图的交点个数，怎么才能知道“有几条直线就求出它

们最多有几个交点”呢？我们得找出直线条数与交点个数的关系。现在

我们根据大家的想法算一算，

教师板书：

1条直线：0=0

2条直线:1=0+1

3条直线:3=0+1+2

4条直线:6=0+1+2+3

5条直线：10=0+1+2+3+4

师：现在你又找出了什么规律？

引导学生发现：n条直线最多有0+1+2+3+4+…+（n—l）个交点。

4.运用规律，解决问题

师：根据找到的规律，请你算一算，101条直线有多少个交点？

5.生尝试解答：

答案：

0+1+2+3+4+—+100=5050（个）

答案：它们最多有5050个交点。

三、我学会

1.1+2+3+4+—+97+98+99+100=

（1）师：大家独立完成我经历L

（学生完成）

（2）谁来在黑板前说一说，你是怎么做的？

生：我用数形结合的方法，把这些数字的和转化为求梯形的面积问题。

让学生上黑板画出示意图,

答案：

1+2+3+4+…+97+98+99+100=(1+100)X1004-2=5050

2.10+11+12+13+14+…+67+68+69+70=

(1)师：大家画图，独立完成我经历2。(学生会遇到“10〜70有几个

数？”的困难)

(2)小组讨论，求梯形的高。

师：计算过程中，有没有困难？

生：梯形的高不知道是多少？

师：小组讨论，梯形的高是多少？

(3)汇报讨论结果

师：梯形的高是多少？哪个小组给咱们说一说？

生：从1〜70是70个数，10〜70比1〜70少9个数，所以梯形的高是

610

答案：

10〜70是61个数，所以梯形的高是61.

10+11+12+13+14+―+67+68+69+70

=(10+70)X614-2

=2440

3=

'2481632

（1）教师发放学习材料，画有正方形的纸，彩笔。

师：小组合作，按照算式想办法画图解决。

生：因为是减法，所以按照减去的涂色的思路，剩下空白即为所求。

第一步，把正方形一分为二，涂掉‘，剩下,空白（如图1）,

22

图1图2

第二步，再左边’中涂掉,（如图2）

24

按照这样的步骤，依次涂掉1、,（如下图）

81632

（2）学生尝试解答。

答案：

j_X±_L=_L

T"8"16'32-32

四、课堂小结

这节课你学到了什么？大家互相说一说。

师生总结：这节课介绍了几种可以转化为图形问题的数学计算问题,

通过学习发现：把这类问题转化为图形使计算问题变得简单而且有效,

大家在后面的学习过程中，要多利用这种数形结合的思想。

第二课时

复备内容及讨

教学过程

论记录

一、课前交流，巩固新知

师：刚才我们用数形结合的方法解决了我经历中的例题，大家学的怎

么样？有没有不太明白的地方？

师：上节课你学到了什么？互相说一说。

（学生互相讲解，答疑解惑）

师：如果大家没有疑问，我们就用所学知识解决下面的问题。

二、我学会。

4.1+3+5+7+9+11+13+…+95+97+99=

□田汪ffi

①②③④

（1）观察算式特点，从简单的图形入手寻找规律。

师：小组讨论，怎样求出上式的和？

（2）学生讨论，运用一般方法（直接相加、凑整、梯形面积求和、等差

数列求和公式解决问题）

（生1）我是凑整计算的：

1+99=3+97=5+95=...=49+51

因为100中有50个奇数，这50个奇数2个凑一对凑成了25对，所以

1+3+5+7+9+11+13+…+95+97+99=100X25=2500

（生2）方法一：我想用数形结合的方法。

।।।।।।।m-m

99

因为100里有50个奇数，所以梯形的高是50.

(3)学生尝试解答。

答案：

1+3+5+7+9+11+13+…+95+97+99

=(1+99)X504-2

=2500

(4)师生合作找规律，探究新的方法

师：根据书上的提示图，我们看看能否有其他方法。先观察下列四幅图,

你发现了什么？

生：经过观察，我发现：

方法二：

从1开始1个奇数的和，是1的平方：1■,1=F；

从1开始2个奇数的和，是2的平方：；：：：■

1+3=22；

1…

从1开始3个奇数的和，是3的平方：5...g

1+3+5=32;

从1开始4个奇数的和，是4的平方：

1

3

5

7

1+3+5+7=42

从以上四个算式中我们发现：

1+3+5+7+…+(2n-l)从1开始有几个奇数，就是几的平方。

(5)运用规律，解决问题。

答案：

根据上述规律，1+3+5+7+9+11+13+-+95+97+99是求从1开始到99这50

个奇数的和，所以

1+3+5+7+9+11+13+-+95+97+99=50X50=2500

三、我挑战。

1.华罗庚教授在他的书中这样说：数缺形时少直观，形少数时难入微；数

形结合百般好，隔离分家万事休。

+—+—H--F---=()

4816321024

(1)用两种方法独立完成。

(2)请两位同学上台讲解，一位用算术的方法，一位用数形结合的方法。

(方法一)先扩大，再相减。

必,4A11111

4816321024

mF111111

2481632512

原式=2A-A

」__1_

21024

_511

1024

(方法二)用数形结合的方法解决。

从图中可以看出

1111111511

—H--1---1---1---1----=------=----

4816321024210241024

2.2+4+6+8+-+98+100=()

(1)小组讨论，合作交流解决问题。

(2)汇报讨论结果。

(生1)我用凑整法解决。

2+4+6+8+…+98+100

=(2+98)+(4+96)+(6+94)+…+(48+52)+50+100

=100X25+50

=2550

(生2)我首尾相加用乘法计算

2+4+6+8+-+98+100

=(2+100)+(4+98)+(6+96)+(8+94)+•••+(50+52)

=102X25

=2550

（生3）答案我用数形结合的方法

2

।।।।।।।n…m

100

因为100里有50个偶数，所以梯形的高是50.

2+4+6+8+…+98+100

=（2+100）X504-2

=102X504-2

=2550

3.下面各图都是用边长1厘米的正方形拼成的，你能求出每个图形的周长

是多少吗？

□

m

100个正方形

（1）师：小组讨论，你们能想出几种解决问题的方法？

（有的同学直接计算每个图形的周长，有的同学通过先观察前几个图形找

出规律）

（2）汇报讨论结果。

（生1）直接计算每个图形的周长。

□长1宽1的长方形，周长（1+1）X2=4（厘米）

II长2宽1的长方形,周长（2+1）X2=6（厘米）

III长3宽1的长方形,周长（3+1）X2=8（厘米）

100个正方形

长100宽1的长方形，周长（100+1）X2=202（厘米）

（生2）我先求出前三个图形的周长，观察总结规律，再运用观察到的规

律解决问题。

口个数123.......n

周长468.......

1个口周长是4厘米，等于2X1+2

2个口周长是6厘米，等于2X2+2

3个口周长是8厘米，等于2X3+2

通过观察发现

n个□周长是等于2Xn+2

答案：

运用观察到的规律，100个正方形的周长是:

2X100+2=202（厘米）

4.请你根据下面图形中的规律计算。

（1）师：大家仔细观察下图，先填空。

生：通过观察前面2幅图，可以知道,

9=1+2+3+2+116=1+2+3+4+3+2+1

（2）引导学生观察规律。

观察图形和这几个算式，你发现了什么？在小组里互相说一说。

1=1

41+2+1

9=1+2+3+2+1

]6=1+2+3+4+3+2+1

生：通过观察发现，

l=l=y,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,

1+2+3+4+3+2+1=16=42

师：抢答1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=?

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=?

1+2+3+4+…+(n-1)+n+(n-l)+…+4+3+2+1=?

(3)通过观察到的规律解决问题

1+2+3+4+…+98+99+100+99+98+•••+4+3+2+1=1002=10000

5.你知道第6个图形中共有多少个三角形吗？

/\且显

图1图2图3

(1)引导学生观察图形

师：数一数，图1中有几个三角形？

生：1个。

师：数一数，图2中有几个三角形？

生：5个。

师：数一数，图3中有几个三角形？

生：9个。

(2)小组探究，发现规律

师：每幅图中三角形个数有什么变化规律？

生：(通过观察1,5,9)发现后一个图形的三角形个数比前一个图形多

4.

图1中，l=4X0+l

图2中，5=4X1+1

图3中，9=4X2+1

图4中，13=4X3+1

图4

图n中，三角形个数为4义（n-1）+1个。

（3）运用规律解决问题。

第6个图形中共有4X5+1=21（个）

6.下图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长

为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺

寸更大的图形（如图2）,依此规律继续拼下去（如图3）,……，则第

n个图形的周长是多少？

图1图2图3

（1）引导学生，读题审题，分析题意。

师：谁来给咱们读题目？结合图形说说题目的意思？

（2）引导学生，观察图形，计算周长

师：请你通过计算求出图1、图2、图3的周长。

（学生计算，有多种方法，学生算对就行。教师巡视指导）

X

图11X2+-X4=4；

2

图2为方便计算，如图连线，2X2+1X4=8；

为方便计算，如图连线，4X2+2X4=16；

(3)小组探究，发现规律，

师：根据计算结果，你发现这些图形的周长有什么变化规律?

生：图1周长为4=2川，

图2周长为8=2?刊,

图3周长为16=23口，

通过观察发现，图n的周长应为2"九

四、拓展延伸

1、如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那

么通过观察，可以发现：第20个“上”字需用多少枚棋子？

营二个“卜”字第二个“卜”字第二个"卜"字

(1)教师引导发现规律。

师：观察这几