高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (六)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（6）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-中，点E,尸分别是棱,

BiG的中点，过A,E,尸三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）

A.18+3V2

B.6<13+3V2

C.6V5+9V2

D.10+3V2+4V10

2.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8C。为菱形，/.DAB=60°,侧

面PAO为正三角形，且平面PAD_L平面4BS,则下列说法错误的是

（）

A.在棱AO上存在点M,使AD，平面PMB

B.异面直线AO与PB所成的角为90。

C.二面角P-BC-4的大小为45。

D.BD，平面PAC

3.在四棱锥P-4BCO中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是一个正三角形，若平面PAO1

平面ABCZ）,则该四棱锥的外接球的表面积为

A147r567r

A--B.等cI-D.等

4.如图，长方体ABCD-a&GD1中，E、尸分别为棱A8、&Di的中点.直

线。&与平面EFC的交点。，则啜■的值为（）

UD1

A-I

3

B.5

1

C.3

2

D.3

5.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角

形，E,尸分别是PA,AB的中点，ACEF=90°,则球O的体积为（）

A.8>/67rB.4V6TTC.2y/6nD.V6TT

6.已知矩形A8CO,4D=&AB,沿直线5。将△48。折成,使点A在平面8C。上的射

影在△BCD内（不含边界）,设二面角4Z?。-「的大小为J,直线AD,AC与平面8CO所成的角

分别为a,S，则（）

A.a<0<pB,p<9<aC./?<a<0D.a<p<0

7.如图，已知正方体48。。一4/传1。1的棱长为4,尸是441的中点,

在侧面44$$内.若DiMLCP,则ABCM面积的最小值为（）

A.8

B.4

C.8V2

D.笫

8.如图，在44BC中，AB=BC=y/6,^ABC=90",点。为AC的中点,

将4ZBD沿3。折起到4PBD的位置，使PC=PD,连接PC,得到三棱

锥P-BCD.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是

A.77r

B.57r

C.37r

D.n

9.在三棱锥E-ABD中，己知AB=1,DA=B，三角形BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E-

ABD的外接球的最小表面积为（）

By/3TlQ3267r

A2后BD.等

*3*3•27

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

10.已知正方体，3C。-.％小。|2棱长为2,M为CG上的动点，AM，平面a.下面说法正确的是

()

A.直线A8与平面a所成角的正弦值范围为哼，争

B.点M与点G重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点M为CG的中点时，若平面a经过点B,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.已知N为。么中点，当W+A/N的和最小时，M为CCi的中点

三、填空题(本大题共n小题，共55.0分)

11.在三棱锥P-4BC中，已知P4J.BC,PBVAC,PA=PB=PC=2AB=4,则三棱锥P-ABC

外接球的表面积为.

12.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的体积为.

13.如图，在四棱锥P-4BC。中，已知PO_L底面ABCD,AB//DC,AB1BC,PD=AB=2CD=2,

则点A到平面PBC的距离为.

14.如图，E是正方体力BCD-48传1。1的棱Ci%上的一点，且BQ1〃平

面SCE,则异面直线3D1与CE所成成角的余弦值为

15.在四面体ABC。中，CA=CB,DA=DB,AB-6,CD=8,

ABu平面a,平面a，民尸分别为线段A。，BC中点，当四

面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线/夹角的余弦值的取值

范围是.

16.已知体积为8的正方体中，M,N,P分别为AB,BC,CC1的中点，S在平面

ABC。内，且5S〃平面MNP,则线段BS的最小值为

17.某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积

18.如图，在长方体ABCD-aB1GD1中，E是441的中点，点厂是AD上一点,AB=44i=2,BC=3,

AF=1,动点P在上底面4B1GD1上，且满足三棱锥P-BEF的体积等于1,则直线CP与所

成角的正切值的最小值为.

19.体积为"的三棱锥4-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2低AB<2小则该三棱锥外

接球的表面积为

20.如图，在斜三棱柱aBC-aBiG中，/.BAC=90°,BCj1.AC,则GB,C

在底面ABC上的射影“必在直线____上.

21.四棱锥P-2BCD的底面是边长为1的正方形，PA，平面ZBCD.过直线BO的平面BDE与PC垂

直，且与PC交于E点.当三棱锥E-BCD的体积最大时，叫棱锥P-4BC。的外接球表面积为

四、解答题(本大题共9小题，共108.0分)

22.如图1,在直角梯形A8CD中，E,尸分别为AB的三等分点，FG〃BC,ED〃8C,AB=3,BC=2,

若沿着FG,EQ折叠使得点A和点B重合，如图2所示，连结GC,BD.

⑴求证：平面GBD1平面BCDE；

(2)求点E到平面CDG的距离.

23.如图所示，ABCD是边长为2的正方形，4E1平面8CE,且AE=1.

(I)求证：平面4BC。1平面ABE；

(II)线段A。上是否存在一点F,使三棱锥4-BF-E所成角的余弦值为,？若存在，请找出点

尸的位置；若不存在，请说明理由.

24.如图,已知正四棱柱ABCD—A1BR1D1底面边长AB=2,侧棱AA1=3,M为侧棱CQ的中点.

(1)求证：BD1AM：

(2)求证：AR]〃平面BiDM；

(3)求三棱锥A】-BiDM的体积.

25.如图，斜三棱柱4BC-4/B/C/的底面是边长为6的正三角形，A1A=A1B=A1C=4.

(1)求证：AAT1BC；

(2)求直线与侧面GCBB]所成的角的正弦值.

26.如图，在各棱长均为2的三棱柱4BC-&B1C1中，侧面4遇CC[_L底面

ABC,AArAC=60".

(1)求侧棱BA1与平面ABC所成的角；

(2)已知点D满足晶=BA+BC＞在直线4公上的点P，满足DP〃平面求二面角8-CP-

A的余弦值.

27.如图，在四棱锥P・48CD中，底面A3CQ为梯形，Z.ABC=Z.BAD=90°,AP=AD=AB=V2,

BC=3Z-PAB=Z-PAD=a.

(1)当t=3及时，试在棱人上确定一个点E,使得PC〃平面并求出此时篝的值;

⑵当a=60。时，若平面P4B1平面PCD,求此时棱8c的长.

28.如图，在多面体4BC0-中，侧棱A4,BBi，CG，0%都和平面ABCZ)垂直，4D〃BC,

AB=BC=CD=BB]=DD1=2,AA1=AD=4,CCr=1。

(/)证明：平面BiCi/J•平面ABBiAi；

(〃)求多面体ABC。-AiBiGA的体积。

29.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。为正方形，力。为等边三角形，平面PAD，平面

PCD.

(I)证明：平面PAD，平面ABCD-,

(11)若48=2,Q为线段PB的中点，求三棱锥Q-PCO的体积.

30.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》

中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，

一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(biena。)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵

ABC-4B1G中，AB1AC.

(/)求证：四棱锥B-44CCi为阳马；

(n)若GC=BC=2,当鳖膈G—ABC体积最大时，求锐二面角c—4B—G的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：B

解析:

由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案.

本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题.

解：如图,

延长EF、4当相交于连接AM交BBi于H,

延长FE、为劣相交于N,连接AN交DD1于G,

可得截面五边形AHFEG.

•••4BCD-&B1C1D1是边长为6的正方体，且E,尸分别是棱的久，BiG的中点,

EF=3vLAG=AH=y/62+42=2VH，EG=FH=V32+22=^13.

截面的周长为6m+3V2.

故选B.

2.答案：。

解析：解：对于A,取的中点M,连PM,贝卜侧面PAD为正三角形,

PMLAD,

又底面A8CO是ZDAB=60。的菱形,

二三角形AB。是等边三角形，

・•・AD1BM,

A

.,•AD1平面P8M,故A正确，

对于B,AD_L平面PBM,

：.AD1PB,即异面直线A£>与PB所成的角为90。，故B正确，

对于C,•••底面A8CD为菱形，ADAB=60。平面PAD_L平面ABCD,

：.BM1BC,则Z_PBM是二面角P—BC-A的平面角，

设AB=1,则更，PM=—.

22

在直角三角形PBM中，tan4PBM=普=1,

即NPBM=45。，故二面角P-BC-4的大小为45。，故C正确，

对于£>,若80_1_面必。，则BD1PC,又PMLBD,则需BO_LMC,显然不成立，故错误的是

故选：D.

根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可.

本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题

的关键.综合性较强，难度较大.

3.答案：D

解析：

本题考查了空间几何体与球的外接几何体的表面积；求出球的半径，再利用表面积计算公式进行计

算即可；

解：分别过△P4D,正方形ABCO的中心作这两个面的垂线，它们的交点为外接球的球心，所以外

接球的半径R=J（2夜）2+（言J=后，

1127r

所以外接球的表面积S4不？7',

故选D

4.答案：A

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与运算求解能

力，是较难题.

。在面EC/与面DiDBB］的交线上，延展平面ECF,得到面ECHF,4在小么上，KM为面ECFHF

与面DiDBBi的交线，。在KM上，DBiCKM=0,由△KOBI-AMOD,利用相似三角形对应边成

交点。既在平面ECF±,又在平面DiOBBi上，

。在面ECF与面。的交线上，

延展平面ECF,得到面ECT/凡H在G5上，

则K,M都既在面ECH尸上，又在平面D1DBa上，

KM为面EC”F与面DiDBBi的交线，.•・。在KM上，

•••。在OB［上，•••DB1nKM=0,

取出平面O1DBB1，

易得AKOBis^MOD,

DODM

OBC'BJ<'

2

由△DMC“ABME,得。A/~DB,

J

设G为GDi的中点，由三角形相似可得。尸=,

再由题意可得&G//FH,则。声="1。|,则当<=/。|=）。.

666

2

DODM_3DD4

二丽用

6

故选：A.

5.答案:D

解析：

【试题解析】

本题考查三棱锥的外接球的体积.

先根据已知条件得到三棱锥P-4BC中PA,PB,PC两两垂直，三棱锥P-4BC放到正方体中，则

正方体的棱长为或，则正方体的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球，由此得到球。的半径，进而

求出体积.

解：如图,

取AC中点G,连接PG,BG,

易证4c_L平面PBG,PBu平面PBG,故PB1AC,

又E,尸分别是PA,A8的中点，故EF//PB,

由"EF=90。，得EF1EC,

故PB1EC,而4CnEC=C,

因此PB，平面PAC,

所以PB1PA,PB1PC,

又因为A/MB,△PBC,△P?!£1是全等三角形，

所以三棱锥P-4BC中PA,PB,PC两两垂直，

将三棱锥P-48c放到正方体中，如图，则正方体的棱长为企,

则正方体的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球，

易求得正方体的体对角线长为遥，故球O半径R=

则球O的体积V=加3=0x誓=%,

故选£).

6.答案：D

解析：

本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档

题.

由题意画出图形，由两种特殊位置得到点4在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三

个角的正弦的大小，则答案可求.

解：如图，•••四边形ABC。为矩形，

当4'点在底面上的射影。落在BC上时，

有平面.A'GCLL底面BC。，XDC1BC,平面ABCn底面BCD=BC,可得DC1•平面ABC,则

DC±BA'，

又DCCDA'=D,OC,ZM'u平面AOC,「刀心平面4'DC,

又ACu平面4CC,

在RfABA'a中，设则BC=V^，

­.A'C1.说明。为BC的中点；

当A'点在底面上的射影E落在3。上时，可知.|'E_L3O,

设BA'=1,则4。二松，.，.八/,彳，BE=—.

要使点大在平面88上的射影产在△BCD内（不含边界），则点4的射影尸落在线段OE上（不含端点

）.

可知NA'EP为二面角A'-B。「的平面角氏直线4D与平面8CQ所成的角为NJOFn，

直线4c与平面BCQ所成的角为NA'JF3,

可求得DF>CF,且HE-亚<1，而AC的最小值为L

3

Afp4ZF4’产

.-.sinN.A'DF=磊<sinNA'CF=^<siiiNA'EF=学，

则a<p<e.

故选：D.

7.答案：D

解析：

本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，考查数形结合思想.

以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出4BCM面

积取最小值.

解：以48,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则P(0,0,2),C(4,4,0),5(0,4,4).

设M(a,0,b),则两=(a,-4,b-4),CP=(-4,-4,2).

vDiM1CP,D^M-CP=-4a+16+2b-8=0.即b=2a-4.

取A8的中点N,连接&N,则点M的轨迹即为线段&N.

过点B作BQ1&N,则当点M与点。重合时，3M最小，且的最小值为竿=越.

2V55

又BC1平面4BB14,故BC1BM,

BCM面积的最小值为三x4x型=迪.

255

故选O.

8.答案：A

解析：

【试题解析】

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运

用，

由题意得该三棱锥的面PCD是边长为次的正三角形，且8。，平面PCD,

求出三棱锥P-BCC外接球半径R=立，由此能示出该球的表面积.

2

解：由题意得该三棱锥的面PC。是边长为旧的正三角形，

且BC_L平面PCD,

设三棱锥P-BOC外接球的球心为0,

△PCD外接圆的圆心为。「贝I。。1_L面PCD,

•••四边形001D8为直角梯形，

由BD=V5，。1。=1,及OB=0D,得0B=，，

•••外接球半径为R=亚，

2

・•・该球的表面积S=4zr/?2=47rx-=77r.

4

故选A.

9.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

由题意画出图形，可得力D1AB,取B。中点G,则G为的外心，设正三角形BOE得外心为

0,可知当平面ABDJL平面BDE时，三棱锥E-ABD的外接球的半径有最小值，由此求得答案.

解：如图，

由4B=1,04=旧，BD=2,得4C14B,

取8。中点G,则G为△ABD的外心，

设正三角形BDE得外心为0,可知当平面AB。1平面BDE时,

三棱锥E-4BD的外接球的半径有最小值为0E=结

3

三棱锥E-48。的外接球的最小表面积为47rX(亚孕=&.

I3，3

故选O.

10.答案：AC

解析：

本题考查了立体儿何的综合问题，考查学生的分析推导能力，计算求解能力，属于困难题.

对于A,建立空间直角坐标系设点M(0,2,a)(0SaW2),求出|cos<南，而7>|从而即可求解.

对于B,结合题意连接40、BD、&B、AC,结合线面垂直的性质定理即可求解.

对于C,设平面a交棱45于点E(b,0,2),从而利用空间向量即可求解.

对于D,将矩形力CG4与矩形CGD1。延展为一个平面即可推导求解.

解：对于A选项，以点。为坐标原点，D4、QC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角

坐标系0-xyz,

则点4(2,0,0)、5(2,2,0).设点M(0,2,a)(0Ma42),

"AM1平面a,则祠为平面a的一个法向量，且施=(—2,2,a),AB=(0,2,0),

|cos〈艰祠＞|=晅晅=T==*=e卢刍，

11\AB\-\AM\2xVa2+8Va2+8L3'2J

所以，直线AB与平面a所成角的正弦值范围为［①,上］,A选项正确；

32

对于3选项，当M与C1重合时，连接4。、BD、&B、AC,

在正方体48C0-A/iCiDi中，CCi，平面ABCO,

•・•BDu平面ABCD，:.BD1CQ,

・・,四边形ABCD是正方形,则8D1AC,

vCCinAC=C,•-BD_L平面？ICC1，

vACru平面ACC］,:.ACr1BD,

同理可证ACi1ArD,

■:A1DABD=D,:.AC1_L平面ABD,

易知13A/D是边长为2鱼的等边三角形，

其面积为，4遇。=手X(2/=2百，

周长为2V2X3=6V2.

设E、F、Q、N、G、H分别为棱力/1、BBi、BC、CD、DD1的中点,

易知六边形EFQNGH是边长为鱼的正六边形，且平面EFQNG〃〃平面

正六边形EFQNGH的周长为6混，面积为6X手x(鱼『=38，

则日的面积小于正六边形EFQNG”的面积，它们的周长相等，B选项错误;

对于C选项，设平面a交棱于点E(b,0,2),点M(0,2,l),AM=(-2,2,1).

vAMJ_平面a,DEu平jfja,

:.AM1DE,

即福•屁=-2b+2=0，得b=1,

•••E(1,0,2),

所以，点E为棱的中点，

同理可知，点F为棱为&的中点，

则尸(2,1,2),前=(1,1,0)，

而加=(2,2,0)，•••市=(丽，

:.EF//DBREF手DB,

由空间中两点间的距离公式可得DE=V22+02+I2=V5.

BF=J(2-2■+(1—2<+(2-0)2=V5)

・・.DE=BF,

所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；

对于。选项，将矩形4CG4与矩形CQDiD延展为一个平面，如下图所示:

若AM+MN最短，则A、M、N三点共线,

.MC_AC_2鱼

DNAD2V2+2

•••MC=2-&制CG，

所以，点M不是棱CG的中点，。选项错误.

故选AC.

1927r

11.答案:

U

解析：

本题主要考查了球的表面积和体积，属于中档题.

根据题意画出图形，作辅助线分析图形解题即可.

如图，作PHI平面ABC,垂足为“，连接/M,HB,HC.

因为P4J.BC,BC1PH,PACPH=P,PA,PH在平面中

所以BC1¥®AHP,

又AHu平面AHP,

故BCJ.4H；同理得ZC18H,

故”为△4BC的垂心.

又因为Rt△AHP三Rt△BHP三Rt△CHP,

故AH=BH=CH,故〃为4ABC的夕［'心.

故△ABC为等边三角形，

因此2AH=焉,解得4”专，

故PH=M-士=但

7373

设三棱锥P-4BC的外接球的半径为R,

则(PH-R)2+4,2=R2,

解得R2=弟

故外接球表面积为S，krx4：8119277.

1Q97T

故答案为.

12.答案：区更兀

3

解析：解：•.・长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上,

•••球0的半径R=V32+—12=叵

22

・・•球。的体积v=-JlR3=-X7TX(―)3=打更7E

33'2/3

故答案为：乂更7r.

3

推导出球0的半径A=132+22+12=名,由此能求出球。的体积.

22

本题考查长方体的外接球的体积的求法，考查长方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求

解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

13.答案：卓

解析：

本小题主要考查点到平面距离的求法、推理论证能力和运算能力，属于中等题.

利用等体积法：连接AC,则以_PBC=Vp-ABC，而三棱锥p-4BC体积易求，三棱锥4-PBC的底面

的面积易求，其高即为点A到平面P8C的距离，设为h,则利用等体积法，即可求点A到平面

PBC的距离.

解：设点A到平面PBC的距离为6，BC=a,

因为AB〃DC,/.ABC=90°,AB=2,得4ABC的面积〃川区=a.

由PD1平面A8CQ及PD=2,得三棱锥P-4BC的体积V=|SA4BC-PD=|a.

因为PD1平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PO1BC,

又AB“DC,AB1BC,得BCLCD,

而PDCCD=D,PD、CDu平面PCD,

BC_L平面PCD,又PCu平面PCD,

：.BC1PC,

.•.△PBC为直角三角形，

又PD=2DC=2,所以PC=>/PD2+CD2=后

得公PBC的面积〃PBC=ya.

^Kt-PBC=^P-ABC§SAPBC,仁三a，得〃=

故点A到平面PBC的距离为延，

5

故答案为延.

5

14.答案：解：连接BC】，交于点。，连接OE,

E是正方体上棱GDi上一点，BCC$i是正方形。是BG中点，

•••由BO1〃平面BiCE,BDr//0E,

E是正方体棱GA的中点，

以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，DQ为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则B(2,2,0),Di(0,0,2),C(0,2,0),E(0,l,2),

亚=(-2,—2,2)，CE=(0,-1,2)，

设异面直线与"所成角为。，

而”吗.曰__6__匹

阿.阿g瓜5

••・异面直线HD】与CE所成角余弦值为手，

故答案为叵.

5

解析：本题考查异面直线所成角，连接BCi，交于点。，连接0E,由8劣〃平面/CE,得到E是棱

G5的中点，以。为原点，D4为x轴，CC为y轴，为z轴，建立空间坐标系，利用向量法求

出异面直线所成角余弦值.

15.答案：［0白

解析：

本题考查线面垂直的性质，求解空间中异面直线的夹角，立体几何中探索性问题，属于中档题.

得出CD14B,/IGF,从而得出绕AB旋转等价于E尸绕GF旋转是解题的关键.

解：取AC的中点G,AB的中点”，连接FG,EG,CH,DH,如图所示：

vCA=CB,DA=DB,

•••CHA.AB,DH1AB,又CHCDH=H,

AB1平面CDH,又CDu平面CDH,

・•・CD1AB；

VE,F,G分别为线段40，BC,4c的中点,

AGF=^AB=3,GE=|CD=4,S.GF//AB,GE//CD,

•••GF1GE,EF=>JGE2+GF2=5:

二当四面体以A8为轴旋转，等价于EP绕GF旋转，

由GF〃AB,11AB,可得，IGF,

所以直线EF与直线/夹角。满足90。-4GFE<9<90°,

又sin/GFE=器=士

EF5

sin。6［。,工

故答案为［0,J

16.答案：>［?.

解析:

【试题解析】

本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力，属中档题.

由。1S〃平面MNP,而平面014c〃平面MNP,易知点S在直线AC上运动，可得线段BS的最小值.

解：依题意，正方体ABCD-4道传1。1的棱长为2.

如图，连接BG，4C、AD［、CD1，

•:M,N,尸分别为48,BC,CCi的中点,

AMN//AC,NP//BC1//AD1，

•••MNC平面4皿，ACu平面4皿，

MN〃平面同理可得NP〃平面4co1，

又MNnNP=N,MN、NPu平面MNP,

.•・平面MNP〃平面4CDi，

,:%S〃平面MNP,%€平面ACO],

•••%Su平面ACCi，则点S在直线AC上运动，

故线段BS的最小值即为点B到直线AC的距离

故答案为VL

17.答案:207r

解析：

本题考查简单几何体的三视图，考查多面体外接球表面积的求法，关键是由三视图还原几何体，属

于中档题.

解：由三视图作出原几何体，如下图，

三棱锥a-BCD的底面8co为等腰直角三角形，BC1侧面侧面A3。为等腰三角形，且腰长

为2,

在^ABD中，由余弦定理求得40=V22+22-2X2x2xcosU00=2百，

由正弦定理得我念=2「,"嘴=2,

设△480的外心为G,过G作平面A8Z）的垂线，与2C的垂直平分线交于0,

・・・OB2=OG2+5G2=5,

，几何体的外接球表面积为4TTR2=20TT,

故答案为207r.

18.答案：等

解析：

【试题解析】

本题考查空间向量在解立体几何问题中的应用，考查计算能力和推理能力，属于难题.

根据题意建立空间直角坐标系，设2)(0WmW3,OWnW2),求出平面BFE的法向量，然

后利用棱锥的体积公式和异面直线角的公式即可得.

解：以。为坐标原点，分别以DA,DC,DDi所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设2)(0<m<3,0<n<2),则尸(2,0,0),E(3,0,1),B(3,2,0),C(0,2,0),。式0,0,

2)，

所以而=(1,2,0),FE=(1,0,1)>CP=(m,n-2,2),西=(0,0,2),

设平面BPE的法向量为五=(x,y,z),

则眄•曰=x+2y=0,令/=2,则z=—2,y=-l.

所以平面BFE的一个法向量为方=(2,-1,-2),

因为EP=(m—3,n,1)，

所以点P到平面BFE的距离d=噂=包±11,

|a|3

因为EF=&，BF=V5=BE，

所以SABFE="&X苧=?

因为Vp_BFE=]XS^BFEd=-x-xd=1,

所以d=Mm；-8|=2,

所以2zn-n=2或2m-n=14(舍)，

设直线CP与DD1所成的角为仇则。wn：),

所以cos。=画吧=「42

|CP||D5|2xVm2+(n-2)2+4

——2一-―2——2―«v店_

77n2+(27n-4)2+4V57n2-167n+20[⑺-)+史~3，

所以cos。的最大值为更，此时0最小，

3

所以tan82塞=W.

V

即直线CP与所成角的正切值的最小值为等.

故答案为公.

5

19.答案：yTT

解析：

【试题解析】

本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于较难题.

由题意取A8的中点E,连接。E,CE,因为BC=AC=BD=4。=3,所以CE1ZB,DE1AB,

DEnCE=E,

所以4面COE,且DE=CE,取CO的中点，连接EP,则EPIC。，再由体积可得AB的值，进

而求出底面外接圆的半径，及。到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

解：取A8的中点E,连接。£,CE,

因为BC=AC=BD=AD=3,

所以CE1AB,DELAB,DE^CE=E,

所以ABJJSCDE,且DE=CE,取CD的中点，连接EP,则EPJ.CD,

所以Vhse=；AB・SCDE=\'AB>\CD-EP

JJ/

1l、DC、

=--AB2^5-DE2-(—)2

62

V5AB

2(——/o-5

=-3-AB-JAD-2J

=--AB-)4--.

374

因为匕-BCD=空支，

Z1DKtLf3

所以4竺=更.48.卜-”因为48<2遮，

33y]4

所以解得AB=2；AE=1,

DE=CE=JAC2x/32-l=2>/2，

所以sin/j4CE=器=1，

所以sinNACB2sinZ.ACE*cos^ACE

n12\/24>/2

=Z--•—=—，

339

由题意可得。在底面的投影在中线CE所在的直线上,

设为F,设。尸=九，

设底面ABC的外接圆的半径为r,

设圆心为O',2丁=嬴石=建，

9

所以T

=i--AC2-sin乙ACB-h=--9-2^2■h,

326

解得人=叵,

2

所以所=，“2-。尸2=心_岑=当,

所以O'F=EF+O'E=烂+挈=，

288

过。'作()0,面ABC的垂线，作。尸于H，则四边形HFO'。为矩形,

设外接球的半径为R,取。力=OB=0D=R,

在三角形O”。中，0D2=0H2+(DF-FH)2,

即R2=OF2+（手一OO）2=（¥尸+（手—0（斤，①

在三角形。。'中，0。2=C0,2+。。，2=「2+。0,2即A2=（至，②，

由①②可得R2=M

所以外接球的表面积S=4兀/?2=4兀.翁=£兀，

故答案为日兀.

20.答案：AB

解析：

根据AC与一个平面上的两条相交直线垂直，得到AC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判

定和性质，得到结果.

解：连接力G，因为4clAB,AC1BCr,

所以4cL平面ABC1，

又ACu平面ABC,

所以平面4BG工平面ABC,

所以G在平面A8C上的射影，必在两平面的交线AB上.

故答案为AB.

21.答案:47r

解析：

本题考查了空间几何体中的最值问题，常用到基本不等式和函数的单调性求解.

连接4C,作EF14C于点F,可知EF为点E到平面BCD的距离，求EF取得最大值时PA的长度,

然后将四棱锥放在长方体中，四棱锥P-ABCD的外接球即长方体的外接球，从而可得到结果.

解：连接AC,作EF1AC于点F,可知EF为点E到平面BCQ的距离，

则设P4=X,则PC=V2T^2,

则sinN.APC.=^方，

7L十4

2x1

IEF=；.\1'(''tHnZ.APC=----T=——

则2+/2+：

2

—2+—x="1+.x-^>2

2xx2

（当且仅当;/即芯=四时，等号成立）

.1V1_在

,,维-V22

2X

即EF<y.

则当EF=当时，三棱锥E-BCD的体积取到最大值,

此时侧棱PA的长度为

设四棱锥P-力BCD的外接球的半径为R,

则4R2=(2R)2=PA2+AB2+AD2=4,

四棱锥P-ABCD的外接球表面积为上足」万；

故答案为47r.

22.答案：证明：（1）取B。，BE的中点分别。，M,连接GO、OM,MF,如图:

则。M〃DE且。"=扣E,

又因为GF//DES.GF=\DE,

所以GF"OM豆GF=0M,故四边形OGFM为平行四边形.

故GO〃FM,因为M为EB中点，三角形BEF为等边三角形，故FM1EB,

因为平面EFB_L平面BCDE,且交线为BE,FM在平面8EF内，

故FM平面BCDE,

因此GO1平面BCDE,因为GO在平面GBa内，

故平面GBD_L平面BCDE-,

解：（2）因为£（C〃E8,DE//BC,所以四边形DC2E是平行四边形，DC=1,

因为BE//CD,BE不在平面CDG内，CD在平面CDG内，

故BE//平面CDG.

故点E到平面CDG的距离等于点B到平面CDG的距离.

由(1)知三棱锥G-BC。的体积匕=|xOGxSABCD,

OG=FM=等刖=；xlx2=l.匕=金

ZZo

在△COG中，DG=CG=V2.取CO中点尸，连结GP,GP=/2-；=斗，

故Sinjix-=：*1x=早’

设点B到平面CDG的距离为d,

故三棱锥B—CDG的体积匕=[■d•SACDG=]小

由于匕=彩，则遗=亚小即(/=返，故点E到平面COG的距离为组.

61277

解析：本题考查面面垂直的证明以及空间中点到面的距离，属于中档题.

(1)根据面面垂直判定定理证明即可；

(2)利用等体积法求解.

23.答案：解：(I)证明：­••AEBCE,BE,BCu平面BCE,

•••AE1BC,AE1BE.

又BC14B,AECtAB=A,AE,ABu平面ABE,

BC_L平面ABE,

又BCu平面ABCD,

二平面ABCO1平面ABE；

(II)存在一点F,使三棱锥A-BF-E所成角的余弦值为年.

以A为原点建立空间坐标系如图,

vAE=1,AB=2,AE1BE,

.・.BE=V5，

设力尸=h,

则F(0,0,h),E(日修,0)，B(0,2,0),

•••BF=(y,-|,0),BF=(0,-2,h)，

设平面BE尸的一个法向量为五=(x,y,z),

Un.g=0^(z-V3y=0

^n-BF=0(2y-hz=0

取y=l,得元=(1,1,6，

易知，沅=(1,0,0)为平面ABf的一个法向量,

由题意得：

解得：h=l,

故当产为4。中点时，满足题意.

解析：此题考查了线面垂直，面面垂直，二面角的求法，难度适中。

(I)先证BC1平面ABE,进而得面面垂直；

(II)建立空间坐标系，设点厂的位置，利用向量列方程求解.

24.答案：(1)证明：连接4C,因四边形ABC。为正方形，

故BOJ.AC,

又MC_L底面ABCD,BDu面ABCD,

.•.MCIBO,又MCn4C=C,

MCu平面AMC,ACu平面AMC,

BD1平面AMC,AMu平面AMC,

故BOM；

(2)证明：取4公的中点N,连接。N,BNMN,在正四棱柱ABC。一4中,

•••M为CCi的中点，N为的中点，

故点名，M,D,N四点共面，即MNu平面B/M,

又M,N分别为CG，441的中点，

:.AG〃MN,41cle平面BiDM,

•••4G〃平面&DM；

(3)解：由(2)知，点A到平面/DM的距离等于的到平面B/M的距离,

故二棱锥4[一的体积匕1-B10M=^C1-B1DM)

而LCLJDM=VD-BRIM=IxS481clMxDC=]xgx|x2)x2=l,

•••三棱锥&-BiDM的体积为1.

解析：本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定及棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力，培

养了学生分析问题与解决问题的能力.

(1)连接AC,可得BDJ■平面AMC,进而证得结论；

(2)取441的中点M连接B]N,MN,可得41cJ/MN,进而证得结论：

(3)由(2)知，点4到平面&DM的距离等于G到平面BiDM的距离，进而求得结果.

25.答案：(1)证明：斜三棱柱4BC-4//C,的底面是边长为6的正三角形,

则AB=BC=CA=6,

又因为=AXB=A1C=4,

所以三棱锥&-ABC是正三棱锥.

设正三棱锥&-48C的顶点4在底面ABC内的射影为点H,

则”是正三角形A8C的中心，

即是正三角形ABC的垂心，贝！1BC,

又A]H1面ABC,BCu面ABC,

所以4H1BC,

而4"、Ai"u面ABC,AHCyArH=H,

所以BC1面

又因为u面

所以44i1BC.

(2)解：过&同面QCBB]作垂线，设垂足为。，连结B£>,

则直线与侧面CiCBBi所成的角即为N&BD,

Ci

ABi

由(1)知44i1BC,

又三棱柱ABC泮/的侧面44BB1是平行四边形,

则44J/BB1，

所以8811BC.

所以三棱柱ABC-A,B,Ct的侧面qCBBi是矩形，面积为24,

由⑴得为"是正三棱锥&-ABC的高，

由底面边长为6,侧棱长为4,可以解得力i"=2,

则正三棱锥&-4BC的体积为

2

isA4BC/l1H=i-^-6-2=6V3.

所以斜三棱柱ZBC-A,B,C,的体积为18小，

所以四棱锥&-B/CQ的体积为12g.

而是四棱锥4一B/CC1的高，

所以：•①£)•24=12遍，得4m=|百，

在直角三角形&BD中，

疝".4出口=第=宅=

A[Lf4o

所以直线与侧面CiCBB]所成的角的正弦值为:百.

O

解析：本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角，是中档题.

(1)由题