高中数学单元练习集合与函数

一、集合与函数

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合A={1,2},则满足Au3={l,2,3}的集合B的个数是（）

A.1B.3C.4D.8

2.已知集合用={x\——:——-0N={yly=3x2+1,XGR）,贝ljMCN=（）

（I）,

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{尢IxNl或x<0}

3.有限集合S中元素个数记作card（S）,设A、8都为有限集合，给出下列命题：

①A6=。的充要条件是card（71U8）=card（A）+card（fi）；

②Aq6的必要条件是card（A）<card（B）；

③A8的充分条件是card（A）<card（B）；

@A-B的充要条件是card（A）=card（8）.

其中真命题的序号是

A.③、④B.①、②C.①、④D.②、③

4.已知集合用={xlx<3},N={xllog2j>l),则MCN=()

A.0B.{xl0<x<3}C.{xll<x<3}D.{xl2<x<3}

x

5.函数y=k）g2---（x>l）的反函数是（）

x-1

2X2X2X-12V-1

A.y=——-(x>0)B.y=——-(x<0)C.y=——(x>0)D.y=——(x<0)

2—12—122

6.函数/。）=-^^+电（3'+1）的定义域是（）

V1—X

A.（一;,+8）B・（一（』）C.（H）D・（-8,一；）

7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A.y=-x3,xERB.y=sine7?

y=x.xGRD.y=

8.函数y=f（x）的反函数y=f~]（x）的图象与y轴交于点

P（0,2）（如图2所示），则方程/（幻=0的根是工=（）

A.4B.3C.2D.1图2

2

9.已知函数/(x)=ax+2ax+4(0<a<3),^^<x2,x]+x2=l-a,则)

A./(%,)>/(x2)B./(%,)</(x2)

C./（%,）=/（%,）D./（苍）与/（々）的大小不能确定

10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方山明文T■密文（加密），接收方由密文一明文（解密），

已知加密规则为:明文凡仇c,d对应密文a+2A,2%+c,2c+3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文

5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时;则解密得到的明文为（）

A.7,6,1,4B.6,4,1,7C.4,6,1,7D.1,6,4,7

11.如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f（x）表示弧AB与弦AB所

围成的弓形面积的2倍，则函数片/'（x）的图象是（

12.r

①存在实数々，使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数上，使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数女，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13.函数“X）对于任意实数x满足条件〃x+2）=—!—，若/（1）=一5,则〃”5））=_____.

“X）

14.设f（x）=log3（x+6）的反函数为尸（x）,若（尸（机）+6）（尸（”）+6]=27,则/（〃?+〃）

ex,x<0.

15.设g(x)=<

Inx,x>0.

16.设y(x)=lg贝I」/（土）+/（4）的定义域为

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数/(x)=x2+(\ga+2)x+\gb满足/(-1)=-2且对于任意xwR.恒有/(x)>2x成立.

(1)求实数的值；(2)解不等式/(x)<x+5.

18(本小题满分12分)20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农

作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：

每亩需劳力每亩预计产值

蔬菜1100元

2

J_

棉花750元

3

]_

水稻7600元

问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？

19.(本小题满分12分)已知函数/(x)=a/+法+1(a］为实数),xeH,

J/(x)(x>0)

F(x)=<

［-f(x)(x<0)

(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为［0,+8)，求尸(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下，当xe［-2,2］时，g(x)=/(x)-乙是单调函数，求实数k的取值范围；

(3)设加•〃<(),机+〃〉0,。〉0且/(X)为偶函数，判断尸(用)+尸(〃)能否大于零？

20.(满分12分)已知定义域为R的函数/⑴满足/(/(x)-x2+y_=fG)-x2+x.

(1)若f(2)—3,求/(1);又若f(0)=。,求f(a);

(2)设有且仅有一个实数邓,使得f(x。)=私,求函数f(X)的解析表达式.

21.(本小题满分12分)

设函数/(幻=卜2一4X—5|.

(1)在区间［-2,6］上画出函数/(x)的图像；

(2)设集合A={x|f(x)N5},5=(-8,-2］U［0,4］U［6,+oo).试判断集合4和8之间的关系,

并给出证明；

(3)当女>2时，求证：在区间［-1,5］上，y=fcr+3k的图像位于函数/(x)图像的

上方.

22.(本小题满分14分)

设。为实数，记函数-x?+Jl+x+Jl-x的最大值为g(a).

(1)设二T，求f的取值范围，并把/(x)表示为，的函数机(t)；

(2)求g(a)；

(2)试求满足g(a)=gd)的所有实数a.

a

、集合与函数参考答案

1.C.4={1,2}，4。8={1,2,3},则集合8中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集

个数问题，所以满足题目条件的集合B共有2?=4个.故选择答案C.

2.C.M=或x40},N={>•（>•>1）故选C

3.B.选由card（AUB）=card（A）+card（B）+card（APl3）知card（AUB）=card（A）+

card（B）<=>card[A（"15）=0=APIB=0.由Au8的定义知card（A）4card（8）.

4.D."=卜|咋28>1}={小〉2},用数轴表示可得答案。.

5.A.'/y=log―--——=2y即y=-—

2x-lx-12V-1

VX>1—X=1H----->1HPy=log,—X>0

X—~1X1X1

:♦函数y=log,—>1）的反函数为y=2^]（X>O）•

6.B.由[Jx>°=>_l<x<1,故选B.

[3x+l>03

7.B.在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;。在其定义域内不是

函数，是减函数;故选A.

8.C.利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2,0）在原函数y=/（x）的图象匕即/（2）=0,

所以根为x=2.故选C

9.B.取特值a=l内=_2,马=2,〃2）>/（-2）,选B:或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对

成轴和区间的关系的方法，易知函数的对成轴为X=-1，开口向上的抛物线，由X1<X2，勺+汹=0,需

分类研究王<工2和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断，故选B;

10.B.理解明文-密文（加密），密文f明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解,

x=a+2b14=«+2Z?d=1

依提意用明文表示密文的变换公式为>=26+°,于是密文14,9,23,28满足，即有9=2h+cc=\,

z=2c+3d23=2c+3d

m-4d28=4d

选8；

11.D.当m2时，阴影部分面积为2个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时

24

〃巴）=2四」]=匕<巳,即点）在直线尸的下方，故应在C、。中选;而当x=辿时,，阴影部分

八24222222

面积为3个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即，（红）=2x5-=]=万+2，即点

4222

（司■，乃+2）在直线的上方，故选D

12.B.本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令

k2—“QNO）①，则方程化为产—，+女=0②，作出函数y=,2—1］的图象，结合函数的图象可知：

（1）当f=0或＞1时方程①有2个不等的根；（2）当0々＜1时方程①有4个根；（3）当仁1时，方程①有

3个根.

故当仁0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根f=0或r=l,故此时原方程有5个根；当

方程②有两个不等正根时,即0〈人＜；此时方程②有两根且均小于1大于0,故相应的满足方程-1|=/

的解有8个，即原方程的解有8个；当左="!■时，方程②有两个相等正根f=,，相应的原方程的解有4

42

个；故选8.

13.由小+2)=看得小+4)=13=/(x)，所以/(5)=/⑴=一5则

/(/(5))=/(-5)=/(-1)=—1—=-1•

14.尸(x)=3」6故(4(而+6)・(fl(x)+6)=3"'・3"=3"'+"=27

nin--3.f(加+〃)^log3(3+6)=2.

1<1]Inl1

6g(g(5))=g(ln])=e2-

X

16.由一2+^t>0得，/(x)的定义域为-2<x<2故尸<万<2,,解得i)u0,4).

2-x

-2<-<2.

X

故/仔)+/仔)的定义域为(一4,—1)U(1,4),

17.(1)由/(—1)=—2,知，Igb—lga+l=0,…①q=10.…②又/(x)N2x恒成立，有

b

x2+x-lga+lgb20恒成立，故A=(Iga)?—41gb<0.

将①式代入上式得:(1g炉-21gb+1V0,即(Igb-1)240,故1gb=1.

即b=10,代入②得,a=100.

(2)f(x)=x2+4x+1,/(x)<x+5,即x?+4x+1<x+5,x2+3x-4<0,

解得：-4<x<l,.,.不等式的解集为{xl-4<x<l}.

18.设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u,

依题意得x+y+z=50,L+Uz=20，贝Uu=1100x+750v+600z=43500+50x.

23-4

?.0,.y=90-3x>0,z=wx-40>0,W20<x<30,.\当x=30时，u取得大值43500,此时y=0,z=20.

安排15个职工种30市蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元.

19(1)=...a—b+l=0,又xeR,/(x)20恒成立,

a>o,AZ?2-4(ZJ-1)<0,b=2,a=1f(x)=x2+2x+l=(x+l)2.

A=Z?2-4«<0

・・2、1(x+D(x>°)

l-(x+D2(x<0)

(2)则g(x)=f(x)-kx=/+2x+l-履=，+(2-k)x+1

/2-4、2](2-A)?

=(X+—-)-+l---7^,

24

当22或与24-2时，即kN6或k4—2时，g(x)是单调函数.

(3).../0)是偶函数.../(均=利2+1,尸*)/、+1

—cix"-1(x<0)

m•n<0,设m>n,则n<0,又〃？+〃>0,>-n>0,

/.ImI>I-nIF(m)+F(h)

=f(m)-/(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0F(m)+F(n)能大于零.

20.(1)因为对任意xeR,有/(7(x)—x2+x)=f(x)—x2+x,所以/(/(2)—22+2)=f(2)—22+2.

又由/(2)=3,得/t(3-22+2)-3-22+2,即：⑴=1.

22

若/(0)=a9贝ljf(a——0+0)—a——0+0,即/(〃)=A.

(2)因为对任意尢£R,有于(于(x))—x2+x)=f(x)—x2+x.

又因为有且只有一个实数如使得/(沏)-x0,所以对任意X£R,有/GO-，+%=%

在上式中令％=的,有/(劭)—x；+劭=沏，又因为/(沏)一沏，所以的-x1=0,故劭=0或劭=1.

若即=0,则/G)—x+x=O,即/(x)=7_无但方程/「口才有两上不同实根，与题设条件矛质，

故检/0.若必=1,则有/(X)—f+X=1，即/(/)=，T+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为/(x)=x2-x+l(XGR).

21.(1)

=x2+(Jt-4)x+(3Jl-5)k2-20k+36

4

A.-L

k>2,—^<1.又一』(5,

2

①当一14—4一^"<1,即2<&46时，取x=A-r-k

22

,、k2-20^+361k，小，"

g（X）min=-------------=--『-IO）"-64],

•••164（々-10）2<64,（女-10尸一64<0,贝必⑴疝,>0.

4-*

②当一y-<-l,即k>6时，取x=-l,g(X)min=2k>0.

由①、②可知，当％>2时，g(x)>0,xe［-l,5］.

因此，在区间［-1,5］上，丫=忆*+3)的图像位于函数/(幻图像的上方.

［解法二］当彳€［-1,5］时，〃幻=一一+4x+5.

,y=k（x+3）,…o

由\得+（%一4）工+（3左一5）=0,

y=-x+4x+5,

令A=(2-4)2-4(3&-5)=0,解得上=2或k=18,

在区间［一1,5］上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数/(X)的图像只交于一点(1,8)；

当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.

如图可知，由于直线)，=k(x+3)过点(-3,0),当k>2时，直线y=k(x+3)是由直线

、=2。+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间［-1,5］上,y=k(x+3)的图像

位于函数“X)图像的上方.

22.(1)21=J1+X+Jl—x,.•.要使/有意义，必须1+xNO且1-xNO,即一iKxKl

•：t2=2+2A/1-X2e［2,4］，且f20……①:.t的取值范围是［、历,2］。

由①得：71-x2=-t2：.m(t)=a(-t2-i)+t=-at2+t-a,te［V2,2］»

222

(2)山题意知g(a)即为函数团⑺,4产+.°,re［行⑵的最大值，

2

11,

•.•直线f=--是抛物线mQ)=-at2+f-a的对称轴，.•.可分以下几种情况进行讨论:

a2

1)当。>0时，函数y=m(f),fw［J5,2］的图象是开口向上的抛物线的一段，

由「=一!<0知机⑺在/€［、历,2］上单调递增，故g(a)=机(2)=。+2；

a

2)当a=0时，m(r)=t,tG［A/2,2］,有g(a)=2；