2022-2023学年河南省商丘市虞城县求实学校数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x＝﹣1C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（1，2）2．如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论不成立的是（）A． B． C． D．3．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（）A．若，函数的最大值是5B．若，当时，y随x的增大而增大C．无论a为何值时，函数图象一定经过点D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点4．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣25．“割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）．A．1 B．3 C．3.1 D．3.146．如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①＞0；②＞0；③；④＞0.其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．①② D．②④7．下列说法正确的个数是（）①相等的弦所对的弧相等；②相等的弦所对的圆心角相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆周角相等；⑤圆周角越大所对的弧越长；⑥等弧所对的圆心角相等；A．个 B．个 C．个 D．个8．如果，那么锐角A的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．20°9．已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．210．一件商品的原价是100元，经过两次降价后价格为81元，设每次降价的百分比都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B． C． D．11．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．同圆中，圆周角等于圆心角的一半C．平分弦的直径垂直于弦D．一个三角形只有一个外接圆12．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在中，，为边上一点，已知，，，则____________．14．点关于轴的对称点的坐标是__________．15．正方形A1B1C2C1，A2B2C3C2，A3B3C4C3按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点C1、C2、C3、C4分别在抛物线y＝x2和y轴上，若点C1（0，1），则正方形A3B3C4C3的面积是________．16．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣19=0的一个根是﹣3，则m的值是_____．17．如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=_____18．若方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，则a的值是_____.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE=CD连接CE，DE.（1）求证：四边形CDBE是矩形（2）若AC=2，∠ABC=30°，求DE的长20．（8分）如图，在中，，为边上的中线,于点（1）求证：BD·AD=DE·AC．（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.（3）在（2）的条件下，求的值.21．（8分）如图，二次函数的图像经过，两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积；（3）若点在二次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标.22．（10分）如图，点C在以AB为直径的圆上，D在线段AB的延长线上，且CA=CD，BC=BD．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．23．（10分）如果是关于x的一元二次方程；（1）求m的值;（2）判断此一元二次方程的根的情况，如果有实数根则求出根，如果没有说明理由则可．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．（1）求∠ACD的度数；（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．25．（12分）在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形．(1)小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.26．如图将小球从斜坡的O点抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=ax2+bx刻画，顶点坐标为（4，8），斜坡可以用y=x刻画．（1）求二次函数解析式；（2）若小球的落点是A，求点A的坐标；（3）求小球飞行过程中离坡面的最大高度．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据题意从y＝2（x﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．【详解】解：y＝2（x﹣1）2+2，（1）函数的对称轴为x＝1；（2）a＝2＞0，故函数开口向上；（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x轴没有交点；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的开口方向与x轴的交点，以及函数顶点坐标等基本性质，是函数的基础题注意掌握．2、D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【详解】∵AD∥BE∥CF，∴，成立；，成立，故D错误，成立，故选D.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．3、D【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.【详解】当时，，∴当时，函数取得最大值5，故A正确；当时，，∴函数图象开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；当x=1时，，∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.4、D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝1，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．【详解】解：在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OP＝BC＝1，在Rt△AOB中，OA＝，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系.确定出AP最小值时点P的位置是解题关键，也是本题的难点.5、B【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．【详解】∵是圆的内接正十二边形，∴，∵，∴，∴这个圆的内接正十二边形的面积为，故选B．【点睛】本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．6、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【详解】由抛物线的开口向下可得：a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，

∴abc＞0，故①正确；

直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-=-1，可得b=2a，

a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c，

∵a＜0，

∴-3a＞0，

∴-3a+4c＞0，

即a-2b+4c＞0，故②正确；

∵b=2a，a+b+c＜0，

∴2a+b≠0，故③错误；

∵b=2a，a+b+c＜0，

∴b+b+c＜0，

即3b+2c＜0，故④错误；

故选：C．【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．7、A【分析】根据圆的相关知识和性质对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；故①错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故③错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；故④错误；在同圆或等圆中，圆周角越大所对的弧越长；故⑤错误；等弧所对的圆心角相等；故⑥正确；∴说法正确的有1个；故选：A.【点睛】本题考查了弧，弦，圆心角，圆周角定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解，解题的关键是熟练掌握所学性质定理.8、A【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵，∴锐角A的度数是60°，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．9、B【分析】把x＝代入方程得到关于c的方程，然后解方程即可．【详解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得（）2﹣2×+c＝0，所以c＝6﹣1＝1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的性质，解答关键是将方程的根代入原方程求出字母系数．10、B【分析】原价为100，第一次降价后的价格是100×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，第二次降价后的价格为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则可列出方程．【详解】设平均每次降价的百分比为x，根据题意可得：100（1-x）2=81故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．11、D【分析】由垂径定理的推论、圆周角定理、确定圆的条件和三角形外心的性质进行判断【详解】解：A、平面内不共线的三点确定一个圆，所以A错误；B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B错误；C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以C错误；D、一个三角形只有一个外接圆，所以D正确．故答案为D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及确定圆的条件，灵活应用圆的知识是解答本题的关键.12、A【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.【详解】抛物线向右平移3个单位,得到的抛物线的解析式是故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由题意直接根据特殊三角函数值，进行分析计算即可得出答案.【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵，∴,∴.故答案为：.【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数定义以及特殊三角函数值进行分析是解题的关键.14、【分析】根据对称点的特征即可得出答案.【详解】点关于轴的对称点的坐标是，故答案为.【点睛】本题考查的是点的对称，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.15、2+．【分析】先根据点C1（0，1）求出A1的坐标，故可得出B1、A2、C2的坐标，由此可得出A2C2的长，可得出B2、C3、A3的坐标，同理即可得出A3C3的长，进而得出结论．【详解】∵点（0，1），四边形，，均是正方形，点、、和点、、、分别在抛物线和y轴上，∴（1，1），（0，2），∴（，2），∴（0，2+），∵点的纵坐标与点相同，点在二次函数的图象上，∴（，），即，∴．故答案为：2+．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，熟知正方形的性质及二次函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．16、－2或1．【解析】将x=－3代入原方程，得9－3m+m2－19=0，m2－3m－10=0，（m－1）（m+2）=0，m=－2或1.故答案为－2或1.点睛：已知方程的一个实数根，要求方程中的未知参数，把根代入方程即可.17、70°或120°【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB=DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C=90°，DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°，由此即可解决问题．【详解】①当点B落在AB边上时，∵，∴，∴，②当点B落在AC上时，在中,∵∠C=90°,，∴，∴，故答案为70°或120°.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.18、-3【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a的值即可.【详解】∵方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，∴-1=2，且a-3≠0，解得：a=-3，故答案为：-3【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程；一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，熟练掌握定义是解题关键，注意a≠0的隐含条件，不要漏解.三、解答题（共78分）19、（1）见详解,（2）DE=2【解析】（1）利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,有一个角是90°的平行四边形是矩形即可证明,（2）利用30°角所对直角边是斜边的一半和勾股定理即可解题.【详解】解：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE,∵BE=CD,∴四边形CDBE是矩形,（2）在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=2，∴AB=4,（30°角所对直角边是斜边的一半）∴DE=BC=2（勾股定理）【点睛】本题考查了矩形的证明和特殊直角三角形的性质,属于简单题,熟悉判定方法是解题关键.20、（1）见解析；（2）；（3）.【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明∠B=∠C，AD⊥BC，然后再证明△BDE∽△CAD即可；（2）利用勾股定理求出AD，再根据（1）的结论即可求出DE；（3）在Rt△BDE中，利用锐角三角函数求解即可.【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴∠B=∠C，AD⊥BC，即∠ADC=90°，又∵DE⊥AB于点E，即∠DEB=90°，∴∠ADC=∠DEB，∴△BDE∽△CAD，∴，∴BD·AD=DE·AC；（2）∵AD为BC边上的中线，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，∴AD=，由（1）得BD·AD=DE·AC，又∵AC=AB=13，∴5×12=13·DE，∴DE=；（3）由（2）知，DE=，BD=5，∴在Rt△BDE中，.【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及余弦的定义是解题的关键.21、（1）；（2）6；（3）【解析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式；（2）令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.（3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.【详解】解：将点，代入中得，，解得，，∴y与x之间的函数关系式为；（2）如图，当y=0时，，∴x1=3,x2=-1,∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,∴S△ABM=.即的面积是6.（3）如图，抛物线的对称轴为直线，点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),∴PM=PG,连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP+PG最小，即周长最短.设直线NG的表达式为y=mx+n,将N(-2,-5),G(2,3)代入得，，解得，，∴y=2m-1,∴P点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.22、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠A=∠D=∠BCD，∠ACO=∠A，得出∠ACO=∠BCD，证出∠DCO=90°，则CD⊥OC，即可得出结论；

（2）证明OB=OC=BC，得出∠BOC=60°，∠D=30°，由直角三角形的性质得出CD=OC=4，图中阴影部分的面积=△OCD的面积-扇形OBC的面积，代入数据计算即可．【详解】证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，

∵CA=CD，BC=BD，

∴∠A=∠D=∠BCD，

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A，

∴∠ACO=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，

∴CD⊥OC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD与⊙O相切；

（2）解：∵AB=8，

∴OC=OB=4，

由（1）得：∠A=∠D=∠BCD，

∴∠OBC=∠BCD+∠D=2∠D，

∵∠BOC=2∠A，

∴∠BOC=∠OBC，

∴OC=BC，

∵OB=OC，

∴OB=OC=BC，

∴∠BOC=60°，

∵∠OCD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴CD=OC=4，

∴图中阴影部分的面积=△OCD的面积-扇形OBC的面积=×4×4-=8-π．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．23、（1）m=1；（2）有两个不相等的实数根，，．【分析】（1）因为原方程是一元二次方程，所以x的最高次数为2且二次项系数不为0，即m+1=2且m-2≠0，解方程即可；（2）将m=1代入原方程中，得x2-2x-2=0，根据判别式即可判断实数根的个数，然后根据求根公式求出实数根．【详解】（1）由题意得m+1=2且m-20得：m=1故m的值为1；（2）由（1）得原方程：x2-2x-2=0其中，a=1，b=-2，c=-2∴=4+8=12>0∴有两个不相等的实数根；∴根据求根公式∴．【点睛】本题考察了一元二次方程的概念，利用判别式判断实数根的个数，和公式法解一元二次方程，熟练记忆判别式和求根公式是解题的关键；其中，（1）问中不要忘记二次项系数不能为0，这是易错点．24、（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，见解析；（3）OP＝．【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．【详解】解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，∴∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；∴∠CDG＝∠CBG＝90°，∵∠ACB＝90°，∴AC∥BG，∴∠CGB＝∠ACG，∴∠CGB＝45°+∠DCG，∵∠CBF＝90°+∠DCG，∴∠BGF＝45°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝BF，∵△ACO≌△BGO（SAS），∴AG＝BF，∵△CDF是等腰三角三角形，∴CF＝CD，∴BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝5，∴BD＝AD＝，∵∠MAD＝∠BDN，∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），∴AM＝DN