高中数学球内接多面体含答案

高中数学球内接多面体专题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.已知正三棱柱ABC-&B1C1的底面边长为百，若此三棱柱外接球的表面积为5兀,

则异面直线AG与B公所成角的余弦值为（）

2.已知四棱台力BCD-a8传山1的底面为正方形，AB=2A/i=4,侧棱长均为“1,

则四棱台力BCD-aB1QD1的外接球的球心到侧面的距离为（）

A•誓B等D黑

3.在三棱锥P—ABC中，BC=6,平面PBC1平面ABC,Z.BAC=zBPC=\PB=

PC,4B=AC,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（）

A.25V57TB.20-7157TC.40V5TTD.25VT5TT

4.在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△4BC是以BD为斜边的等腰直

角三角形，平面4B0_L平面4BC,则四面体4BC。的外接球的表面积为（）

A.67rB，V6TTC.8兀D.2企兀

5.在四面体4BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△4B0是以BD为斜边的等腰直

角三角形，平面ABC，平面ABC,则四面体4BCD的外接球的表面积为（）

A.87rB.V67rC.6兀D.2企兀

6.已知三棱锥。-ABC中，A,B,。三点在以。为球心的球面上，若2B=BC=2,

AABC=120\且三棱锥。一4BC的体积为百，则球0的半径为（）

A.2B.5C.13D.713

7.四棱锥P-4BCD的三视图如图所示，四棱锥P-4BCD的五个顶点都在一个球面上,

E,尸分别是棱AB,CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2vL则该球表面积

为（）

主视图左视图

俯视图

A.127rB.247rC.36/rD.487r

8.己知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个确定的球面上，且B4=BC=n，

Z.ABC=p若三棱锥P-ABC体积的最大值为3,则其外接球的半径为（）

A.2B.3C.4D.5

9.在三棱锥U-力BC中，4ABC是等边三角形，顶点V在底面4BC的投影是底面的中心,

侧面UAB_L侧面IMC，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为（）

A.卷B.居噂D.J

10.在三棱锥A-BCD中，4B1平面BCD,△BCO是边长为3的正三角形，AB=V3,

则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.21TTB.67rC.24TTD.15TT

11.在三棱锥S-ABC中，SAJ"平面ABC,SA=AB=2封BC=2,SC=2小.若P,

Q分别是SB,BC的中点，则平面4PQ被三棱锥S-ABC的外接球所截得的截面面积为

（）

43-13厂21、14

AA.-71B.-7TC.-7TD.—7T

7453

12.已知点4,B,C在球。的球面上，ABAC=60°,BC=2百，若三棱锥。一4BC体

积的最大值为3,则球。的表面积为（）

497r

A.—B.287rC.32TTD.487r

3

13.已知五面体ABCDE的五个顶点在球0的球面上，平面ABC,平面8CDE,AB=

BC=AC=®四边形BCDE是平行四边形，其外接圆的面积为?，则球。的表面积为

4

试卷第2页，总28页

A.2V2TTB.47rC.4V2TTD.87T

14.如图所示正三棱锥P-ABC中，M是PC上一点，PM=2MC,且PB_L4M,AB=2,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.27rB.2&7TC.4兀D.6n

15.在三棱锥U-ABC中，△ABC是等边三角形，顶点U在底面ABC的投影是底面的中

心，侧面IMB侧面UAC,则（）

A.二面角U-BC-4的大小为g

B.此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为百

C.点U到平面ABC的距离与VC的长之比为？

D.此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为手

16.我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫"等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相

切的球称为棱切球，设下列"等长正棱柱（锥）”的棱长都为1,则下列说法中正确的有

（）.

A.正方体的棱切球的半径为企

B.正四面体的棱切球的表面积为］

C.等长正六棱柱的棱切球的体积为詈

D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为工

17.已知球。的半径为3,正三棱锥S-ABC的四个顶点都在球。的表面上，且SA=2,

则正三棱锥S-ABC的体积为.

18.三棱锥P-4BC中，PAJ■平面ABC,ABAC=^-,AP=3,BC=6,则该三棱锥

外接球的表面积为

19.己知长方形ZBCD中，AB=1,/,ABD=60°,现将长方形4BCD沿着对角线BD折

起，使平面ABD1平面BCD,则折后几何图形的外接球表面积为.

20.已知在四面体ABCD中，AB=AC=BC=AD=CD=2,二面角B-4C-C的大

小为120。，则四面体力BCC的外接球的表面积为.

21.已知在四面体力BCD中，AB=AD=BC=BD=DC=2,二面角B-AC-D的大

小为120。，则四面体4BCD的外接球的表面积为.

22.在三棱锥P-4BC中，△H4B是边长为3的等边三角形，AC=BC,乙4cB=90。,

二面角P-AB-C的大小为120。，则三棱锥P-力BC外接球的表面积为.

23.已知三棱锥P-ABC中，AP.AB.AC三条棱两两垂直，且长度均为28，以顶点

P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为

24.在三棱锥P-ABC中，力B_LBC,AC=8,点P到底面ABC的距离为7.若点P,A,

B,C均在一个半径为5的球面上，贝1年肥+PB2+PC?的最小值为.

25.在四棱锥P-4BCO中，底面ABCD为矩形，平面P4B1平面ABCD,PA=PB=

^-AB,若APBC和APCD的面积分别为1和百，则四棱锥P-ABC。的外接球的表面积

为.

26.在三棱锥P-4BC中，PA1平面力BC,AB1BC,PA=AB=1,AC=^2.三棱

锥P-ABC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的体积为；若点M,N分别

是AABC与△PAC的重心，直线MN与球0的表面相交于。，E两点，则线段。E的长度

为.

27.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD_L平面4BCD,△P4D为等边三角形，四边

形ABCD为矩形，AB=2AD=4,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

试卷第4页，总28页

28.若正四棱锥P-4BCD的底面边长和高均为8,M为侧棱R4的中点，则四棱锥M-

ABCD外接球的表面积为.

参考答案与试题解析

高中数学球内接多面体专题含答案

一、选择题（本题共计14小题，每题3分，共计42分）

1.

【答案】

A

【考点】

异面直线及其所成的角

球内接多面体

【解析】

此外接球半径R=当，进而求出44=1,以A为原点，在平面ABC内过4作4c的垂线

为x轴，AC为y轴，A&为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC1

与B公所成角的余弦值.

【解答】

解：如图，正三棱柱4BC-41B1C1外接球球心为0,。，为△ABC所在圆面的圆心，

设球半径为R,贝必兀/?2=5兀，解得R=孚,

在△ABC中，v。'为外接圆圆心，

。'0=盾——

取4B中点F,441中点E,&G中点G,

•••EF//AXB,EG//ACX,

故NGEF即为异面直线4G与所成角（或其补角）.

异面直线4cl与B4所成角的余弦值为《

8

试卷第6页，总28页

故选力.

2.

【答案】

A

【考点】

点、线、面间的距离计算

球内接多面体

球的表面积和体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设四棱台4BCD-4/加劣的上，下底面的中心分别为。「02,

连接。1。2,易知球心。在直线。1。2上，连接0传1，。6，。2。，0C,

易得0母1=V2,02c=2V2,。1。2=3.

设球。的半径为R,

在Rt△。1。6和Rt△。。2c中，

由勾股定理得。。次+0谯=ocl，ool+02c2=OC2,

所以（3-。。2）2+2=/?2,001+8=R2,

解得。。2=$R=苧.

分别取棱BiG，BC的中点E,F,

连接。出，EF,02F,OF.

易知。住〃。?？，

所以01，E,尸,。2四点共面，

X02F1BC,0x021BC,

所以BC_L平面OiOzFE,

又BCu平面BCGBi，

所以平面O1O2FE_L平面BCGBi，

过点。作OG1EF于点G,贝iJOGJ"平面BCC1&,

即线段OG的长度为点。到侧面的距离，

由平面几何知识得EF=V10,

在旦角梯形。亚尸。2中，梯形

Sh001E+SAOQ2P+S^0EF=SO'O^SFE'

所以9xlx|+：x2x9+9xExOG=*l+2)x3,

11所

解得OG

20

故选力.

3.

【答案】

B

【考点】

球内接多面体

球的表面积和体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设△力BC、APBC的外接圆的圆心分别为01、02,三棱锥P—4BC的外接球的球心

为。.

取BC的中点E,连接。。1、。。2、01E、02E,。14、0A,

贝MEJ.BC,02E1BC,

又平面PBC_L平面力BC,平面PBCC1平面4BC=BC,

所以。出1平面PBC,QE,平面4BC.

由球的知识可得。。1J■平面ABC,0021平面PBC,

所以。。1〃。2七，。。2〃0声,

所以四边形。OiEOz是平行四边形，

又。。11。北，

所以四边形。O1EO2是矩形.

因为48=AC,Z.BAC=p

所以△ABC为等边三角形，

同理△PBC为等边三角形，AE=PE=^-BC=3遮,

所以力。1=|AE=2V3,0。1=02E=^PE=V3.

在RtzkOOi力中，外接球半径

R—0A—《A0：+。。/=J(2V5y+(V3)—V15,

所以外接球体积为“2=i71(715)3=20A/15TT.

故选B.

4.

【答案】

A

试卷第8页，总28页

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

柱体、锥体、台体的体积计算

棱锥的结构特征

柱体、锥体、台体的体积

【解析】

无

【解答】

解：因为A/IB。是以BD为斜边的等腰直角三角形,

所以。A14B,

又因为平面4BD1平面4BC,

所以0A1平面ABC,

所以DA1AC,

可得DA,BA,CA两两垂直，

且04=BA=CA=&,构造正方体如图所示，

可得四面体4BCD的外接球半径R=冬

所以表面积为4兀/?2=67r.

故选4

5.

【答案】

C

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

【解析】

无

【解答】

解：因为AABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，所以ZM1AB,

又因为平面ABD1平面4BC,

所以DAJL平面4BC,

所以DA14C,

可得D4,BA,04两两垂直，

且1M=BA=CA=V2,

构造正方体如图所示，

可得四面体加C。的外接球半径R=冬

所以表面积为4兀/?2=67r.

故选C.

6.

【答案】

D

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

球内接多面体

【解析】

求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出。到底面的距离，求出底面三角形的

所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径.

【解答】

解：如图所示，设△ABC的外接圆的圆心为G,

AB=BC=2,AABC=120",

SHABC=：x2x2xsinl20°=V3,AC=2V3,

v三棱锥0-ABC的体积为g,

•­•|xV3OG=V3,

得OG=3,

外接圆的半径为：「=又急=2，

球。的半径为：R=V32+22=g.

故选D.

7.

试卷第10页，总28页

【答案】

A

【考点】

球内接多面体

由三视图还原实物图

【解析】

将三视图还原为直观图，得四棱锥P-4BC。的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球.由此结合题意，可得正文体的棱长为2,算出外接球半

径R,再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积.

【解答】

解：将三视图还原为直观图如右图，

可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a,

设外接球的球心为。，

则。也是正方体的中心，

设EF中点为G,连接OG,OA,AG,

根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2VL

即正方体面对角线长也是2世，

得AG=a=与a,所以正方体棱长a=2,

Rt△OGA^p>OG==1,AO=

即外接球半径R=V3,得外接球表面积为47iR2=127r.

故选4.

8.

【答案】

A

【考点】

球内接多面体

球的表面积和体积

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

由题意画出图形，求出棱锥的最大高度，然后利用勾股定理计算三棱锥外接球的半径.

【解答】

解：由已知可得△ABC是等腰直角三角形，AC=2®

•••4c为截面圆的直径，故外接球的球心。在截面4BC中的射影为4c的中点D,

当P,0,。共线且。在P,。中间时，三棱锥P-ABC的体积最大，

三棱锥的最大高度为PD,

^|xV6xV6xPD=3,

PD=3.

设外接球的半径为R,则。。=3-R,

在△ODC中，。。2+。。2=。。2,

即(3—R)2+(代)2=/?2,

解得R=2.

故选4

9.

【答案】

C

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

球内接多面体

球的表面积和体积

【解析】

【解答】

解：设AABC的边长为2a,

y^=-S-VO'=-y/3a2—=—,

.一.梭锥3hA八BC333

设Q为了-ABC外接球的球心，

^.Rt^O'QC^,

O'Q2+O'C2=CQ2,

〈亨-R/+*=R2,

得R=ya,

V球=1兀R3=V67ra3,

三棱锥的体积与其外接球的体积之比为：警:V67ra3=

397r

故选c.

10.

【答案】

试卷第12页，总28页

D

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设△BCD的外接圆圆心为01，半径为r,该三棱锥的外接球的球心为0,半径为R,

00=—,R2=OOl+r2=-+3=—,

12144

r15

S为=4nR2

表=4?rX4—=157T.

故选D.

11.

【答案】

A

【考点】

球内接多面体

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意得4c=4=>AB1BC,知球心。为SC中点，

故球。的直径2R=2b=R=V7.

因为SC〃平面4PQ,

设球心。到平面APQ的距离为d，截面圆的半径为r,

由题设球心。到平面APQ的距离等于点S到平面APQ的距离等于点B到平面APQ的距离.

在RtZkASB中，可以得到AP=历.

在ASCB中，PQ为中位线，则PQ=V7.

在Rt△4QB中，根据勾股定理可以得到4Q=反.

由此可知满足勾股定理，即AAPQ为直角三角形.

在三棱锥P-4BQ中，由等体积法

^P-AQB—^B-APQ，

^\i---SA--AB-BQ=--d--PQ-AP,

322<32y

得d=M

所以产=R2—d2=7—；=¥，故截面面积为等.

777

故选4

12.

【答案】

B

【考点】

球内接多面体

球的表面积和体积

余弦定理

柱体、锥体、台体的体积计算

三角形的面积公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设球。的半径为R,△ABC外接圆的半径为r,

内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

在△4BC中，由正弦定理，得一与方=2「，解得r=2,

sinZ-BAC

由余弦定理，得（2通）2=h2+c2-2bccos/-BAC

=b2+c2—be>2bc—be=be,

当且仅当b=c=2百时等号成立，即beW12,

所以SAABC=\bcsm/.BAC<|x12xy=3^3,

设点。到平面ABC的距离为h,

所以41ax=：Smax•%=3,解得/l=V^，

所以RZ=r2+h2=7,

所以球0的表面积S欧=4TTR2=287r.

故选B.

13.

【答案】

D

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图所示，连结CE,

试卷第14页，总28页

因为四边形BCDE是平行四边形，

所以△BCEDEC,

所以NB=ZD.

又NB+/O=180°,

所以4B=4。=90。，

所以CE为四边形BCDE外接圆的直径，

由717*2=27r得=亚，

42

设CE的中点为。1，则。iC=，，

因为=BC=AC—6,

取BC中点F,连结AF,则AF1BC,且4F=|,

由正三角形的性质可知，△ABC外接圆的圆心。2为4F的靠近F的三等分点,

所以。2尸=：4F=[.

连结为。，020,根据球的性质可知001，平面BCDE,。外1平面4BC,

因为平面ABC_L平面BCDE,

所以力F平面BCDE,

所以4F〃00「

因为。/〃BE,

所以0/1BC,

又因为4尸1。1凡

所以0/1平面力BC,

所以。/〃0。2,

所以四边形。。1F。2为矩形，

所以0。1=O2F=

因为球的半径R2=0C2+00l=-+-=2,

r44

所以R—V2,

所以球。的表面积为4兀/?2=87r.

故选D.

14.

【答案】

D

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

棱锥的结构特征

【解析】

利用正三棱锥的结构特征，求出外接球的半径，根据求的表面积公式求解.

【解答】

解：•；三棱锥P-4BC是正三棱锥，

PB1AC.

•••AM1PB,AMdAC=A,

PBJ_平面P4C,

PB1PA,PB1PC,

即PA,PB,PC两两垂直.

AB=2,

PA=PB=PC=V2.

设外接球的半径为R,

则(2R)2=3x(V2)2=6,

球的表面积S=4TTR2=6n.

故选D.

二、多选题(本题共计2小题，每题3分，共计6分)

15.

【答案】

B,C,D

【考点】

球内接多面体

用空间向量求平面间的夹角

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

【解答】

解：取4B中点。，连接。C,从口句底面作垂线，垂足为。',

•••。，为△ABC的中心，

设4B=2a,建立如图所示空间直角坐标系，

则4(一a,0,0),B(a,O,O),0(0,0,0),0，(0,乳0),C(0,V3a,0),

设V(0,与a,b),面匕48法向量为蔡=(x1,y2)Zi)，

VA——(一CL,-a,—b),AB—(2a,0,0))

=0,%】—0/

V3入c=6a

[-ax1--ay1-bzr=0，⑵=yi，

令%=1,则藐=(0,1,一黑).

试卷第16页，总28页

设面匕4c法向量为]=(x2fy2^2)，AC=(a,y[3a,0),

ax4-V3ay=0,

22取丫2=1，则蔡=（一6，1，写3,

^VABL^VAC,

・•・m-n=0,即1—勺=0,3b2=2a2,8=直j或6=—在a.

3b/33

••,，=(喈*a)

A,设面UBC法向量为3=(>3，丫3*3),而=(0片见一日a),BC=(-a,V3a,0),

pV3ay3V6

UZQ-U/

33J

—ax3+V3ay3=0,

令、3=1,:.VBC法向量为£=（8,1,或）,

面ABC的法向量彳=（0,0,1）,

・•・cos0=后巴.[=今，故4错误；

V3+1+2X13

B,\OO'\=—a,\VO'\=—a,\OV\=-+-a2=a.

3333

S侧=3x|-2a-a=3a2,S底=1•2a-V3a=V3a2,

即白=遮，故8正确；

s底

C,U到面ABC的距离di=条，\VC\=+#=的a,

*故c正确;

23

D，=ShABC■\VO'\=|xV3aXya=ya,

设Q为U-4BC外接球球心，|QC|=R,|VQ|=R,

•••|QO|=*a-R

在RtZiO'QC中，|0'Q『+|0£|2=|QC『,

2

作"R)+4"，

点

得no=

2a.

4吗

-

37r8

故。正确.

故选BCD.

16.

【答案】

B,C,D

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

球的表面积和体积

球内接多面体

【解析】

利用新定义，对选项逐个判断即可.

【解答】

解：A,由新定义可知，正方体的棱切球的半径为正方体的中心到各棱的距离，

故半径为Jc)+()2=苧，故a错误；

B,由新定义可知，正四面体的棱切球的球心为正四面体的中心，

球心到正四面体的顶点的距离为J121X：=M

故半径为佰;[gj=今故棱切球的表面积为47Tx件)2=泉故B正确；

C,由新定义可知，等长正六棱柱的棱切球的球心为等长正六棱柱的中心，

故半径为1,棱切球的体积为等X13=筝故C正确；

D,由新定义可知，棱切球在每个面的截面即为该面的棱切圆，

故底面的截面面积为7TX(|)2=%侧面的截面面积为7TX(苧X|)2=

故截面面积之和为：+4X5=奈故。正确.

故选BCD.

三、填空题(本题共计12小题，每题3分，共计36分)

17.

【答案】

16V3

27

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

球内接多面体

【解析】

根据外接球的性质可知球心。在正三棱锥底面ABC的垂线5G上，且在底面4BC的投影为

G,在Rt4G中，利用勾股

定理构造方程可求得正三棱锥底面边长，由此得到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式

可求得结果.

【解答】

解：取BC中点D,连接4C,作SGJ■平面ABC,垂足为G,如图，

试卷第18页，总28页

则G为△ABC的中心，所以AG=|/W,

由球的性质可知，球心。在直线SG上，

设正三棱锥S-ABC底面正三角形4BC的边长为a,

则AG--AD--la2--a2=—a.

33、43

所以SG=J4—ga2,所以OG=3—J4—ga?.

因为OG2+4G2=OA2,

所以9—6/4--a2+4--a2+-a2=9,

,\i333

解得a?=学

所以*_%BC=3^6,ABC,

故答案为：等.

18.

【答案】

577r

【考点】

球的表面积和体积

棱锥的结构特征

球内接多面体

【解析】

将三棱锥P-4BC中放在圆柱014中，由正弦定理得△ABC的外接圆01的直径2r,再

结合勾股定理求得外接球的直径，从而求得表面积.

【解答】

解：作出AABC的外接圆。1，由于PZJ•平面4BC,

可将三棱锥P-ABC放在圆柱01。2中，如图所示，

因为NBAC=g,BC=6,

由正弦定理得△ABC的外接圆。］的直径为

2r=———=4V3，

sinz.Bi4C

又4P=3,

.1•在三棱锥P-ABC的外接球中

(2/?)2=\PA\2+(2r)2=9+48=57,

.1•外接球的表面积为S=4nR2=57兀.

故答案为：577r.

19.

【答案】

4兀

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

棱锥的结构特征

【解析】

由长方形中4B=1,乙4BD=60°,可得BD,BC,及4到B0的距离4E,由面4BD3_平

面BCD可得4E求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接

球的半径，进而求出外接球的表面积.

【解答】

解：长方形4BC0中，AB=1,AABD=60°,

则BD=2,AD=V3,

如图，作4E1BD于E,

WUE-BD=ABAD,

所以

所以BE=、花一4王2=1-2=1.

yj42

因为平面ABD_L平面BCD,AEu平面4B0,平面ABDn平面BCD=BD,

所以4E_L平面BCD,

由直角三角形BCO可得其外接圆的圆心为斜边B。的中点Oi，

且外接圆的半径r=”D=1,

如图，过名作。。1垂直于底面BCD,

试卷第20页，总28页

A

所以EOi=OjB-FE=1-1=|,

所以。OJ/AE,

取三棱锥外接球的球心0,设外接球的半径为R,

则04=0C=OB=0D=R,

作OF1AE于F,则四边形EFOOi为矩形，

所以。花=。尸，EF=00、,

在A4F0中，0A2=AF2+OF2=(AE-EF)2+EO1,

即R2=弓一。。1)2+3①

在ABOOi中，OB2=OO[+BOl，

即R2=002+1；②

由①②，得R2=1,。0]=o,

即外接球的球心为。1，

所以外接球的表面积S=4兀/?2=4兀.

故答案为：4兀.

20.

【答案】

28兀

亍

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

二面角的平面角及求法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图，设AC的中点为E,连接BE,DE,

因为AB=AC=BC=AD=CD=2,

所以△ABC^L4CD为等腰三角形，

所以BE_LAC,DELAC,Z.BED=120°.

在ABED中，BE=DE=遮,

由余弦定理可得

BD=，3+3-2XV5Xgxcosl20°=3.

易知球心在△力BC过中点的垂线与4力CD过中点的垂线的交点。处,

设垂足分别为M,N,

其中|ME|=\NE\=^\BE\=y,

易得|0M|=\0N\=1.

在ABM。中，|BM|=||BE|=平，

所以|B0|2=R2=(I旬2+12=|,

所以外接球表面积为S=4TTR2=g7r.

故答案为：等.

21.

【答案】

287r

—

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

二面角的平面角及求法

【解析】

【解答】

解：如图，设4C的中点为E,连接BE,DE,

因为4B=AD=BC=BD=DC=2,

所以△ABC^h4CD为等腰三角形，

所以BE_L4C,DELAC,乙BED=120。.

在ABED中，BE=DE=®/.EBD=30",

所以BD=2>/3-cos30°=3,

易知球心在△力BC过中点的垂线与△ADC过中点的垂线的交点。处,

设垂足分别为M,N,

其中|ME|=\NE\=^\BE\=?,

易得|OM|=\ON\=1.

试卷第22页，总28页

在△AMO中，|AM|=||BE|=誓，

所以|40|2=R2=0遮）+12=],

所以外接球表面积为S=4兀辟=冢.

故答案为：等.

22.

【答案】

13兀

【考点】

球的表面积和体积

二面角的平面角及求法

异面直线及其所成的角

球内接多面体

【解析】

1

【解答】

解：如图,

取AB中点M,连接PM,CM,

V是等边三角形，

PM1AB,

又；AC=BC,

：.CM1AB,

：.NPMC即二面角P-4B-C,

乙PMC=120°,

找到△P4B的外接圆圆心。「

过点。1作41平面P4B,

易知M即为△ABC外接圆圆心，过点M作。＞!■平面4BC,

Ak与的交点即为三棱锥外接球的球心。，作平面PMC截面图,

PM=拙2一（第2=*

oM=-x—=—,OjP=—x3=V3,

132213

乙PMO=乙PMC-90°=30°,

则。。1=OjMtan30°=|,

r=OP

=Jo1P2+00.

_VH

-2'

则外接球的表面积为471T2=137T.

故答案为：137r.

23.

【答案】

371

【考点】

球内接多面体

棱锥的结构特征

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图，AP=2b，PN=4,

则AN=2,^APN=

6

....7T.TC

..MN=—x4=-,

123

同理GH=p

,TC日7T“47r

HN=-x2=7T,GM=-x4=——，

233

故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和

等于W+g+TT+f=3叫

333

故答案为：37r.

24.

【答案】

198

【考点】

球内接多面体

圆的参数方程

棱锥的结构特征

【解析】

试卷第24页，总28页

此题暂无解析

【解答】

解：设球心为0',点P在底面ZBC的射影为Q,在平行于底面且过球心的平面的射影为

M,AC的中点为0,

易知四边形。O'MQ为矩形，。0'=\/0'A2-0A2=3,

PM=PQ-MQ=4,OQ=MO'=y/O'P2-PM2=3.

又PA?+PB2+PC2=QA2+QB2+QC2+147.

记AABC的重心为G,

则

QA?+QB2+QC2=3QG2+GA2+GB2+GC2

设0(0,0),B(4cos0,4sin0),4(一4,0),C(4,0),

得GQcos0,^sin0^,

则GA?+SB2+GC2=詈，且QG>3-^=|,

所以3QG2N^,

故可知P/+PB2+pc2最小值为147+詈+g=198.

故答案为：198.

25.

【答案】

67r

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

柱体、锥体、台体的体积计算

棱锥的结构特征

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：在四棱锥P-ABCD中，

因为PA=PB*AB,

所以△P力B是等腰直角三角形.

因为底面4BCD为矩形，

所以BC_L4B,

又因为平面P4B平面4BCD,

平面PABn平面ABCD=4B,BCu平面4BCD,

所以BC_L平面P4B,

故BC1PB,

设P4=PB=a,BC—b,

由直角△PBC和等腰△PCD的面积分别为1和遮得，|ab