静定与超静定问题讲解

生产线数字化仿真技术——静定与超静定问题赵千里

一个刚体平衡时，未知量个数等于独立方程的个数，全部未知量可通过静力平衡方程求得。这类问题称为静定问题。对于工程中的很多构件和结构，为了提高其可靠度，采用了增加约束的方法，因而其未知量个数超过了独立方程个数，仅用静力学平衡方程不可能求出所有的未知量。这类问题称为超静定问题。一、静定与超静定问题的概念

CBAGG

求解力学问题，首先要判断研究的问题是静定的还是超静定的问题。GFT1FT2FT3平面汇交力系，有三个未知量。平面平行力系，有三个未知量。

这些问题中未知量个数超过了能列出独立方程的个数，都是静不定问题。对于超静定问题的求解，将在材料力学中讨论。FBFAFBFCABFGFAxFAyMA平面任意力系，有四个未知量。工程中机构和结构都是由若干个物体通过一定形式的约束组合在一起，称为物体系统，简称物系。求解物系平衡问题的步骤是：1）适当选择研究对象（研究对象可以是物系整体、单个物体，也可以是物系中几个物体组成的系统），画出各研究对象的分离体的受力图。二、物体系统的平衡2）分析各受力图，确定求解顺序。研究对象的受力图可分为两类，一类是未知力数等于独立平衡方程数，称为是可解的；另一类是未知力数超过独立平衡方程数，称为是暂不可解的。若是可解的，应先选其为研究对象，求出某些未知量，再利用作用与反作用关系，增加已知量，扩大求解范围。有时也可利用其受力特点，列平衡方程，解出部分未知量。如某物体受平面任意力系作用，有四个未知量，但有三个未知量汇交于一点（或三个未知量平行），则可取该三力汇交点为矩心（或取垂直于三力的投影轴），解出部分未知量。着也许是全题的突破口，因为由于某些未知量的求出逐步扩大求解范围，由此即可确定求解顺序。3）根据确定的求解顺序，逐个列出平衡方程求解。由于同一问题中有几个受力图，所以在列出平衡方程前应加上受力图号或加以文字说明，以示区别。如图所示，人字梯由AB、AC两杆在A处铰接，并在D、E两点用水平线相联。梯子放在光滑的水平面上，有一人，其重力为G，攀登至梯上H处，如不计梯重，若已知G、a、

、l、h。试求绳拉力与铰链支座反力。解以整体研究对象（b）列平衡方程并解之ΣMC(F)=0，G·acos

–FNB·2lcos

=0FNB=G·a/2l（↑）（a）画受力图FNBFNC

ClBADEHGah已知：G、a、a、l、h。试求：绳拉力与铰链支座反力。解以整体为研究对象FNB=G·a/2l（↑）（a）画受力图FNB

BADHFNC

CEGh（b）列平衡方程并解之以AB为研究对象FAxFAyFTΣMA(F)=0，FT·h–FNB·2lcos

=0FT=G·acos

/2h∑Fy＝0，FNB+FAy=0FAy＝–FNB=–G·a/2l∑Fx＝0，FAx+FT=0

FAx=-G·acos

/2h

la

一构件如图所示。已知F和a，且F1＝2F。试求两固定铰支座A、B和铰链C的约束力。

解

1）分别取构件ACD及BEC为研究对象，画出各分离体的受力图。F'CxF'CyFCxFCyFAxFAyFByFBxF1ACDBCFEF1ABCaFaaaDE∑Fx＝0，F'Cx-F+FBx＝0

F'Cx＝F-FBx

＝F-F/2＝F/22）四个未知力，不可解；但由三个未知力汇交于一点，可先求出FBx和FCx，即已知：F和a，且F1＝2F。试求：A、B和C的约束力。

解

1）画出各分离体的受力图。F'CxF'CyFByFBxBCFE

∑MC＝0，FBx

2a-F

a＝0

FBx＝F/2（→）∑Fy＝0，FBy-F'Cy＝0

FBy＝F'Cy

F'Cx＝F/22）已知：F和a，且F1＝2F。试求：A、B和C的约束力。

解

1）画出各分离体的受力图。FBx＝F/2（→）FBy＝F'CyFCxFCyFAxFAyF1ACD

解出F'Cx出后，图中的FCx为已知量，因而可解，即

∑MA＝0，FCy

a+FCx

2a-F1

2a＝0

FCy＝

2F1-2FCx＝

4F-2FCx＝3F∑Fy＝0，FAy+FCy-F1＝0

FAy＝F1-FCy＝2F-3F