高中数学第二章函数-函数的零点练习新人教

函数的零点

瀚基础巩固

1.下列函数不存在零点的是(D)

1

(A)y=x-x

(B)丫=加/一%-1

(x+l,x<0

(C)y=U-1A>0

(x+l,x>0

(D)-1A<0

解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和T;选项B中函数的零点为-2,1；

只有选项D中函数不存在零点.故选D.

(x+2,x<0.

2.函数£6)=便-13>0的零点个数是(C)

(A)0个(B)l个©2个(D)3个

解析:法一x<0时，令x+2=0,得x=-2;

x>0时，令x2-l=0,得x=l.

所以函数有两个零点，

故选C.

法二画函数的大致图象如图，从图象易得函数有两个零点.

故选C.

3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同，则f(x)可以是(B)

(A)f(x)=4x-1(B)f(x)=(x-1)2

(C)f(x)=x2+4x-5(D)f(x)=x-1

解析:令g(x)=2x-2=0,得x=l,

所以g(x)的零点为1.

由题意知方程f(x)=0的根只有x=L

只有选项B中函数只x)=(x-l)z满足.故选B.

3

4.函数f(x)=2x°-ax+3有一零点为2则f(1)=

3

解析：因为5是f(x)=2x?-ax+3的零点,

件9

所以2x12J-aX2+3=0,

所以a=5,所以f(x)=2X2-5X+3,

所以f(1)=0.

答案：0

5.己知函数y=f(x)是R上的奇函数，其零点为xbx2,x3,x4,x5,则

Xl+X2+X3+X.l+X5=・

解析：由奇函数的对称性知,若f(x,)=0,

则f(-X1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,

故X1+X2+X3+X4+X5=O.

答案：0

额能力提九

6.函数f(x)=2|x|-axT仅有一个负零点，则a的取值范围是(B)

(A)(2,+8)(B)[2,+8)

(0(0,2)(D)(-8,2]

解析：问题可以转化为y=2|x|与y=ax+l的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y

轴对称的折线,y=ax+l是恒过(0,1)的一条直线，由图可知a的范围是不小于2的实数,故选

B.

3

7.若方程x'Dx-kR在(-1,1)上有实数根，则k的取值范围是(C)

9115

(A)[-16,-2)⑻[-2,2)

959

(0[-162)(D)[-16+OT)

3

2

解析:方程x-2x-k=0在(T,1)上有实数根,

3

即方程x?-2x=k在(-1,1)上有实数根.

3

2

设f(x)=x-2x.

39

因为f(X)=X2-2X=(X-4)2-16.

39

所以f(X)min=f(4)=-16,f(X)0ax=f(T)=2.

95

所以k£[-16,2),故选C.

8.若一元二次方程ax?+2x+l=0(aWO)有一个正根和一个负根,则有(A)

(A)a<0(B)a>0(C)a<-l(D)a>l

解析：法一令f(x)=ax?+2x+l(aWO),

因为其图象经过(0,1)点，

所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边，一个在y轴右边),

需满足a<0.

法二设方程两根为玉,X2,由题意得

1

=—V0，

a

A=4-4a>0,

(a<0,

所以必<1，所以a〈0.

故选A.

9.若函数y=ax2-x-l只有一个零点，则a的值为.

解析：当a=0时，函数为y=-x-l,

此时函数只有一个零点，

当aWO时，函数y=ax-x-l只有一个零点，

即方程ax2-x-l=0只有一个实数根，

1

所以A=l+4a=0,解得a=-4.

答案：0或-4

10.(2018•广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-l(aW0).

(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数；

(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.

解：⑴因为f(-1)=0,所以a-m+m-l=O,

所以a=l,所以f(x)=x：，+mx+m-l.

A-m2-4(m-1)=(m-2)2.

当m=2时,A=0,函数f(x)有一个零点；

当mW2时，△>0,函数f(x)有两个零点.

⑵已知aWO,

则A-m-4a(mT)>0对于mGR恒成立,

即m2-4am+4a>0恒成立，

所以A'=16a-16a<0,

从而解得0<a<l,即实数a的取值范围为(0,1).

13

11.(2018•江苏南京玄武期中)己知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a#0)图象的对称轴为x」4,

且f(2)=O.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)=m(x+D的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值

范围.

'b_13

2a14(a=7,

解：⑴由题意知，丽+2b-2=0,解得&=-13,

故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.

(2)设g(x)=7x"-13x-2-m(x+l)

=7x2-(13+m)x-(m+2),

由题意知，函数g(x)在(0,1)内有一个零点，

在(1,2)内有一个零点，

用(0)>0,(-(m+2)>0,

g⑴<0,7-(13+m)-(m+2)<0,

所以B(2)>。，即［28-2(13+m)-(m+2)>0,

(m<-2,

>-4,

解得Im<0,解得-4<m<-2,

所以实数m的取值范围为(-4,-2).

额素养培优.

12.对于函数f(x),若存在XoWR,使f(xo)-xo=O成立,则称xo为f(x)的不动点.

已知函数f(x)=ax2+(b+l)x+(b-l)(a^O).

(1)当a=l,b=-2时,求函数f(x)的不动点；

(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.

解：⑴当a=l,b=-2时,f(x)=X2-X-3.

因为Xo是f(x)的不动点，

2

所以0-xo-3-xo=O,

丫2

即“O-2xo-3=0,

解得Xo=-1或Xo=3.

所以T和3是f(x)=X2-X-3的不动点.

(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点，

所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解.

即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,

ax2+bx+(b-l)=0有两个不相等的实根,

所以b2-4a(b-l)〉0恒成立，

即对于任意bGR,b2-4ab+4a>0恒成立,

所以(-4a)2-4,4a<0得a2-a<0.

所以O〈a〈l.

第二章函数检测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)

1.函数f(x)=(x-2)o+pi”的定义域为(C)

1

(A)(-2,2)(B)[-2,+8)

111

(C)[-2,2)u(2+8)(D)(2+8)

1

x——。0,

2

解析:要使函数有意义,则卜+220,即(X>-2,

1

即x2-2且

11

所以函数的定义域为[-2,5)U(2+8),

故选C.

1

2.已知f(2x-l)=2x+3,f(m)=6,则m等于(A)

11

(A)-4(B)4

33

(C)2(D)-2

1

解析:令t=2x-l,所以x=2t+2,f(t)=4t+7,

又因为f(m)=6,即4m+7=6,所以m=-4,故选A.

3.已知函数丫=£6)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],则函数y=f(2x+l)的定义域和值

域分别为(C)

(A)[1,3]和[11,19](B)[-1,0]和[2,4]

(C)[-1,0]和[5,9](D)[T,1]和[11,19]

解析：由题意，函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],即TWxWl,5Wf(x)<9.

则函数y=f(2x+l)的定义域TW2x+lWl,得TWxWO.

值域为5Wf(2x+l)W9.故选C.

4.函数f(x)=x$+x-3的零点落在区间(B)

(A)[0,1](B)[l,2](C)[2,3](D)[3,4]

解析:f(0)=()5+0-3=-3<0,f(l)=l5+l-3=-l<0,f(2)=2-l>0,f(3)=35>0,f(4)=45+l>0,

所以f(l)•f⑵<0,故选B.

x2-2x

5.已知函数f(x)=x-2,g(x)=，TG+7E,下列判断正确的是(B)

(A)函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数

(B)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)是偶函数

(C)函数f(x)是奇函数，函数g(x)不是偶函数

(D)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)不是偶函数

解析：因为f(x)的定义域为{x|xW2},不关于原点对称，

所以f(x)为非奇非偶函数.

[1+x>0,

由[1-%2。，得TWxWl.

又g(-x)=A/1-X+{1+x=g(x),

所以g(x)为偶函数.选B.

1

6.已知xo是f(x)=x-x的一个正数零点，若XiC(0,xo),x?G(xo,+8),则(C)

(A)f(X1)<0,f(X2)<0(B)f(xiXO,f&)>0

(0f(x,)>0,f(xz)<0(D)f(X1)>0,f(x2)>0

1

解析:当x>0时，易知f(x)=x-x是减函数，

又因为f(xo)=O,

所以f(xi)>f(xo)=0,f(x2)<f(x0)=0,故选C.

1

7

7.函数f(x)」+%(xER)的值域是(B)

(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]

1

2

解析:对于函数f(x)=l+x,

因为XGR,所以1+X:1,

1

7

所以0<1+xW1,即值域为(0,1].

故选B.

8.已知函数g(x)=f(x)-x,若f(x)是偶函数，且f(2)=l,则g(-2)等于(C)

(A)l⑻2(03(D)-l

解析：f(x)是偶函数，且f(2)=1,则f(-2)=l,

所以g(-2)=f(-2)-(-2)=3,故选C.

9.已知二次函数y=ax''+bx+c(aWO)的图象如图所示，有下列4个结论:①abc>0;②b〈a+c;③

4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有(B)

(A)l个(B)2个(03个(D)4个

解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.

b

因为抛物线的对称轴为x=-2o=i,

所以b=-2a>0.

当x=0时,y=c>0,所以abc<0,①错误；

②当x=-l时，y<0,所以a-b+c<0,

所以b>a+c,②错误；

③因为抛物线的对称轴为x=l,

所以当x=2时与x=0时,y值相等，

因为当x=0时，y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,③正确；

④因为抛物线与x轴有两个不相同的交点，

所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，

所以A=b2-4ac>0,④正确.

综上可知成立的结论有2个.

10.已知函数f(x)=x?+ax-3a-9的值域为[0,+8),则f⑴等于(C)

(A)6(B)-6(C)4(D)13

解析：f(x)=x?+ax-3a-9

aa2a2

2

=(x+2)-3a-9-4^-4-3a-9j

由题意，得-4-3a-9=0,a~+12a+36-0,(a+6)~-0,a=-6,

所以f(x)=x2-6x+9,f(l)=l2-6X1+9=4.故选C.

11.函数f(x)=(a-l)x、2ax+3为偶函数，那么f(x)在区间(-1,1)上的单调性是(C)

(A)增函数

(B)减函数

(0在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数

(D)在(-1,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数

解析:因为f(x)为偶函数，

所以f(-x)=(a-l)x2-2ax+3=f(x)=(aT)x2+2ax+3,

所以-2a=2a,所以a=0,所以f(x)=-x2+3,

所以在区间(T,1)上,f(x)的单调性为

在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是臧函数.选C.

33

12.已知函数f(x)的值域为[-2可，则函数g(x)=f(x)Ti二W5的值域为(B)

171

(A)[28](B)[21]

717

(0[81](D)(0,2]U[8+oo)

1

2

解析:设t=Jl-2/(x),则f(x)=2(i-t),

331

因为f(x)e[-2司，所以^WtW2,

1-t21

则y=2+t=-2(t-l)2+l=g(t),

函数g(t)的对称轴为t=l,当t=l时,g(t)取得最大值为1,

1

当t=2时,g(t)取得最小值为2

1

所以函数g(x)的值域是21].

故选B.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出:

X123

f(x)131

g(x)321

则满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是.

解析：由表格,f(g(D)=l,f(g(2))=3,f(g(3))=l,g(f(l))=3,g(f(2))=1,g(f(3))=3,所以

满足£心心))久任6))的乂的值是2.

答案：2

(x2+2x+2,x<0,

14.设函数f(x)=l--占>(),若f(f(a))=2,则2=.

解析:若a<O,f(a)=a2+2a+2=(a+l)2+l>0,

因此f(f(a))=-［f(a)］2<0,显然此时无解，

若a>0,f(a)=-a2,f(f(a))=a-2a2+2=2,

即a'-2aJ。，

解得a2=0(舍去)或a2=2,所以a=W.

答案:位

x+2017

15.若定义在(-8,I)u(l,+8)上的函数f(x)满足f(x)+2f(x-1)=2017-X,则f(2

019)=.

2018

解析:f(x)+2f(l+%-1)=2017-x,

当x=2时，f(2)+2f(2019)=2015,①

当x=2019时，f(2019)+2f(2)=-2,②

①X2-②，得3f(2019)=4032,f(2019)=1344.

答案：1344

16.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题：

①f(0)=0;②若f(x)在［0,+8)上有最小值为-1,则f(x)在(-8,0］上有最大值为1；③若f(x)

在［1,+8)上为增函数，则f(x)在(-8,-1］上为减函数；④若x>0时，f(x)=x?-2x,则x<0

时,f(x)=-x2-2x,其中正确命题的个数是.

解析:f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0,①正确;其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相

同的单调性，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，-x>O,f(-x)=(-X)2-2(-X),又

f(-x)=-f(X),所以f(x)=-x?-2x,即④正确.

答案：3

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)已知f(x)为一次函数,且满足4f(l-x)-2f(xT)=3x+18,求函数f(x)

在［T,1］上的最大值,并比较f(2018)与f(2017)的大小.

解:因为f(x)为一次函数，

所以f(x)在［-1,1］上是单调函数，

所以f(x)在［-1,1］上的最大值为max{f(-l),f(l)}.

分别取x=0和x=2,

(4/(1)-2/(-1)=18,

得［0(-1)-2〃1)=24.

解得f(1)=10,f(-1)=11,

所以函数f(x)在［-1,1］上的最大值为f(T)=ll,最小值为f(l)=10.

因为f(l)<f(-l),

所以f(x)在［-1,1］上是减函数,

所以f(x)在R上是减函数.

所以f(2017)>f(2018).

18.(本小题满分12分)已知一次函数分x)满足2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-l)=l.

(1)求这个函数的解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.

解：⑴设f(x)=kx+b(k#O),

(2(2k+b)-3(/c+b)=5,

由己知有I2b-(-k+b)=L

k3

(b=-2,所以f(x)=3x-2.

(2)由⑴知g(x)=3x-2-x2,

令-X2+3X-2=0,

得x=2或x=l.

所以函数g(x)的零点是x=2和x=l.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当xNO时，f(x)=x(2-x).

(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的简图(不需列表):

(2)讨论方程f(x)-k=O的根的情况.(只需写出结果,不要解答过程)

解：(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=-x(2+x),

因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x(2+x),

f-x(2+x),x<0,

所以f(x)=lx(2-x),x>0,

作出函数图象如图所示.

(2)当k=l或k或时，f(x)=k有两个解；

当k=0时，f(x)=k有三个解；

当k>l吐f(x)=k无解；

当0<k<l时,f(x)=k有四个解.

20.(本小题满分12分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行

技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算,该项目月处理成

本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似地表示为

(300x,xe[20,40),

y=1-10x2+2OOOx+48000,x£[40,300),

且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损额

将由国家给予补偿.

(1)求x=30时，该项目的月处理成本；

(2)当xG[100,200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额(单位:元)

的范围是多少？

解：(1)当x=30时，y=300X30=9000,

所以x=30时，该项目的月处理成本为9000元.

⑵当xG[100,200]时,设该项目获利为g(x)元，

则g(x)=200x-(-10x2+2000x+4800)=10x-l800x-48000=10(x-90)2-129000,

g(x)为单调递增函数，当x=100时,g(x)min=T28000,

当x=200时，g(x)而=-8000,因此该项目不能获利，

故补偿金额的范围是[8000,128000].

21.(本小题满分12分)

设f(x)=xJ2ax+2,当xG[-1,+8)时,f(x)2a恒成立,求a