高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)6.4.3第二课时　正弦定理同步课时作业(原卷版+解析)

课时跟踪检测（十一）正弦定理基础练1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq\r(3)，A＝30°，则B为()A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°4．已知△ABC中，b＝4eq\r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形()A．有一解 B．有两解C．无解 D．解的个数不确定5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq\f(π,4)，c＝eq\r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq\r(2)，2)C．(1,2) D．(1，eq\r(2))6．在△ABC中，若BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，则AB＝________.7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求eq\f(bsinB,c)的值．拓展练1．[多选]下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则三角形一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝()A．6 B．5C．4 D．34．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4eq\r(3)，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为()A．10 B．12C．8＋eq\r(3) D．8＋2eq\r(3)5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(7)，b＋c＝4，求bc的值．培优练在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．课时跟踪检测（十一）正弦定理基础练1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)解析：选A根据正弦定理得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).故选A.2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B由题意有eq\f(a,sinA)＝b＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq\r(3)，A＝30°，则B为()A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°解析：选B由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.4．已知△ABC中，b＝4eq\r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形()A．有一解 B．有两解C．无解 D．解的个数不确定解析：选C由正弦定理和已知条件得eq\f(4\r(3),sinB)＝eq\f(2,sin30°)，∴sinB＝eq\r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq\f(π,4)，c＝eq\r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq\r(2)，2)C．(1,2) D．(1，eq\r(2))解析：选B在△ABC中，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)即eq\f(x,sinA)＝eq\f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq\f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq\f(\r(2),2)<eq\f(1,2)x<1，解得eq\r(2)<x<2.则x的取值范围是(eq\r(2)，2)．故选B.6．在△ABC中，若BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，则AB＝________.解析：由正弦定理，得AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(1×sin30°,sin45°)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3)).∴sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(1×sin45°,sin75°)＝eq\r(3)－1，所以最小边长为eq\r(3)－1.10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求eq\f(bsinB,c)的值．解：(1)由题意知，b2＝ac⇒cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由b2＝ac，得eq\f(b,c)＝eq\f(a,b)，∴eq\f(bsinB,c)＝sinB·eq\f(a,b)＝sinB·eq\f(sinA,sinB)＝sinA＝eq\f(\r(3),2).拓展练1．[多选]下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析：选ABD对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq\f(π,2)，则eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0，所以sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，故B正确；对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq\f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则三角形一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形解析：选C∵c＝2acosB，∴sinC＝2sinAcosB，∴sin(A＋B)＝2sinAcosB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝()A．6 B．5C．4 D．3解析：选A∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(b,c)＝6.故选A.4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4eq\r(3)，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为()A．10 B．12C．8＋eq\r(3) D．8＋2eq\r(3)解析：选B∵2bcosA＋a＝2c，∴2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又∵A＋B＋C＝π，∴2sinBcosA＋sinA＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB，∴sinA＝2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，又∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).由△ABC的面积为4eq\r(3)得eq\f(1,2)acsinB＝4eq\r(3)，∴ac＝16，又∵a＋c＝8∴a＝c＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为3×4＝12.故选B.5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7.答案：76．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(7)，b＋c＝4，求bc的值．解：(1)根据正弦定