2020年北京市高考数学真题试卷

2020年北京市高考数学真题试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|0<x<3}A．{-1,0,1} B．{0,1} C．{-1,1,2} D．{1,2}2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=A．1+2i B．-2+i C．1-2i3．在(x-2)5的展开式中，A．-5 B．5 C．-10 D．104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A．6+3 B．6+23 C．12+3 5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4 B．5 C．6 D．76．已知函数f(x)=2x-xA．(-1，1) BC．(0，1) D7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQA．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP8．在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1．记A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项9．已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30C．3n(sin60二、填空题共5题，每小题5分，共25分11．函数f(x)=1x+1+12．若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为13．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t)，用-f(

给出下列四个结论：①在[t1②在t2③在t3时刻，甲、乙两企业的④甲企业在[0，t1]，[其中所有正确结论的序号是．14．已知双曲线C:x26-y23=1，则C的右焦点的坐标为15．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则|PD|=三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1

（Ⅰ）求证：BC1//平面A（Ⅱ）求直线AA1与平面A17．在△ABC中，a+b=11，再从条件①（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC条件①：c=7，条件②：cosA=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与19．已知函数f(x)=12-（Ⅰ）求曲线y=f(x)（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t，f(t20．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P21．已知{an}①对于{an}中任意两项ai,aj(i>j)②对于{an}中任意项an(n⩾3)，在{a(Ⅰ)若an=n(n=1,2,⋯)，判断数列(Ⅱ)若an=2n-1(n=1,2,⋯)(Ⅲ)若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：

参考答案1．D2．B3．C4．D5．A6．D7．B8．B9．C10．A11．(0,+∞)12．π2（2kπ+π2,k∈Z均可）13．①②③14．(3,0)16．解：（Ⅰ）如下图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB//A1B∴AB//C1D1且AB=C1∵BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则E(0，2，1)A设平面AD1E的法向量为n=(x，y，z令z=-2，则x=2，y=1，则cos<因此，直线AA1与平面AD1E17．解：选择条件①（Ⅰ）∵c=7∵∴（Ⅱ）∵由正弦定理得：aS选择条件②（Ⅰ）∵∴由正弦定理得：a（Ⅱ）sinS18．解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为200200+400=该校女生支持方案一的概率为300300+100（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(1（Ⅲ）p19．解：（Ⅰ）因为f(x)=12-x2设切点为(x0，12-x0)，则-2x由点斜式可得切线方程为：y-11=-2(x-（Ⅱ）显然t≠0因为y=f(x)在点(令x=0，得y=t2+12，令y所以S(t)=不妨设t>0(t<0时，结果一样则S(所以S'(=3(由S'(t)>0，得t>2，由S所以S(t)在(0，2)所以t=2时，S(也是最小值为S(2)=20．解：(Ⅰ)设椭圆方程为：x2由题意可得：4a2+1b故椭圆方程为：x2（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x与椭圆方程x28+y2即：(4k则：x1直线MA的方程为：y+1=令x=-4可得：y同理可得：yQ很明显yPyQ<0注意到：yP而：(=2[=2×(64故yP从而|PB21．解：(Ⅰ)∵a2=2,a3(Ⅱ)∵∀i,j∵∀n∈N(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数显然an≠0(n∉N第一种情况：若N0=1，即由①可知：存在m1，满足am1=a22a1由N0=1可知a22a1第二种情况：若N0≥2，由①知存在实数m，满足由N0的定义可知：m另一方面，am=aN0这与N0的定义矛盾，假设不成立同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a3=a22a1利用性质②：取nak>al>0，而a3=ak⋅akal最后，用数学归纳法证明数列为等比数列假设数列{an}的前k(k其中a1>0,q>1，（由①可得：存在整数m，满足am=ak2ak-由②得：存在s>t，满足：ak+1=由as=a1qs-1由（**）和（*）式可得：a1结合数列的单调性有：k≥2注意到s,t,k代入（**）式，从而ak总上可得，数列{an}的通项公式为：即数列{an}【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取n=3，此时a由数列的单调性可知ak而a3=ak⋅此时必有k=2,l=1，即即a1,a2,然后利用性质①：取i=3,j=2，则即数列中必然存在一项的值为a1q3，下面我们来证明否则，由数列的单调性可知a4在性质②中，取n=4，则a4=ak