圆的标准方程高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修1

2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程1课前预习素养启迪1.圆的定义圆是平面上到定点的距离等于

的点的集合.在平面直角坐标系中,如果一个圆的圆心坐标和半径确定了,圆就唯一

了.定长确定2.圆的标准方程(1)如图,在平面直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,☉A就是以下点的集合P={M||MA|=r}.(2)(x-a)2+(y-b)2=r2.①若点M(x,y)在☉A上,点M的坐标就满足方程①;反过来,若点M的坐标(x,y)满足方程①,就说明点M与圆心A间的距离为r,点M就在☉A上.把方程①称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的

.[问题]确定一个圆的最基本几何要素是什么?答案:圆心与半径.标准方程1.圆P(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标为(

)A.(2,1) B.(2,-1)C.(-2,1) D.(-2,-1)BC2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的图形是(

)A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=-x对称的圆的方程为(

)A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5

D.x2+(y+2)2=5B4.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(

)A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20ADx2+(y-1)2=52课堂探究素养培育求圆的标准方程[例1]写出下列各圆的标准方程:解:(1)所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5.(2)经过点(2,5),圆心为(3,1).要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量):圆的圆心坐标和半径长;反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径.[针对训练]写出下列各圆的标准方程.(1)圆心在坐标原点,半径为2;解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为圆心在坐标原点,半径为2,即a=0,b=0,r=2.所以圆的标准方程为x2+y2=4.[针对训练]写出下列各圆的标准方程.判断点与圆的位置关系[例2]已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在此圆上、圆内,还是在圆外?点与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较.(2)代数法:直接利用下面的不等式判定:①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,点在圆外.②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上.③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,点在圆内.[针对训练]写出圆心为(3,4),半径为5的圆的方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.解:该圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,把A,B两点的坐标分别代入圆的方程得(0-3)2+(0-4)2=25,(1-3)2+(3-4)2=5<25.所以点A在圆上,点B在圆内.圆的标准方程的综合应用[例3]求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.确定圆的标准方程有两种方法:几何法和待定系数法.(1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.[针对训练]求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程.1.已知A(0,-5),B(0,-1),则以线段AB为直径的圆的标准方程是(

)A.(x+3)2+y2=2 B.x2+(y+3)2=4C.(x+3)2+y2=4 D.(x-3)2+y2=2BADA.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5解析:因为圆上的点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.3.与圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心相同,且过点P(-1,1)的圆的标准方程是

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解析:圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心为(2,-3),设所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=r2(r>0),由点P(-1,1)在圆上可知(-1-2)2+(1+3)2=r2,解得r2=25.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.(x-2)2+(y+3)2=25(x-1)2+(y-1)2=1π[例1]已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.[例2]写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.(1)(x-2)